2024年广西贺州市八步区九年级中考三模数学试题

这是一份2024年广西贺州市八步区九年级中考三模数学试题，共22页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟，满分120分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 5的相反数是（ ）
A. B. 5C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相反数．相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此判断即可得结果．
【详解】解：5的相反数是，
故选：C．
2. 下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念判断．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是中心对称图形，故符合题意；
C、不是中心对称图形，故不符合题意；
D、不是中心对称图形，故不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是中心对称图的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B试卷源自 每日更新，会员下载免费且不限量。【解析】
【分析】此题考查了单项式的乘法、积的乘方、完全平方公式、合并同类项等知识，根据法则和公式计算后即可得到答案．
【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项正确，符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
4. 下列式子是分式方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了分式方程，分母中含有未知数的有理方程是分式方程，据此进行判断即可．
【详解】解：A．是一元一次方程，故选项不符合题意；
B．不是方程，故选项不符合题意；
C．是分式方程，故选项符合题意；
D．是一元一次方程，故选项符合题意．
故选：C．
5. 若，则下列式子中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
根据不等式的性质，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、，
，故原选项正确，符合题意；
B、，
∴，故原选项错误，不符合题意；
C、，
∴，故原选项错误，不符合题意；
D、，
，故原选项错误，不符合题意；
故选：A．
6. 如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得，再结合三角板的特征利用平角定义即可算出的度数．
【详解】解：如下图进行标注，

，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了平行线性质，三角形平角的定义，利用三角板的特点求出结果是解答本题的关键．
7. 农历三月三是中国少数民族的传统节日，2024年广西“三月三”连休4天，为激发广西青少年对壮族文化的热爱之情，某中学开展了“壮族文化”知识问答活动．某班6名参赛成员的成绩（单位：分）分别为：92，92，90，98，90，90，关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A. 众数是92B. 众数是98C. 中位数是94D. 中位数是91
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了众数、中位数的统计意义．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
分别求出中位数、众数即可解答
【详解】解：在这组数据中，90出现了3次，所以众数是90，故A、B选项错误，不符合题意；
从小到大排列：90， 90， 90，92，92，98，
∴中位数是，故C选项错误，D选项正确，符合题意；
故选D．
8. 如图，四边形内接于，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理及圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的对角互补得，再根据圆周角定理即可求解，解题的关键是熟记圆内接四边形的对角互补．
【详解】解：∵，四边形内接于，
∴
，
故选：C．
9. 一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致为（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】由二次函数的解析式可知，二次函数图象经过原点，则只有选项A,D可能正确，B,C不符合舍去，然后对A,D选项，根据二次函数的图象确定a和b的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在．
【详解】解：由二次函数的解析式可知，二次函数图象经过原点，则只有选项A,D符合，B,C不符合舍去，
A、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＞0，再根据>0得到b＜0，则一次函数y=ax+b经过第一、三、四象限，所以A选项正确；
D、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＜0，再根据<0得到b＜0，则一次函数y=ax+b经过第二、三、四象限，所以D选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象：二次函数的图象为抛物线，可能利用列表、描点、连线画二次函数的图象．也考查了二次函数图象与系数的关系．
10. 如图，将沿弦折叠，恰好经过圆心，若的半径为3，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意作,垂足为C，根据题意可得OC=，因此可得,所以可得圆心角,进而计算的的长.
【详解】根据题意作,垂足为C
沿弦折叠，恰好经过圆心，若半径为3
,
圆心角
=
故选C.
【点睛】本题主要考查圆弧计算，关键在于确定圆心角.
11. 如图所示，在一幅矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅长为80cm，宽为50cm的挂图，设边框的宽为xcm，如果风景画的面积是2800cm2，下列方程符合题意的是（ ）

A. （50+x）（80+x）＝2800B. （50+2x）（80+2 x）＝2800
C. （50﹣x）（80﹣x）＝2800D. （50﹣2x）（80﹣2x）＝2800
【答案】D
【解析】
【分析】根据图求出风景画的长、宽，再利用矩形的面积公式即可得出答案.
【详解】由题意得：风景画的长为：，宽为：
利用矩形的面积公式得：
故选：D.
【点睛】本题考查了一元二次方程的几何应用，依据题意求出风景画的长、宽是解题关键.
12. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连接、，与相交于点，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A. ①②③B. ①③④C. ②③④D. ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】由正方形，与是等边三角形的性质求解，求解 从而可判断①；证明 可判断②；由 可判断③； 证明 再证明 可得从而可判断 ④．
【详解】解： 正方形，

