河北省沧州市孟村回族自治县王史中学2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份河北省沧州市孟村回族自治县王史中学2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了2章，2B．0等内容，欢迎下载使用。
九上21～24.2章
一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1～6小题各3分，7～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．继北京冬奥会后，杭州亚运会再一次点燃了全民的运动热情．下列体育运动图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．用公式法解方程时，下列关于a、b、c的值正确的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
3．抛物线的对称轴是（ ）
A．B． y轴C．D．x轴
4．如图，由点P引出的为的四条弦，其中最长的是（ ）
A． B． C． D．
5．方程的根为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
6．二次函数的图象如图所示，则当时，x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或
7．如图，将绕点旋转一定的角度得到，点恰巧在边上．若，，则的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．如图，是半圆O的直径，四边形内接于半圆O．若，则（ ）
A．B．C．D．
9．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法求抛物线的顶点坐标，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成求解．过程如图所示：

接力中，自己负责的出现错误的是（ ）
A．甲和乙B．乙和丙C．乙和丁D．甲和丙
10．嘉淇准备解一元二次方程时，发现常数项被污染，若该方程有实数根，则被污染的数可能是（ ）
A．3B．5C．6D．8
11．如图，抛物线与x轴交于，B两点，下列判断正确的是（ ）

A．B．当时，y随x的增大而减小
C．点B的坐标为D．
12．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率．设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则根据题意可列的方程为（ ）
A．B．
C．D．
13．如图，是一个纸折的小风车模型，将它绕着旋转中心旋转下列哪个度数后不能与原图形重合．（ ）
A．B．C．D．
14．如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（ ）

A．B．C．D．
15．如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离（ ）
A．3.2B．0.32C．2.5D．1.6
16．如图，等腰中，，D为边上一点．用尺规按如下的步骤操作：
①以点A为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点E，连接；
②作的角平分线，交射线于点P，交于点Q．
结论Ⅰ：；结论Ⅱ：．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ不对Ⅱ对B．Ⅰ对Ⅱ不对C．Ⅰ和Ⅱ都对D．Ⅰ和Ⅱ都不对
二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18～19小题各4分，每空2分．把答案写在题中横线上）
17．如图，已知矩形中，，．以顶点O为圆心，r为半径作，使得顶点A在内，顶点B，C在外，写出一个符合条件的r的整数值： ．
18．右图所示为抛物线的图象，根据图象信息，的值为 ，一元二次方程的两根为 ．
19．如图，等腰直角三角形中，，．长度为3的线段固定不动，将绕顶点A旋转．在旋转过程中，
（1）点B与点C的最短距离为 ；
（2）点B到边的距离的最大值为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．已知数字为负数，将其加3得到数字．
(1)用含的式子表示，并在数轴上表示出的取值范围；
(2)若，求的值．
21．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出与关于原点对称的，并直接写出点，，的坐标；
(2)画出将三角形绕原点顺时针旋转后得到的．
22．如图是用棋子摆成的图案：

根据图中棋子的排列规律解决下列问题：
(1)第4个图中有__________颗棋子，第5个图中有__________颗棋子；
(2)写出你猜想的第n个图中棋子的颗数（用含n的式子表示）是__________，
(3)请求出第多少个图形中棋子的个数是274个．
23．端午节前夕，某批发部购入一批进价为8元/袋的粽子，销售过程中发现：日销量y（袋）与售价x（元/袋）满足如图所示的一次函数关系．

(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)每袋粽子的售价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？
24．如图是两条高速公路互通立交俯瞰图，车辆从一条高速公路转到另一条高速公路，需要经过缓和曲线匝道进行过渡．
如图是一种缓和曲线过渡匝道的示意图．若把过渡匝道的缓和曲线看作是一个平面上的圆弧，汽车沿的切线 经过切点驶入匝道，从的切线经过切点驶出匝道．已知，的半径为．

