2023-2024学年浙江省温州市鹿城区南浦实验中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省温州市鹿城区南浦实验中学七年级（下）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了下列生活中的运动，属于平移的是，下列运算正确的是，请阅读以下“预防近视”知识卡等内容，欢迎下载使用。

A. 电梯的升降B. 夏天电风扇中运动的扇叶
C. 汽车挡风玻璃上运动的刮雨器D. 跳绳时摇动的绳子
2.我国北斗公司在年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了米用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
4.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
5.已知方程，用含的代数式表示，正确的是( )
A. B. C. D.
6.一副三角板摆放如图所示，斜边与直角边相交于点，点在直角边上，且，，则的度数是( )
A. B. C. D.
7.孙子算经是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余尺，问木头长多少尺？可设木头长为尺，绳子长为尺，则所列方程组正确的是
( )
A. B. C. D.
8.如图，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是( )
A.
B.
C.
D.
9.请阅读以下“预防近视”知识卡
已知如图，桌面和水平面平行，与书本所在平面重合，根据卡片内容，请判断正常情况下，坐姿正确且座椅高度适合时，视线和书本所在平面所成角度不可能为以下哪个角度( )
A. B. C. D.
10.过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
无论取何实数，多项式总能分解成两个一次因式积的形式；
若，则可以取的值有个；
关于，的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程总有一个公共解，则这个公共解是其中正确的有( )
A. B. C. D.
11.计算：______．
12.已知，，则 ______．
13.已知是二元一次方程的一组解，则 ______．
14.已知，，则的值为______．
15.若与的两边分别平行，且，，则的度数为______．
16.如图，直线，直线与，分别交于点，，将一个含角的直角三角板按如图放置，使点，分别在直线，上，，，若的平分线交直线于点．
当，时，则 ______．
将三角板保持并向左平移，则在平移的过程中 ______用含的式子表示
17.因式分解：
；
．
18.先化简，再求值：，其中．
19.解方程组：
；
．
20.已知如图，，，，试判断与的位置关系，并说明理由．
21.先阅读下面的例题，再解决问题：例题：若，求和的值，解：，
，
，
，，
，，
，．
问题：
若，求和的值．
试探究关于、的代数式是否有最小值，若存在，求出最小值及此时、的值；若不存在，说明理由．
22.规定：形如关于，的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组，、称之为共轭系数．
方程的共轭二元一次方程是______；
若关于，的二元一次方程组为共轭方程，求此共轭方程组的共轭系数；
对于共轭二元一次方程组，小聪通过探究发现，无论、为何值，解、一定相等你同意他的结论吗？请说明理由．
23.已知：，、是上的点，、是上的点，．
如图，求证：；
如图，过点作交延长线于点，作、的角平分线交于点，交于点，求的度数；
如图，在的条件下，作的角平分线交于点，若，则 ______．
24.根据以下素材，探索完成任务．
25.如图，，直线平分，直线平分，直线，相交于点，则与之间的数量关系是______．
26.若，，则______．
27.，则 ．
28.关于，的方程组只有唯一的一组解，那么的取值为______．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了平移与旋转的意义及在实际当中的运用有关知识，平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动；旋转是物体运动时，每一个点离同一个点可以在物体外的距离不变的运动，称为绕这个点的转动，这个点称为物体的转动中心．所以，它并不一定是绕某个轴的．然后根据平移与旋转定义判断即可．
【解答】
解：电梯的升降的运动属于平移，运动的刮雨器、摇动的绳子和运动的扇叶属于旋转；
故选A．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
【解答】
解：．
故选：．
3.【答案】
解：，故本选项不合题意；
B.，故本选项符合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，故本选项不合题意．
故选：．
选项A根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；选项B根据幂的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；选项C根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；选项D根据零指数幂的定义判断即可．
本题考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】
