数学：河北省承德市部分示范高中2024届高三三模试题（解析版）

这是一份数学：河北省承德市部分示范高中2024届高三三模试题（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】集合,
故选：B.
2. 若，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因，所以，
即，所以，
所以，
又，
所以向量与的夹角为.
故选：B.
3. 已知的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（ ）
A. B. 240C. 60D.
【答案】B
【解析】由题意可知：二项式系数之和为，可得，
其展开式的通项为，
令，解得，
所以其展开式的常数项为.
故选：B.
4. 已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A中，，其中，但的符号不确定，所以A不正确；
对于B中，例如，此时，所以B不正确；
对于C中，由函数在上为单调递减函数，
因为，所以，可得，所以C正确；
对于D中，例如，此时，所以D不正确.故选：C.
5. 若双曲线与具有相同的渐近线，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】双曲线的渐近线为，的渐近线为，
由题可知，
所以的离心率.
故选：C.
6. 已知函数，则不等式的解集为( )．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，
当时，，
∴，
当时，，
∴，
综上所述，的解集为．
故选:．
7. 已知，若点P满足，则点P到直线
的距离的最大值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】由可得点的轨迹为以线段为直线的圆，圆心为，半径为，
又直线，其过定点，
故距离的最大值为.
故答案为：C
8. 在中，角所对的边分别为.则“成等比数列”是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】当成等比数列时，，
所以，当且仅当时等号成立，
又，所以，所以，充分性满足；
当时，，
而当时，为最长的边，不满足成等比数列，必要性不满足.
则“成等比数列”是的充分不必要条件.
故选：A.
9. 故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱和是两个完全相同的直三棱柱，侧棱与互相垂直平分，交于点I，，，则点到平面的距离是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】取中点，连接，过作的垂线交的延长线于点，

取中点，连接，
由已知，、分别为、中点，
因为是直三棱柱，所以，且 ，
所以其，所以四边形为平行四边形，
又，所以为矩形，所以，
又，平面，平面，，
所以平面，平面，所以，
又因为，平面，平面，，
所以平面，所以点到平面的距离等于线段的长度，设为；
，在中，，
所以，设角，则有，
因为四边形为平行四边形，所以，
又因为因为是直三棱柱，所以，且，
所以，，
又因为平面， 平面，所以，
所以，即，解得，
所以点到平面的距离是，
故选：B.
10. 2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距的A，B两点各放置一个传感器，分别实时记录A，B两点与物体P的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线a，b所示.和分别是两个函数的极小值点.曲线a经过和，曲线b经过.已知，并且从时刻到时刻P的运动轨迹与线段AB相交.分析曲线数据可知，P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值以及P的速度大小分别为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】如图，建立平面直角坐标系，