是等边三角形，


故①符合题意；
正方形，



是等边三角形，

而


由


故②符合题意；

不相似，故③不符合题意；
正方形，





，故④符合题意，
综上：符合题意的有：①②④．
故选：
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，含的直角三角形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13. 计算：=_______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据算术平方根的概念求解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
【详解】解：原式==4．
故答案为4．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
14. 因式分解：x2－36= _________．
【答案】（x＋6）（x－6）
【解析】
【分析】根据平方差公式解答即可．
【详解】解：x2－36=（x＋6）（x－6）；
故答案为：（x＋6）（x－6）．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于基础题目，掌握平方差公式是解答的关键．
15. 已知一次函数，函数值y随的值增大而减小，那么的取值范围是___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
根据一次函数的增减性列出不等式，通过解该不等式即可求得的取值范围．
【详解】解：由题意得，
解得．
故答案为：．
16. 如图，某小车在城市街道上行驶，临近十字路口时，它可能左转、直行、右转，小车右转的概率是___________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了简单概率，根据概率公式计算即可．
【详解】解：某小车在城市的街道上行驶，临近十字路口时，它可能左转、直行、右转，共有3种可能，
∴小车右转的概率是，
故答案为：
17. 如图，某商场为了方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯，原阶梯式自动扶梯的长为a米，坡角，已知改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，改造后的斜坡式自动扶梯的水平距离增加了的长度且的长度为20米，则a的值为_____________．（结果精确到米，参考数据：，，，）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，掌握解直角三角形的方法是解题关键．
先根据等腰直角三角形的判定与性质可得的长，再解直角三角形即可得．
【详解】解：由题意得：，
，即
是等腰直角三角形，且
∵，
在中，，即
解得
经检验，是所列分式方程的解，
故答案为：．
18. 如图，在直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数的图象上，D为y轴上一点，则的面积为___________．

【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，切线的性质；根据反比例函数系数k的几何意义可得，由切线的性质可得轴，再根据三角形的面积公式列式求解即可．
【详解】解：∵点C在函数的图象上，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵与轴相切于点，
∴轴，
∴轴，
∴，
故答案为：1．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：．
【答案】15
【解析】
【分析】此题考查了有理数的混合运算，计算乘方和除法后，再进行四则混合运算即可．
【详解】解：


