[数学]河北省衡水市部分示范性高中2024届高三下学期三模试题(解析版)

这是一份[数学]河北省衡水市部分示范性高中2024届高三下学期三模试题(解析版)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，
又，故，
故选：B．
2. 已知函数，则“”是“函数是奇函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若函数是奇函数，
则恒成立，即，
而，得．
故“”是“函数是奇函数”的必要不充分条件．
故选：B．
3. 已知是单位向量，，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，故．
，设与的夹角为，
则，又，故，
故选：A．
4. 艳阳高照的夏天，“小神童”是孩子们喜爱的冰淇淋之一．一个“小神童”近似为一个圆锥，若该圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，圆锥的母线长为，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设圆锥的底面圆的半径为，则底面圆的面积为，
侧面面积为，由题意知，
所以，解得，
因此该圆锥的高，
故该圆锥的体积．
故选：C．
5. 已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（ ）
A. 2B. 3C. 5D. 6
【答案】A
【解析】因为数列均为等差数列，可得，
且，又由，可得．
因此.
故选：A．
6. 已知双曲线：，圆与圆的公共弦所在的直线是的一条渐近线，则的离心率为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】因为，，所以两圆方程相减可得，
由题意知的一条渐近线为，即，
双曲线的离心率．
故选：C．
7. 已知，则m，n的关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意，
，，
则，
即，即.
故选：D
8. 已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设甲、乙、丙三人射击一次命中分别为事件，
每人各射击一次，在三人中恰有两人命中为事件，
则，
，则.
故选：D．
二、选择题
9. 复数，其中，设在复平面内的对应点为，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 对任意，点均在第一象限D. 存在，使得点在第二象限
【答案】AC
【解析】当时，，故，故选项正确；
，B选项错误；
当时，，，
故对任意，点均在第一象限，故C选项正确；
不存在，使得点在第二象限，D选项错误．
故选：AC．
10. 已知函数，是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数在区间上单调递减
C. 过点能作两条不同直线与相切
D. 函数有5个零点
【答案】AD
【解析】对于A中，由函数，可得，
因为 是函数的一个极值点，可得，
解得，经检验适合题意，所以A正确；
对于B中，由，令，解得或，
当时，；当时，；当时，，
故在区间上递增，在区间上递减，在区间上递增，所以B错误；
对于C中，设过点且与函数相切的切点为，
则该切线方程为，
由于切点满足直线方程，则，
整理得，解得，所以只能作一条切线，所以C错误；
对于D中，令，则的根有三个，如图所示，，
所以方程有3个不同根，方程和均有1个根，
故有5个零点，所以D正确．
故选：AD．
11. 已知在正方体中，，点为的中点，点为正方形内一点（包含边界），且平面，球为正方体的内切球，下列说法正确的是（ ）
A. 球的体积为
B. 点的轨迹长度为
C. 异面直线与BP所成角的余弦值取值范围为
D. 三棱锥外接球与球内切
【答案】ACD
【解析】由题意知球的半径为1，故其体积为，故A选项正确；
取的中点为，
连结，易知，平面，平面，
故平面，
连接MN，，即四边形为平行四边形，
则，平面，平面，所以平面．
又因为，平面，
故平面平面，平面平面，结合平面，
故点的轨迹为线段，故B选项错误；
因为，故异面直线与BP所成角等于或其补角，
当P位于N点时，得取得最小，;
当P位于点时，取得最大，，故选项正确；
由正方体几何性质易知，
故BM为三棱锥外接球的直径，取为BM的中点，
即为三棱锥外接球的球心，由题意知为的中点，
故，
因为球的半径为，球的半径为，
故三棱锥外接球与球内切，D正确
故选：ACD．
三、填空题
12. 的展开式中的系数为______（用数字作答）
【答案】
【解析】由题意，多项式展开式中含有的项为：
，
所以的系数为．故答案为：.
