人教版九年级数学上册同步压轴题专题01韦达定理的四种考法（原卷版+解析）

这是一份人教版九年级数学上册同步压轴题专题01韦达定理的四种考法（原卷版+解析），共12页。
根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
类型一、直接运用韦达定理求代数式的值
例1.已知是一元二次方程的两个实数根，则的值是( )
A．0B．1C．2D．-3
【变式训练1】若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则x12﹣2017x1﹣2018x2的值为( )
A．2020B．2019C．2018D．2017
【变式训练2】已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为，且，则k的值是( )
A．－2B．2C．－1D．1
【变式训练3】设α、β是方程x2+x﹣2018＝0的两个实数根，则α2+2α+β的值为_____．
类型二、降幂思想求值
例1.已知，是方程的两根，则代数式的值是( )
A．B．C．D．
【变式训练1】若，则的值为_________________．
【变式训练2】若a2+a﹣1=0，则代数式a4+3a的值为_____．
【变式训练3】若，那么代数式的值是_________.
类型三、构造方程思想求值
例1.已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则 的值为( )
A．﹣402B． C． D．
【变式训练1】已知实数， 满足等式，，则的值是______．
【变式训练2】若m2+mn＝－1，n2－3mn＝10，则代数式m2+7mn－2n2的值为_______．
【变式训练3】若实数、满足，，则代数式的值为______．
【变式训练4】设实数s、t分别满足，并且st≠1，求____
类型四、根的取值范围问题
例1．方程的两根分别为，，且，则的取值范围是____．
【变式训练1】已知x1，x2是关于x的方程ax2﹣(a+1)x+1＝0的两个实数根．
(1)若x1≠x2，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a使得x12＝x22成立？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
【变式训练2】已知、是关于的一元二次方程的两实数根．
(1)若，求n的值；
(2)已知等腰三角形的一边长为7，若、恰好是△另外两边的长，求这个三角形的周长．
【变式训练3】关于x的方程有两个不相等的实数根，求分别满足下列条件的取值范围：
(1)两根都小于0；
(2)两根都大于1；
(3)方程一根大于1，一根小于1．
【变式训练4】设关于的一元二次方程有两个实数根，．
(1)求的值；
(2)求证：，且；
(3)若，试求的最大值．
专题01 韦达定理的四种考法
【基础知识点】
根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
类型一、直接运用韦达定理求代数式的值
例1.已知是一元二次方程的两个实数根，则的值是( )
A．0B．1C．2D．-3
【答案】A
【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根，
∴，，∴==0，
故选：A．
【变式训练1】若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则x12﹣2017x1﹣2018x2的值为( )
A．2020B．2019C．2018D．2017
【答案】B
【详解】 x1，x2是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，，，
．
故选B．
【变式训练2】已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为，且，则k的值是( )
A．－2B．2C．－1D．1
【答案】D
【解析】关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，
，，，，
，整理得出：，解得：，
故选：D．
【变式训练3】设α、β是方程x2+x﹣2018＝0的两个实数根，则α2+2α+β的值为_____．
【答案】2017
【详解】解：∵α是方程x2+x﹣2018＝0的根，
∴α2+α﹣2018＝0，∴α2＝﹣α+2018，
∴α2+2α+β＝﹣α+2018+2α+β＝α+β+2018，
∵α、β是方程x2+x﹣2018＝0的两个实数根，∴α+β＝﹣1，
∴α2+2α+β＝﹣1+2018＝2017．
故答案为2017．
类型二、降幂思想求值
例1.已知，是方程的两根，则代数式的值是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】∵a与b是方程的两根
∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0，∴a2=a+1，b2=b+1
∵，同理：
∴
故选：D．
【变式训练1】若，则的值为_________________．
【答案】
【详解】，①．
①等式两边同乘得，代回原式．
．
故答案为．
【变式训练2】若a2+a﹣1=0，则代数式a4+3a的值为_____．
【答案】2
【详解】∵，
∴，，
∴.
【变式训练3】若，那么代数式的值是_________.
【答案】- 6
【详解】由已知条件得到x2+x=1；再将所求的代数式变形为：x(x2+x)+x2-7，然后将其整体代入求值即可．
解：∵，
∴x2+x=1，
∴x3+2x2−7=x3+x2+x2−7=x(x2+x)+x2−7=x+x2−7=1-7=−6.
故答案为−6.
