【数学】河北省沧州市孟村回族自治县2023-2024学年九年级下学期月考试题（解析版）

这是一份【数学】河北省沧州市孟村回族自治县2023-2024学年九年级下学期月考试题（解析版），共14页。试卷主要包含了 图是型号为24英寸， 已知多项式．等内容，欢迎下载使用。
一．单项选择题（每小题4分，共24分）
1. 如图，嘉嘉和淇淇在做数学游戏，设淇淇想的数是，嘉嘉猜中的结果是，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意得，，
故选：．
2. 质数是只有1和它本身两个因数的自然数，规定：1既不是质数也不是合数．如果两个质数相差2，那么称这两个质数为“孪生质数”．在10以内的质数中任意取一个数，这个数与5是“孪生质数”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】10以内的质数是2，3，5，7，共4个，
而：
所以，5的“孪生质数”为3和7，共2个，
所以，在10以内的质数中任意取一个数，这个数与5是“孪生质数”的概率为，
故选：A．
3. 画的平分线的方法有多种，嘉嘉和淇淇的方法如图所示，下列判断正确的是（ ）
A. 只有嘉嘉对B. 只有淇淇对
C. 两人都对D. 两人都不对
【答案】C
【解析】∵，
∴；

∵，
∴，
∴，
故射线平分，
故嘉嘉的作法正确；
∵，
∴，
∴，
∵，；

∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故射线平分，
故淇淇的作法正确；
故选C．
4. 图是型号为24英寸（车轮的直径为24英寸，约）的自行车，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以，为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，量出四边形中，，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵四边形中，，，
∴，
∵车轮的直径为24英寸，约，
∴需要的铁皮面积约是，
故选A．
5. 用绘图软件绘制直线，直线与坐标轴的交点分别为，，其中不在可视范围内．视窗的大小不变，改变可视范围，且变化前后原点始终在视窗中心．若使点在可视范围之内，需要将图中坐标系的单位长度至少变为原来的（为整数），则的图象是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵已知的可视范围是，
根据得到，
∴可视范围是，
∴，
解得
故k的最小整数解为，
故选B．
6. 如图，，，点，在线段上，且满足，点在射线上，且，则满足上述条件点有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 3个以上
【答案】B
【解析】作E关于的对称点，连接交于点O，则，连接交于P，过作于H，

连接交于P，过作于H，
∵E，关于对称，
∴，
∴，
∵两点之间，线段最短，
∴的最小值为线段的长度，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
当P在点A处时，，
∴点在线段上时，，
∴点P在从点出发，沿射线移动的过程中，的值的变化是：由减少到，再由逐渐增大，
∴点在射线上，且满足，则这样的P点个数有两个．
故选：B．
二．填空题（每空4分，共20分）
7. 已知实数，在数轴上的位置如图所示．

（1）关于的不等式组的解集为__________；
（2）关于的一元二次方程的根的情况是_________________________．（填“有两个不相等的实数根”“有两个相等的实数根”或“没有实数根”）
【答案】 ②. 有两个不相等的实数根
【解析】（1）根据数轴得到，
∴关于的不等式组的解集为，
故答案为：．
（2）根据数轴得到，
∵的判别式为，
∴有两个不相等的实数根，
故答案为：有两个不相等的实数根．
8. 某数学小组在一个半径为2的圆形场地上做探究实践活动．

（1）如图1，小组将圆形场地分为12等份．机器人从一个点到另外一个点均是直线行走．
①机器人从点走到点的路程为__________；
②机器人从点到点走了两条不同的路线．路线1：；路线2：，路线1的长记为，路线2的长记为，则__________；（填“>”“ .
【解析】 (1) ①∵中心角为，
∴从点走到点其路径对的圆心角为，
∵，
∴，
故答案为：．
②根据中心角为，
∴，
∴都是等边三角形，
∴，
∴；
∵
∴，
∴为圆的直径，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
（2）设多边形的中心角为，当转到时，,，∵，
∴，解得，
∵半径相等，∴．
三．解答题（9题8分，10题8分，11题12分，12题14分，13题14分，共56分）
9. 已知多项式．