20. 解分式方程：
【答案】
【解析】
【分析】根据解分式方程的步骤进行求解，再对求出的的值进行检验即可．
【详解】解：去分母得：，
去括号的：，
移项得：，
合并同类项得：，
化系数为1得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题关键．
21. 如图，在中，．
（1）作的平分线，交于点P；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，过点Р作于点D，若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）的长为6
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的尺规作法，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握尺规作图法，灵活运用角平分线的性质和勾股定理是解题的关键．
（1）以顶点为圆心画圆，交于两点，分别以这两点为圆心，再以相同半径画弧线，得两个弧线的交点，连接点与两弧线交点，延长交于点，则就是这个角的平分线．
（2）过点P作于D，根据角平分线的性质得，利用勾股定理得，证明，得到，设，则，，在中，利用勾股定理，解方程即可求解．
【小问1详解】
如图所示：点P即为所求；
作法：以顶点为圆心画圆，交于两点，分别以这两点为圆心，再以相同半径画弧线，得两个弧线的交点，连接点与两弧线交点，延长交于点，则就是这个角的平分线．
【小问2详解】
如图，过点P作于D，
∵，
∴，
∵平分，,
∴，
在中，，
在和中，
∵，
∴，
∴．
设，则，，
在中，，即，
解得，
答：长为6．
22. “书香润石室，阅读向未来”，为了让同学们获得更好的阅读体验，学校图书馆在每年年末，都将购进一批图书供学生阅读．为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查．问卷设置了五种选项：A“艺术类”，B“文学类”，C“科普类”，D“体育类”，E“其他类”，每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生人数为______名；
（2）请直接补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，A“艺术类”所对应的圆心角度数是多少度；
（4）请结合数据简要分析，给学校准备购进这一批图书提出建议．
【答案】（1）100 （2）见解析
（3）
（4）见解析
【解析】
【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量后，计算解答．
（2）利用样本容量计算出体育类的人数，求解可得到结论．
（3）根据圆心角计算即可．
（4）根据学生最喜欢科普类的图书，由此提出建议即可．
本题考查了条形统计图、扇形统计图，圆心角的计算，熟练掌握统计图的意义，准确计算样本容量，圆心角是解题的关键．
【小问1详解】
∵(人)，
故答案为：100．
【小问2详解】
根据题意，得(人)，
补图如下：
．
【小问3详解】
根据题意，得．
【小问4详解】
根据学生最喜欢科普类的图书，由此建议学校多购买科普类的图书．
23. 如图，内接于，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，为的中点，连接、．
（1）求证：是的切线；
（2）已知，，求．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、圆的有关知识、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知点，利用相似三角形的性质求出的长是本题的关键．
（1）由等腰三角形的性质可得，由圆周角定理可得，由直角三角形的性质可得，可得，由切线的性质可得可证即可证明结论；
（2）通过证明，可得，可求的帐，由三角形中位线定理可求解．
【小问1详解】
解：如图，连接．
，
．
是直径，
，
，
为的中点，
，
，
与相切于点，
，
，
，
，
，
又为半径，
是的切线
【小问2详解】
，，
，
，
，
，
．
为的中点，为中点，
．
24. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失．
（1）甲同学用空杯先接了温水，再接开水，接完后杯中共有水 ；此时杯子里水的温度为 ；
（2）乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求乙同学分别接温水和开水的时间．
【答案】（1）；
（2）学生接温水的时间为，接开水的时间为
【解析】
【分析】此题考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程和方程组是解题的关键．
（1）根据流速即可求出接完后杯中水的体积，设杯子里水的温度为，根据物理常识列出方程，解方程即可；
（2）设该学生接温水的时间为,接开水的时间为，根据水量和温度列出方程组，解方程组即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意可得，
即甲同学用空杯先接了温水，再接开水，接完后杯中共有水；
设杯子里水的温度为，则
解得
即此时杯子里水的温度为，
故答案为：；
【小问2详解】
设该学生接温水的时间为,接开水的时间为，
根据题意可得方程组：
解得，
答：学生接温水的时间为，接开水的时间为
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点C，过点C的抛物线与直线AC交于另一点B(4，3)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)已知轴上一动点Q(，0)，连接BQ，若△ABQ与△AOC相似，求出的值．

【答案】（1）；（2）4或．
【解析】
【分析】（1）根据直线的解析式可求出C点坐标，把B、C两点坐标代入，解方程组可求出a、b的值，即可得抛物线解析式；
（2）把点B坐标代入y=kx+1可求出k值，可得出A点坐标，即可求出AB、AC、的长，分点C的对应点是点B和点Q两种情况，利用相似三角形的性质分别求出m的值即可．
【详解】（1）在中，当时，，
∴点C（0，1），
∵抛物线经过C(0，1)，B(4，3)，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）∵直线AC过点B(4，3)，
∴，
解得，
∴直线AC的表达式为
当时，，
∴点A（﹣2，0），
∴OA=2
∵点C（0，1），B(4，3)
∴OC=1，，，
①当点C的对应点是点B时，过点B作BQ1⊥轴于点Q1（如图），
∵CO⊥轴，
∴BQ1∥CO
∴△AOC∽△
∵BQ1⊥轴于点Q1
∴此时点Q1的坐标为（4，0），
∴=4
②当点C的对应点是点时，过点B作⊥AB交x轴于点（如图），
∴∠CAO=∠，∠AOC=∠=90°，
∴△AOC∽△
∴，
∴，
解得：，

综上所述，满足条件的的值为4或．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式及相似三角形的判定与性质，灵活运用分类讨论的数学思想是解题关键．
26. 综合与实践
【课本再现】
（1）如图①，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点．在实验与探究中，小州发现通过证明，可得．请帮助小州完成证明过程．
【类比探究】
（2）如图②，若四边形是矩形，为对角线上任意一点，过作，交于点，当时，求证：．
（3）如图③，若四边形是平行四边形，为对角线上任意一点，点在上，且，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质可得，，，证明即可；
（2）过点作于点，反向延长交于点，证明，可得，证明，，可得结论；
（3）过作，交于点，证明，可得，再证明，可得，，结论得证．
【详解】（1）证明：∵四边形，是正方形，
∴，，，，
∴，，
∴，
在与中，
∴，
∴．
（2）过点作于点，反向延长交于点，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）过作，交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
又∵，∠OBG是公共角，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识．掌握正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．