13. 已知是函数的一条对称轴，在区间内恰好存在3个对称中心，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】由题意知是函数的一条对称轴，
故，解得，，因为，故，
故，令，解得，
原点附近的6个对称中心分别为，
若3个对称中心恰好是，则，
则t不存在，不合题意；
若3个对称中心恰好是，
则，则；故当时，符合题意．
故t的取值范围为，故答案为：
14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为6，点，直线与交于A，B两点，且为AB中点，则的周长为______．
【答案】
【解析】由题意知，
设A，B两点坐标分别为，
两式相减得，
由题意为AB中点，
则，代入整理得．
即由题意知，
因此，所以，由焦距为6，解得．
由椭圆定义知的周长为．
故答案为：
四、解答题
15. 某企业为调研旗下公司职工对加班宵夜的满意度情况，在该企业旗下一个某地子公司进行小范围调研试验，该试验从该小公司随机抽取50名男职工、30名女职工进行调研得到如下列联表：
（1）根据表中数据，依据小概率值独立性检验，分析该子公司职工对加班宵夜的满意度是否与性别有关；
（2）若该企业有员工10000人，本次调研情况近似作为企业整体职工情况，频率近似概率．若该企业为加班宵夜满意的员工分发20元的打车补助，给不满意的员工分发30元的打车补助，求企业本次发放总费用数学期望．
附：
解：（1）零假设为：满意度与性别无关．
经计算得，
依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为满意度与性别有关，
此推断犯错误的概率不大于0.005；
（2）根据题意，全企业职工每人满意概率为，设满意的人数为，则不满意的为，由题意知，
，
则
16. 如图，在三棱柱中，四边形是矩形，，．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值．
（1）证明：在平行四边形中，因为，
所以四边形为菱形，故，
又因为，故为等边三角形，
故．
在中，，,
所以，故
又因为，平面，
所以平面，
因为平面，因此．
又因为，平面，
所以平面；
（2）解：取的中点，连结BM，因为为等边三角形，
所以，因为‖，所以，
因为平面，平面，
所以，
故两两垂直，
所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，则
， 令，得；
设平面的法向量为，则
, 令，得．
设平面与平面所成角为，
则．
17. 已知数列满足：．
（1）请写出的值，给出一个你的猜想，并证明；
（2）设，求数列前项和．
（1）解：因为，可得，，，
因此猜想是以1为首项，为公比的等比数列；
下面证明：
因为，
即，
又因为，故是以1为首项，
为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为．
（2）解：由（1）知，当时，，
累加得，
所以，
当时，满足题意，所以对成立；
故，可得
其中，
设，则，
两式相减得，即，
综上可得，数列的前项和．
18. 已知．
（1）求的单调区间和最值；
（2）定理：若函数在上可导，在上连续，则存在，使得．该定理称为“拉格朗日中值定理”，请利用该定理解决下面问题：
若，求证：．
（1）解：，令，解得，
当时，单调递减；
当时，单调递增．
当时，取得最小值1，无最大值；
（2）证明：要证，只需证，因为，故只需证．
令，显然在上可导，在上连续，
故由拉格朗日中值定理知存在，使得，
而在上单调递增，
因为，故，即，
故只需证即可，因为，故只需证．
由（1）知恒成立，因此原命题得证．
19. 已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与交于，两点．直线，与相切，切点分别为，，，与轴的交点分别为，两点，且．
（1）求的方程；
（2）若点为上一动点（与，及坐标原点均不重合），直线与相切，切点为，与，的交点分别为，．记，的面积分别为，．
①请问：以，为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由；
②证明：为定值．
（1）解：设，，，联立，
消去得，显然，所以，．
由，，故的方程为，
令得，解得，即，
同理，则．
由，知，
由，得，解得或（舍去），
故的方程为；
（2）①解：由（1）不妨设，由，
解得，，
所以，．
设，则．
联立，解得，所以，
同理，
以、为直径的圆的方程为，
整理得，
令，解得或，
故该圆恒过两个点．
②证明：由于，，，，， 所以，
，
，，
直线的斜率为，显然直线与垂直，故为直角三角形，
同理也是直角三角形，
故，，故（或）．
性别
满意情况
合计
满意
不满意
男职工
25
25
50
女职工
25
5
30
合计
50
30
80
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828