解：，从左到右的变形，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意；
B.，从左到右的变形，是整式的乘法运算，故此选项不符合题意；
C.，从左到右的变形，是整式的乘法运算，故此选项不符合题意；
D.，从左到右的变形，是因式分解，故此选项符合题意．
故选：．
直接利用因式分解的定义以及整式的乘法运算法则计算得出答案．
本题考查因式分解的意义．正确掌握相关定义是解题的关键．
5.【答案】
解：，
，
解得，
故选：．
把看作已知数求出即可．
此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6.【答案】
解：由题意得，
因为，，
所以，
所以，
所以．
故选：．
由题意可知，则由平行线的性质可得，求得，从而可求的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
7.【答案】
解：设木头长为尺，绳子长为尺，
由题意可得．
故选：．
设木头长为尺，绳子长为尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余尺”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
8.【答案】
解：由题意可得：阴影部分面积．
，，
，
阴影部分面积．
故选：．
用，的代数式表示出阴影部分面积，再整体代入求值即可．
此题考查了完全平方公式的意义，适当的变形是解决问题的关键．
9.【答案】
解：由题意得，，，
，
过作，
，
，
，
，
．
故选：．
过作，由平行线的性质得，，由，可得，即可得到结论．
本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
10.【答案】
解：：同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故不符合题意；
：当取负数时，结论不成立，如，无法分解成两个一次因式积的形式，故不符合题意；
：若，，，则，满足题意；当，，则，，满足题意；当，，则，，不满足题意；可以取的值有个，即或，可以取的值有个，故符合题意；
：由题意可得，，联立方程组有，
，解得：，
当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程总有一个公共解，则这个公共解是，故符合题意；
综上，符合题意．
故选：．
逐一分析每个结论即可．
本题考查了因式分解、二元一次方程组的解、平行线的性质知识点，熟练掌握各个知识点并熟练解题方法是解本题的关键，难度适中，仔细审题即可．
11.【答案】
解：原式
．
故答案为：．
直接利用零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质、负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
12.【答案】
解：，，
．
故答案为：．
根据完全平方公式进行作答．
本题主要考查完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
13.【答案】
解：将代入原方程得：，
，
．
故答案为：．
将代入原方程，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．
本题考查了二元一次方程的解，牢记“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”是解题的关键．
14.【答案】
解：，，
，
故答案为：．
将原式变形为，再代入计算即可．
本题考查了同底数幂的除法和幂的乘方，掌握同底数幂的除法和幂的乘方的运算法则是关键．
15.【答案】或
解：当两角相等时，如图，
，
解得：，
；
当两角互补时，如图：

，
解得：，
；
故答案为：或．
根据平行线的性质分两种情况进行讨论求解即可．
本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
16.【答案】 或
解：，，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
；
故答案为：；
点在的右侧时，
，，
，
，
，
，
平分，
，
，
；
点在的左侧时，如图，
，，
，
，
，
，，
平分，
，
，
综上所述，的度数为或
故答案为：或
由平行线的性质可得，结合角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可求解；
可分两种情况：点在的右侧时，点在的左侧时，利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解．
本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，分类讨论是解题的关键．
17.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可；
提公因式后利用完全平方公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
18.【答案】解：


，
当时，原式．
【解析】先根据多项式除以单项式法则，完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
19.【答案】解：，
，可得，
解得，
把代入，可得：，
解得，
原方程组的解是．
，
由，可得，
，可得，
解得，
把代入，可得：，
解得，
原方程组的解是．
【解析】应用加减消元法，求出方程组的解即可；
应用加减消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．