(1)若在点处设置一高清广角摄像头对圆弧形过渡匝道进行监控，且高清摄像头可以有效监控以内的物体，问此摄像头能否有效监控整个匝道？并说明理由；
(2)在图中，若连接，交于点，且，判断与的位置关系，并说明理由．
25．中国国家跳水队是中国体育王牌中的王牌，被称为“中国跳水梦之队”．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板长为2m，跳板距水面的高为3m，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1m时达到距水面最大高度km．现以为横轴，为纵轴建立平面直角坐标系．
(1)当时，
①求这条抛物线的解析式；（不必写x的取值范围）
②求运动员落水点与点C的距离．
(2)已知，，若跳水运动员在区域内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求符合条件的k的整数值．
26．如图，在中，，，以点O为圆心，2为半径画圆，过点A作的一条切线，切点为P，连接．将绕点O按逆时针方向旋转到时，连接，设旋转角为（）．
(1)如图，当时，
①求证：是的切线；
②点H到的距离；
(2)已知，在旋转过程中，当与相切时，求旋转角的度数；
(3)直接写出的最大值与最小值的差．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键．
【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意；
C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意；
D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
2．D
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是理解一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：由可得，
，，，
故选：．
3．B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的对称轴是直线，进行作答即可．
【详解】解：由题意知，抛物线的对称轴是直线，即y轴，
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了圆中最长的弦为直径，根据圆中最长的弦为直径进行作答即可．
【详解】解：由图可知，过圆心为直径，
∴最长，
故选：C．
5．B
【分析】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法即可求解．
【详解】解：，
即或，
解得，．
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，观察位于x轴上方的图象，即可确定自变量珠取值范围，即可得解．
【详解】解：观察图象知，当时，x的取值范围是，
故选：C．
7．B
【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可得，，再由进行计算即可，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键．
【详解】解：将绕点旋转一定的角度得到，，，
，，
，
故选：B．
8．C
【分析】本题考查圆周角定理的推论，圆内接四边形的性质．掌握直径所对圆周角为直角和圆内接四边形的对角互补是解题关键．
【详解】解：∵四边形内接于半圆O，
∴．
∵是半圆O的直径，
∴．
∴．
故选C．
9．A
【分析】将正确进行配方，即可发现错误步骤．
【详解】解：老师—甲： ，故甲错误；
甲－乙：，故乙错误；
乙－丙：，故丙正确；
丙－丁：的顶点坐标为，故丁正确．
A：正确；B：错误；C：错误；D：错误．
故选：A
【点睛】本题考查将抛物线的一般式配成顶点式．易错点：直接除以二次项系数、加了常数不减．
10．A
【分析】根据一元二次方程根的判别式可得，即可得出答案．
【详解】解：设被污染的数为a，
根据题意可得：，
解得：，
则被污染的数可能是3，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据方程有实数根，得出．
11．C
【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、抛物线开口向下，，选项错误，不符合题意；
B、，对称轴为，当时，y随x的增大而减小，选项错误，不符合题意；
C、∵抛物线与x轴交于，对称轴为，
∴点B的坐标为，选项正确，符合题意；
D、∵抛物线与x轴交于，
∴，
∴，
∴，故选项D错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．
12．C
【分析】设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为，根据第四季度的总营业额要达到9100万元，列方程即可得到结论．
【详解】设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为，
根据题意可列的方程为，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
13．B
【分析】据旋转中心、旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点，可知图中的旋转中心就是该图的几何中心，即点O．该图绕旋转中心O旋转90°，180°，270°，360°，都能与原来的图形重合，再利用中心对称图形的定义即可求解．
【详解】解：图中的旋转中心就是该图的几何中心，即点O．该图绕旋转中心O旋转90°，180°，270°，360°，都能与原来的图形重合，
故只有不能与原图形重合.
故选：B.
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．也考查了旋转中心、旋转角的定义及求法．对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角．
14．C
【分析】根据勾股定理求得的长，垂径定理可得，进而即可求解．
【详解】解：依题意，，
在中，
∵
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，熟练掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键．
15．A
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题．
以所在直线为x轴、所在直线为y轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出函数解析式，再求出时x的值的即可得出答案．
【详解】解：如图所示，以所在直线为x轴、所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
方法一：，
点B与点D关于对称轴对称，
；
方法二：根据题意知，抛物线的顶点C的坐标为，
设抛物线的解析式为，
将点B代入得，
解得，
抛物线的解析式为，
当时，，
解得（舍）或，
所以茶几到灯柱的距离为3.2米，
故选：A．
16．A
【分析】根据圆周角定理和角平分线的概念逐项判断即可．
【详解】∵是的角平分线，
∴，
∵D为边上一点，
∴不一定等于，
∴不一定等于，
∴Ⅰ不对；
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴Ⅱ对．
故选：A．
【点睛】此题考查了圆周角定理定理，角平分线的概念等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
17．4（答案不唯一）
【分析】此题主要考查了点与圆的位置关系，解决本题的关键要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．
【详解】解： ∵四边形是矩形，，
∴，，
则，
∴，
∵以为圆心，为半径作圆，使得顶点A在内，顶点B，C在外，如图，
∴，
符合条件的的整数值有4，5，
故答案为：4（答案不唯一）．
18． ，
【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、抛物线的对称性、抛物线与轴的交点问题，将代入得：，即可求出的值，根据抛物线解析式可得抛物线的对称轴为直线，从而得到抛物线与轴的另一个交点为，由此即可得出一元二次方程的两根，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由图象可得，抛物线经过点，
将代入得：，
解得：，
，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点为，
一元二次方程的两根为，，
故答案为：，，．
19． 3
【分析】（1）由三角形三条边的关系可知当点C在的延长线上时，点B与点C的距离最短，据此求解即可；
（2）由三角形三条边的关系可知当点B，A，E共线时，点B到边的距离最大，根据勾股定理求出的长，再根据直角三角形的性质求出，进而可求出点B到边的距离的最大值．
【详解】解：（1）如图，连接，
∵，
∴当点C在的延长线上时，点B与点C的距离最短，最短距离为：．
故答案为：3；
（2）如图，作于点E，连接．
∵，
∴当点B，A，E共线时，点B到边的距离最大，
∵，
∴，
∴，
∴最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
20．(1)，数轴表示见解析
(2)
【分析】本题考查了列代数式、数轴、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据题意列出代数式，再根据a为负数，可得，即可得到的取值范围，再表示在数轴上即可；
（2）由可得，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：数字为负数，将其加3得到数字，
，
∴，
∵a为负数，即，
∴，
解得，
表示在数轴上如图，
（2）解：∵，
∴，
整理得，
解得，，
∵，
∴．
21．(1)画图见解析，其顶点坐标分别为，，
(2)见解析
【分析】本题考查了作图—旋转变换、坐标与图形，熟练掌握旋转变换的定义和性质是解题的关键．
（1）利用中心对称的性质分别作出点的对应点，，，再顺次连接即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，再顺次连接即可．
【详解】（1）解：如图，即为所作，
，
由图可得：顶点坐标分别为，，；
（2）解：如图，即为所作，
．
22．(1)22，32
(2)
(3)第16个
【分析】（1）观察图形发现图形的规律，然后例用规律写出第4和第5个图中的棋子数即可；
（2）根据发现的规律用含n的式子表示出来即可．
（3）由题意得：，然后解方程求解即可．
【详解】（1）（1）观察发现第1个图形有颗棋子；
第2个图形有颗棋子；
第3个图形有颗棋子；
∴第4个图形有颗棋子；
第5个图形有颗棋子；
故答案为：22，32；
（2）由（1）得：第n个图形中棋子的颗数为，
（3）由题意得：
解方程得：（舍去），
答：第16个图形中棋子的个数是274个．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解一元二次方程，解题的关键是根据各个图形中棋子的颗数发现规律，难度不大．
23．(1)
(2)当粽子的售价定为12.5元/袋时，日销售利润最大，最大日销售利润是810元
【分析】（1）直接应用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）根据题意列出获日销售利润与x的函数关系式，然后利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设一次函数的解析式为，
将，代入得：
，
解得：，
∴求y与x之间的函数关系式为；
（2）解：设日销售利润为w，
由题意得：
，
∴当时，w有最大值，最大值为810，
∴当粽子的售价定为12.5元/袋时，日销售利润最大，最大日销售利润是810元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，理解掌握题意，正确的找出题目中的等量关系，列出方程或函数关系式是解题的关键．
24．(1)此摄像头能有效监控整个匝道，见解析；
(2)，见解析．
【分析】（1）根据圆外一点与圆上最大距离即可求解；
（2）根据切线的性质和角度和差求出同位角相等即可判定平行．
【详解】（1）此摄像头能有效监控整个匝道，
理由：连接，延长交于点，

