数学：河北省沧州市部分示范性高中2024届高三下学期三模试题（解析版）

这是一份数学：河北省沧州市部分示范性高中2024届高三下学期三模试题（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，
，
图中阴影部分表示的集合是,
．
故选：B．
2. 若复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】由题得，
，，其对应的点位于第四象限.
故选：D．
3. 公差不为零的等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A. 4B. 6C. 7D. 9
【答案】C
【解析】设公差为，
，
，∴，．
故选：C．
4. 自“”横空出世，全球科技企业掀起一场研发大模型的热潮，随着算力等硬件底座逐步搭建完善，大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用．函数和函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数，函数的解析式为，经过某次测试得知，则当把变量减半时，（ ）
A. B. 3C. 1D. 或3
【答案】A
【解析】，
，，（舍）．
，
．
故选：A
5. 已知抛物线的焦点为，斜率为的直线经过点与抛物线交于两点，为坐标原点，若的面积为，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】C
【解析】设直线的方程为，设的坐标分别为
联立直线与抛物线的方程，得，
消去，得.
则
，.
故选：C.
6. 对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边中，，以三条边为直径向外作三个半圆，是三个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】如图所示，过点作，交直线于点，
则，可得.
设，，则，
因为，所以，
由图可知，当与半圆相切时，最大，
又由，，可得，
所以，即最大为，所以的最大值为.
故选：B.
7. 《几何补编》是清代梅文鼎撰算书，其中卷一就给出了正四面体，正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种正多面体的体积求法.若正四面体
的棱长为，为棱上的动点，则当三棱锥的外接球的体积最小时，三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，在正四面体中，假设底面，则点为外心.
在上取一点，满足，则，
则为三棱锥的外接球球心，
当取得最小值时，最小，三棱锥的外接球体积最小，
此时点与点重合.作，垂足为，，
为三棱锥的高.
由正四面体的棱长为，知，，
，.
设，则，故，.
由，得，
解得.，
.
故选：A.
8. 已知函数的值域与函数的值域相同，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，定义域为.
所以.
当时，，即在单调递增，
当时，，即在单调递减，
所以当时，取得最大值为.
所以函数的值域为.
令，则，
要使函数的值域为，
则，解得或，
综上，.
故选：D.
二、选择题
9. 某社区有甲、乙两队社区服务小组，其中甲队有3位男士、2位女士，乙队有2位男士、3位女士．现从甲队中随机抽取一人派往乙队，分别以事件和表示从甲队中随机抽取一人抽到的是男士和女士；以事件B表示从乙队（甲队已经抽取一人派往乙队）中随机抽取一人抽到的是男士，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】对于A，依题意，事件，事件不能同时发生，，故A正确；
对于B，，，，故B正确；
对于C，，
，故C正确；
对于D，，故D错误．
故选：ABC．
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 对任意实数，都有，则
B. 若，函数在上是单调递增函数，则
C. 若，函数在上的最大值为，最小值为，则的最小值为
D. 若，函数在上有最小值，则实数的取值可以为
【答案】ACD
【解析】选项A，易知为最大值或最小值，则是的一条对称轴的方程.
，，，，，正确；
选项B，令，解得.
在区间上是单调递增函数，则是的一个子区间.
当时，，则，错误；
选项C，当时，.
令，，则问题转化为在上的最大值为，最小值为.
要使最小，则的最大值或最小值点是区间的中点.
根据的图象特点，由周期性不妨取或，解得或.
当时，，，；
当时，，，，正确；
选项D，，，
根据正弦函数图象知，在上有最小值，则，解得，正确.
故选：ACD.
11. 已知椭圆的上顶点、左顶点为为椭圆上异于点的两个不同点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若直线的斜率之和为，则直线恒过定点
B. 若直线的斜率之积为，则直线恒过定点
C. 若直线的斜率之和为，则直线恒过定点
D. 若直线的斜率之积为.则直线恒过定点
【答案】ABC
【解析】A选项，易知，，设，.
依题意，设直线的方程为.
，，，.
联立得.
，.
，
，
.
代入整理，得.
，，
.
直线恒过定点，A正确；
B选项，，
代入整理，得，解得或（舍去）.
直线恒过定点，B正确；
C选项，
，
代入整理，得，
或，恒过定点或，
由于，故舍去，C正确；
D选项，.代入整理，得，
解得或，恒过定点或.
由于，故舍去，
直线恒过定点，D错误.
故选：ABC.
三、填空题
12. 已知的二项展开式中常数项为60，则______.
【答案】
【解析】展开式的通项为，
令，得，则的常数项为，
当常数项为60时，.
故答案为：.
13. 光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对介质1的折射率.如图，一个折射率为的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以的入射角从空气中射入点，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为______.
【答案】
【解析】如图，入射角，设折射角为，，，
则，，
所以，则，，
所以，且.
该光线再次返回空气中时，其所在直线的倾斜角为，
则其所在直线的斜率为
，
直线的方程为，整理得.
故答案为：
14. 若不等式，对于恒成立，则的最大值为______.
【答案】
【解析】令函数，则，
由，解得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，
也是最小值为
，
由不等式，可得，
所以，令，则，
当时，；当时，，
所以上单调递增，在上单调递减，
即，即，
所以的最大值为.故答案为：.
四、解答题
15. 已知数列满足，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：.
（1）解：，，，，两式相除，得，
当，时，，，即；
当，时，，，即，
综上所述，数列的通项公式为；
（2）证明：，
，
又，
.
16. 双十一网购狂欢节源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的促销活动，当时参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是11月11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期.某工厂现有工人50人，将他们的年产量进行统计，将所得数据按照，，，分成4组，制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值及年产量的第75百分位数；
（2）假设年产量在中的工人中有名女性，从该区间的人中随机抽取10人进行奖励，其中女性恰有人，记，则当为何值时，取得最大值.
解：（1）由题意得，
设产量的第75百分位数为，前两组频率之和为0.6，前三组频率之和为0.9，
则，，解得，
年产量的第75百分位数为180；
（2）产量在中的工人有（人），
，，
若，则，
解得，
若，则，
故当时，；当时，，
故当时，取得最大值.
17. 如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点.

（1）证明：平面平面；
（2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.
（1）证明：在直三棱柱中，，则直线两两垂直，
以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，

，，，，，，
，，，，
设平面的法向量为，则，
令，得 ，
设平面的法向量为，则，
令，得 ，
显然，点平面，所以平面平面.
（2）解：假设线段上存在点满足条件，，，
设直线与平面所成的角为，
则，
化简得，而，解得，
所以存在点符合题意，此时.
18. 已知双曲线左焦点为，经过点的直线交双曲线于点，，当直线轴时，.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知点，直线与双曲线交于两点，且的面积为，证明：点在双曲线上.
（1）解：依题意，双曲线过点，代入双曲线解析式，得，
解得，所以双曲线的标准方程为；
（2）证明：直线与双曲线方程联立得消去并整理可得，
所以，则，
设，，则，，
所以
，
点到直线的距离为，
所以的面积为，
令，则，，，，
则，所以，则点在双曲线上.
19. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若有两个极值点，证明：.
（1）解：当时，函数，可得，
所以，，所以切线方程为，
当时，；当时，，
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为.
（2）证明：依题意，有两个不等正根，不妨设，
由得，设，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递减，在上单调递增，
且当时，，可得，，
且，，
令，所以，
当时，，可得，
当时，，可得，
所以在上单调递增，
因为，所以，，
再令，可得，
当时，，上单递减；
当时，，在上单递减，
所以，所以，所以，
令，，可得，
所以在上单调递减，所以，即，
所以，所以，，
所以.