20.【答案】证明：与的位置关系是：．
理由：，
同位角相等，两直线平行，
，
又，
，
；
，
．
【解析】本题考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．先结合图形猜想与的位置关系是：要证，只要证得即可，由平行线的判定可知只需证，根据平行线的性质结合已知条件即可求证．
21.【答案】解：，
，
，，
；


．
，，
．
当，时，
即当，时，代数式有最小值．
【解析】将左边分组配方，根据偶次方的非负性可得与的值，则问题可解；
将分组配方，写成两个完全平方式加的形式，根据偶次方的非负性可得与的值，可得答案．
本题考查了完全平方式在代数式求值中的应用，熟练运用配方法并根据偶次方的非负性得出未知数的值是解题的关键．
22.【答案】
解：方程的共辄二元一次方程是；
故答案为：；
关于，的二元一次方程组为共辄方程，
，，
整理得：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
，，
则此共辄方程组的共辄系数为，；
不同意他的说法，理由为：
方程组，
得：，
得：，
当，即时，，
则当时，无论为何值，与的值相等．
根据题中共辄二元一次方程的定义判断即可；
根据题中共辄二元一次方程的定义判断即可求出共辄系数；
表示出方程组的解，根据与相等确定出的范围，即可作出判断．
此题考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．
23.【答案】
【解析】证明：，
，
又，
，
；
解：如图，过点作，
，
，，
设，，
、分别平分、，
，，
又，
，
又，
，
，
，
，
解：，
，即，
，
，
，，
又和是角平分线，
，
，
又，
．
故答案为：．
由平行线的性质得，再由内错角相等得出；
过点作，设角度，由平行线的性质和角平分线的性质即可得出结论；
由结合前面的结论，求出角度可得．
本题考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线定义等知识；综合性强，熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解题的关键．
24.【答案】解：任务：设型烟花每箱分别为元，元，
由题意得，
，
解，
答：型烟花每箱元，型烟花每箱元．
任务：
设分别购买，型烟花，箱，
，整理得，，
燃放时长：秒．
答：若仅购买，型烟花，可以燃放秒．
设分别购买，型烟花，箱，则购买型烟花箱，
，整理得，，
，
，，均为正整数，
，
燃放时长，
当时，燃放时长秒．
当时，燃放时长秒．
，
分别购买，，型烟花各、、箱时，燃放时间最长为杪．
【解析】任务根据条件列出二元一次方程组即可解决．
任务的第问设分别购买，型烟花，箱，根据“支出元购买烟花”这一条件得到一个二元一次方程，对方程整理化简，再用，表示出烟花的燃放时间，整体代入即可求出燃放时间．
任务的第问沿用第问的思路，设分别购买，型烟花，箱，表示出购买型烟花箱，根据“支出元购买烟花”这一条件列一个关于，的二元一次方程，并求出其正整数解，得到两种购买方案，接着计算出每种方案的燃放时间，选择燃放时间最长的方案即可．
本题考查二元一次方程组的应用，解决此类问题的关键是分清题中数量关系，找出等量关系列出方程，求方程组的解或者求整数解即可．
25.【答案】
解：延长交于点，设与相交于点，
直线平分，直线平分，
，，
，
，，
是的一个外角，
，
，
是的一个外角，
，
，
故答案为：．
延长交于点，设与相交于点，先利用角平分线的定义可得，，然后利用平行线的性质可得，，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，最后再利用三角形的外角性质可得，，从而利用等量代换进行计算即可解答．
本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
26.【答案】
解：两式相加得，，
等式两边都除以，得
．
把已知中两式相加即可轻松求解．
根据题目特点，利用整体代入是解本题的关键，也使本题求解更加简便．
27.【答案】
解：把代入得，
把代入得，
把代入得，
所以，
所以．
故答案为．
先把代入等式可计算出，再分别把和代入等式可得到，，然后把两式相加即可得到，再把代入计算即可．
本题考查了代数式求值：先把代数式根据已知条件进行变形，然后利用整体思想进行计算．
28.【答案】
解：关于，的方程组只有唯一的一组解，
，即，
把代入方程组得：，
解得：，
故答案为：
由方程组只有唯一的一组解，得到，即可求出的值．
此题考查了二元一次方程组的解，以及绝对值，弄清方程组只有唯一的一组解的条件是解本题的关键．读书、写字、看书姿势要端正一般人正常的阅读角度约为俯角如图视线与水平线的夹角度．
在学习和工作中，要保持读写姿势端正，可概括为“三个一”，包括：眼与书本的距离尺；身体与桌子距离拳；握笔时，手指离笔尖寸书本与课桌的角度要保持在度至度．
设计烟花采购方案
自疫情开放以来，旅游业逐步回暖，为吸引游客，温州某乡镇决定举办烟花节，需考虑如何采购烟花及烟花燃放时长
素材
已知购买箱型和箱型烟花需要元，购买箱型和箱型烟花需要元．
素材
某烟花厂提供产品信息如下：
型烟花每箱发，型烟花每箱发．
即将推出新品型烟花，每箱元，每箱发．
本厂生产的所有型号烟花每发间隔秒．
素材
该乡镇准备支出元全部用完购买烟花．
燃放烟花时逐箱不间断燃放，且每次仅燃放一箱，假设每发烟花均能正常绽放，且间隔时长保持不变，忽略每箱烟花之间的引燃时间．
问题解决
任务
确定单价
求、型烟花每箱多少元？
任务
确定方案
若仅购买，型烟花，可以燃放多少秒？
确定方案
若同时采购、、三种烟花，型烟花的箱数是型的倍，如何采购使得燃放时间最长？并求出最长燃放时间．