（1）在化简多项式时，小明同学的解题过程如图所示．在标出①②③④的几项中出现错误的是__________；请你写出正确的解答过程；
（2）淇淇说：“若给出与互为相反数，即可求出多项式的值．”“嘉嘉说：“若给出与互为倒数，即可求出多项式的值．”请你判断哪个同学说的对，并按此同学赋予的条件求的值．
解：（1）①；
（2）淇淇说的对；
当与互为相反数时，，原式．
10. 如图1，晓嘉在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测角仪．将此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点M．
（1）在图1中，过点A画出水平线，并标记观测M的仰角．若铅垂线在量角器上的读数为53°，求的值；
（2）如图2，已知晓嘉眼睛离地1.5米，站在B处观测M的仰角为（1）中的，向前走1.25米到达D处，此时观测点M的仰角为45°，求树的高度．（注：，，）
解：（1）如图1；；
（2）如图，过点作，垂足为，
则米．设米．
在中，（米），
在中，（米），
（米），
解得．
答：树高度为米．
11. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点．正比例函数的图象与交于点．

（1）求的值及的解析式；
（2）求的长，并求当直线与（为常数）的交点在第二象限时，的取值范围；
（3）若点关于直线的对称点恰好落在轴上，直接写出的值．
解：（1）把代入得：，
解得，
．
设的解析式为，
将点代入，得，
的解析式为；
（2）由题意，
把代入得：，
∴，
∵，
；
把代入得：，
∴，
的取值范围为；
（3）连接，
∵，，
∴，
∴，
∵点M和点关于直线对称，
∴，
∴，
∵点M和点关于直线对称，
∴，
∴，即轴，
∵，
∴，
∴．

12. 如图1，在中，，，．半圆的直径为，在初始位置时，圆心与点重合，为半圆上的点．且．

（1）求证：；
（2）如图2，将半圆绕点逆时针旋转（旋转角度不超过），当半圆恰好与的边相切时，求点运动的路径长；
（3）当半圆旋转至如图3所示位置时，与直线交于点，，且，求的值．
（1）证明：为直径，
．
又，
．
在中，，
．
，
．
在与中，
，
．
（2）解：在中，，，
，
半圆的半径为．
如图1，当半圆与边相切时，，
，
，圆心到的距离为的长，等于半径，
半圆与边也相切．此时点运动的路径是以为圆心，为半径，圆心角为的弧，
弧长为；
如图2，当半圆与边相切时，，则．
点的运动路径是以为圆心，为半径，圆心角为的弧，弧长为；

（3）解：，，
，，
，．
在中，，，
，．
，，
，，
．
13. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．

（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）已知，是抛物线上的两点，若，求的取值范围；
（3）将平移至，与轴的交点能否为点和点？若能，求移动的最短路程；若不能，请说明理由；
（4）直线与抛物线交于，两点，把抛物线和直线所围成的封闭图形的边界上横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，若在直线的两侧的“美点”个数之比为1：2，直接写出的取值范围．
解：（1）∵抛物线与轴交于点，，与轴交于点．∴，解得，
该抛物线函数解析式为；
（2）∵
∴抛物线的对称轴为直线，
∴点关于直线对称的点的坐标为，
当时，，
根据函数图象知，当或时，；
（3）能；
的解析式为，顶点坐标为，
平移后的解析式为，顶点坐标为，
移动的最短路程为；
（4）抛物线和直线所围成的封闭图形的边界上的“美点”一共有15个，分别是，，，，，
直线两侧美点个数分别是5和10．
如图1，直线在点和点之间时，的取值范围为；

如图2，直线在点P和点之间时，的取值范围为
嘉嘉

①利用直尺和三角板画；
②在上截取，使；
③作射线，即为所求．
淇淇

①利用圆规截取，；
②连接，，相交于点；
③作射线，即为所求．