类型三、构造方程思想求值
例1.已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则 的值为( )
A．﹣402B． C． D．
【答案】C
【详解】将9n2+2010n+5=0方程两边同除以n2，变形得：5×()2+2010×+9=0，,又5m2+2010m+9=0，
∴m与为方程5x2+2010x+9=0的两个解，则根据一元二次方程的根与系数的关系可得m•==．
故选C
【变式训练1】已知实数， 满足等式，，则的值是______．
【答案】
【详解】解：∵实数， 满足等式，，
∴m，n是方程的两实数根，
∴，，
∴，
故答案为：
【变式训练2】若m2+mn＝－1，n2－3mn＝10，则代数式m2+7mn－2n2的值为_______．
【答案】−21
【详解】∵，，
∴原式=(m2＋mn)−2(n2−3mn)=−1−20=−21，
故答案为：−21．
【变式训练3】若实数、满足，，则代数式的值为______．
【答案】98
【解析】∵实数、满足，，
∴、是方程的两个根，∴，，
∴==，
故答案是：98．
【变式训练4】设实数s、t分别满足，并且st≠1，求____
【答案】-5
【详解】由题意得s与是方程的两个根，由根与系数的关系分别求出两根的和与两根的积，代入代数式即可求出结果．
把方程转化为
∴s与是方程的两个根
∴，
∴
类型四、根的取值范围问题
例1．方程的两根分别为，，且，则的取值范围是____．
【答案】
【详解】根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣m，x1x2=m﹣3，
∵x1＜0＜x2＜1，
∴x1x2＜0，x1﹣1＜0，x2﹣1＜0，
∴m﹣3＜0，(x1﹣1)(x2﹣1)＞0，
x1x2﹣(x1+x2)+1＞0，即m﹣3+m+1＞0，解得m＞1，
∴1＜m＜3．
【变式训练1】已知x1，x2是关于x的方程ax2﹣(a+1)x+1＝0的两个实数根．
(1)若x1≠x2，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a使得x12＝x22成立？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)且；(2)存在，a的值为1或-1
【详解】解：(1)由题意得，
解得：a≠0且a≠1．
故实数a的取值范围是：a≠0且a≠1；
(2)存在；
①若x1＝x2，则，
解得：a＝1；
②若x1+x2＝0，则，
解得：a＝﹣1．
综上所述，a＝1或﹣1．
【变式训练2】已知、是关于的一元二次方程的两实数根．
(1)若，求n的值；
(2)已知等腰三角形的一边长为7，若、恰好是△另外两边的长，求这个三角形的周长．
【答案】(1)6；(2)17.
【详解】解：(1)由题意得：，
∴
解得：
∵、是关于的一元二次方程的两实数根，
∴得：
∴
(2)①当7为底，即时，则，
即
解得
把n=2代入方程得
∴
∵3+3＜7(舍去)
②当7为腰，，即时，将x = 7 代入方程得49-14(n+1)+n2+5=0，
解得
当时，=22，
解得，
∴三角形的周长为3+7+7=17；
当时，=10，
解得
∵7+7＜15(舍去)
综上，三角形的周长为17．
【变式训练3】关于x的方程有两个不相等的实数根，求分别满足下列条件的取值范围：
(1)两根都小于0；
(2)两根都大于1；
(3)方程一根大于1，一根小于1．
【答案】(1)-2＜a＜-1；(2)2＜a＜3；(3)a＞3
【详解】解：∵关于x的方程x2-2ax+a+2=0有两个不相等的实根，
∴△=(-2a)2-4(a+2)＞0，
∴a＜-1或a＞2．
设方程x2-2ax+a+2=0的两根为α，β，
α+β=2a，αβ=a+2．
(1)∵两根都小于0，
∴α+β=2a＜0，αβ=a+2＞0，
解得：-2＜a＜0，
又，a＜0；
∵a＜-1或a＞2，
∴-2＜a＜-1；
(2)∵两根都大于1，
∴(α-1)(β-1)＞0，
∴αβ-(α+β)+1＞0，
∴a+2-2a＞-1，
∴a＜3，
又，a＞1；
又a＜-1或a＞2，
∴2＜a＜3；
(3))∵一根大于1，一根小于1，
∴(α-1)(β-1)＜0，
∴αβ-(α+β)+1＜0，
∴a+2-2a＜-1，
∴a＞3.
【变式训练4】设关于的一元二次方程有两个实数根，．
(1)求的值；
(2)求证：，且；
(3)若，试求的最大值．
【答案】(1)；(2)见解析；(3)取最大值．
【详解】(1)解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，，
∴，
∴
(2)证明：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴Δ=1-4a≥0,
∴，即，
∴，，
由此可知：且
∴且
命题得证．
(3)解：由题，
当时，取最大值，
又∵，
∴满足条件．
即当时，取最大值．