设动点P的轨迹与y轴重合，其在时刻对应的点分别为（坐标原点），，P的速度为，
因为，可得，
由题意可知：均与y轴垂直，且，
作垂足为，则，
因为，即，解得；
又因为∥y轴，可知P的运动轨迹与直线AB所成夹角即为，
所以P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值为.
故选：B.
第二部分（非选择题）
二、填空题
11. 若是纯虚数，则实数a的值为__________.
【答案】
【解析】，
因为是纯虚数，
所以，得.
故答案为：
12. 已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为A，点B在C上.若，则直线AB的方程为__________.
【答案】或
【解析】设，则，则，此时，
所以或，又由已知，
直线AB的方程为或，
整理得或.
故答案为：或.
13. 使成立的一组a，b的值为__________，__________.
【答案】 2（答案不唯一） 2（答案不唯一）
【解析】若，则，可得，
例如符合上式.
故答案为：2；2.（答案不唯一）
14. 已知函数，若是偶函数，则__________；若圆面恰好覆盖图象的最高点或最低点共3个，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】因为偶函数，则，
且，所以；
可得，设的最小正周期为，
因为和均关于y轴对称，
可知圆面在y轴右侧仅覆盖图象的1个最低点，
对于，令，解得（不妨只考虑y轴右侧，舍负）；
可得，解得，
且，则，解得，
所以的取值范围是，
故答案为：；.
15. 已知数列的前n项和为且，给出下列四个结论：①长度分别为的三条线段可以构成一个直角三角形：②；③；④.其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】②
【解析】对于①：，则，
则，即，
假设长度分别为的三条线段可以构成一个直角三角形，
则为斜边，所以，
所以，所以或，与矛盾，故①错误；
对于②：，当且仅当等号成立，
所以，所以，
所以，②正确；
对于③：由已知，此时，所以不成立，③错误；
对于④：由已知，此时，所以不成立，④错误.
故答案为：②.
三、解答题
16. 如图，四边形ABCD为菱形，，把沿着BC折起，使A到位置.
（1）证明：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在（2）的条件下，求点D到平面的距离.
（1）证明：取线段的中点，连接，
因为四边形ABCD为菱形，且，
所以，为等边三角形，
所以，又面，
所以面，又面，所以；
（2）解：由，为边长为2的等边三角形可得，
所以，结合面可得两两垂直，
如图建立空间直角坐标系，，
，
设面的法向量为，直线与平面所成角为，
则，取得，
，
即直线与平面所成角的正弦值为；
（3）解：由（2）得点D到平面的距离为.
17. 已知函数的最小正周期为.
（1）求的值；
（2）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.
解：（1）由题意可知：
，
因为函数的最小正周期为，且，所以.
（2）由（1）可知：，
因为，则，
可知当，即时，取到最大值3，即.
若条件①：因为，
由正弦定理可得，
又因为，
可得，且，则，
可得，所以，
由正弦定理可得，可得，
则
，
因为锐角三角形，则，解得，
可得，则，可得
所以的取值范围为；
若条件②；因为，
由正弦定理可得：，
则，
因为，则，
可得，
即，且，所以，
由正弦定理可得，可得，
则
，
因为锐角三角形，则，解得，
可得，则，可得
所以的取值范围为；
若选③：因为，则，
整理得，且，所以，
由正弦定理可得，可得，
则
，
因为锐角三角形，则，解得，
可得，则，可得
所以的取值范围为.
18. 某口罩加工厂加工口罩由A，B，C三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，A，B，C三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；A，B，C工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级（表示最低过滤效率为）；C工序的加工质量层次为高，A，B工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级（表示最低过滤效率为）；其余均为95级（表示最低过滤效率为）.现从A，B，C三道工序的流水线上分别随机抽取100个口罩进行检测，其中A工序加工质量层次为高的个数为50个，B工序加工质量层次高的个数为75个，C工序加工质量层次为高的个数为80个.
表①：表示加工一个口罩的利润.
（1）用样本估计总体，估计该厂生产的口罩过滤等级为100等级的概率；
（2）X表示一个口罩的利润，求X的分布列和数学期望；
（3）用频率估计概率，由于工厂中A工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对A工序进行升级.在升级过程中，每个口罩检测成本增加了0.2元时，相应的A工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了b.试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，写出一个满足条件的b的值.
解：（1）设A，B，C三道工序加工的质量层次高的概率分别为，
用频率估计概率可得：，
记“该厂生产的口罩过滤等级为100等级”为事件，
所以.
（2）由题意可知：X的可能取值为2，1，0.5，则有：
，
，
所以X的分布列为
X的期望（元）.
（3）由题意可知：工厂升级方案后A道工序加工的质量层次高的概率为，
设工厂升级方案后一个口罩利润的期望为，
由题意可知：Y的可能取值为，则有：
，
，
，
所以Y的期望（元），
令，即，解得，
例如符合题意.
19. 已知椭圆的左右焦点分别为，以线段为直径的圆过C的上下顶点，点在C上，其中e为C的离心率.
（1）求椭圆C的方程和短轴长；
（2）点在C上，且在x轴的上方，满足，直线与直线的交点为P，求的面积.
解：（1）设，上下顶点分别为.
由以线段为直径的圆过C的上下顶点，得，得，即.
因为，即，所以，
由点在C上，得，，解得，
所以，则，短轴长.
（2）根据题意，画出图象如图所示：
因为，所以，
又，则，即，.
设，
由得，即，
因为点在椭圆上，
所以，即，
两式相减得，即，
，又点在轴的上方，所以.
又得，即.
于是.
20. 已知函数.
（1）若曲线在处的切线为x轴，求a的值；
（2）在（1）的条件下，判断函数的单调性；
（3），若是的极大值点，求a的取值范围.
解：（1）由已知，则，
由于曲线在处的切线为x轴，
所以，
所以；
（2）当时，，令，
则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
又当时，恒成立，，，
所以当时，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
（3）由已知，
令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
又当时，恒成立，且，
当时，，即在上有且只有一个零点，设为，
当，即，解得，
此时若，解得，在上单调递减，
若，解得或，在上单调递增，
此时在处取极小值，不符合题意，舍去；
当，即，解得，
此时若，解得，在上单调递减，
若，解得或，在上单调递增，
此时在处取极大值，符合是的极大值点，
当时，即，解得，
此时恒成立，无极值点，
综上所述：a的取值范围为.
21. 给定正整数，设数列是的一个排列，对，表示以为首项的递增子列的最大长度，表示以为首项的递减子列的最大长度.
（1）若，，，，，求和；
（2）求证：，；
（3）求的最小值.
（1）解：以为首项的最长递增子列是，以为首项的最长递减子列是和.
所以，.
（2）证明：对，由于是的一个排列，故.
若，则每个以为首项的递增子列都可以在前面加一个，
得到一个以为首项的更长的递增子列，所以；
而每个以为首项的递减子列都不包含，且，
故可将替换为，得到一个长度相同的递减子列，所以.
这意味着；
若，同理有，，故.
总之有，
从而和不能同时为零，
故.
（3）解：根据小问2的证明过程知和不能同时为零，故.
情况一：当为偶数时，设，则一方面有
；
另一方面，考虑这样一个数列：，.
则对，有，.
故此时.
结合以上两方面，知的最小值是.
情况二：当为奇数时，设，则一方面有
；
另一方面，考虑这样一个数列：，.
则对，有，.
故此时.
结合以上两方面，知的最小值是.
综上，当为偶数时，的最小值是；
当为奇数时，的最小值是.口罩等级
100等级
99等级
95等级
利润/元
2
1
0.5
X
2
1
0.5
P
0.3
0.5
0.2