∵与相切于点，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵点到上的点的最大距离是线段的长，
∴，
∵，
∴此摄像头能有效监控整个匝道，
（2），
理由：连接，
∵，
∴，
∵与相切于点，
∴，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了圆的切线的性质和平行线的判定，解题的关键是熟练掌握切线的性质与平行线的性质及其应用．
25．(1)①；②运动员落水点与点C的距离为5m
(2)k的整数值为4，5
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用顶点式求出二次函数解析式；
（1）①根据抛物线顶点坐标，可设抛物线解析为：，将点代入可得；②在①中函数解析式中令，求出即可；
（2）若跳水运动员在区域内（含点，入水达到训练要求，则在函数中当，，当时，解不等式后，取整数值即可．
【详解】（1）解：①由题意得抛物线的顶点坐标为，点，
∴设抛物线的解析式为，
把，代入得，，
解得，
∴抛物线的解析式为．
②令，得，
解得，，
∵抛物线的对称轴为，且运动员落水点在对称轴的右侧，，
∴运动员落水点的坐标为，
∵点C为原点，
∴运动员落水点与点C的距离为5m．
（2）解：设抛物线的解析式为，
把，代入可得，
整理得，
则，
∴抛物线的解析式为，
∵，，
∴当时，，
解得；
当时，，
解得，
∴，
∴k的整数值为4，5．
26．(1)①见解析；②点H到的距离为
(2)或
(3)
【分析】（1）①解：由是的切线，可得，证明，则，即，进而结论得证；②如图1，过点H作于点Q，由勾股定理得，，根据，计算求解即可；
（2）由（1）可知，当时，与相切；如图2，当时，，，此时与相切，根据，计算求解即可；
（3）由勾股定理得，，如图3，过作，交圆于，根据的最大值与最小值的差为，计算求解即可．
【详解】（1）①解：∵是的切线，
∴，
∵，，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，即，
∵是半径，
∴是的切线；
②解：如图1，过点H作于点Q，
∵，，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴解得，，
∴点H到的距离为；
（2）解：由（1）可知，当时，与相切；
如图2，当时，
∵，，，
∴，
∴，即，此时与相切，
；
综上所述，当与相切时，旋转角的度数为或．
（3）解：由勾股定理得，，
如图3，过作，交圆于，
∴的最大值与最小值的差为，
∴的最大值与最小值的差为．
【点睛】本题考查了旋转的性质，切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等知识．熟练掌握切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质是解题的关键．