河南省洛阳市2023-2024学年高二下期期末质检数学试卷

这是一份河南省洛阳市2023-2024学年高二下期期末质检数学试卷，共10页。试卷主要包含了考试结束，将答题卡交回，经过抛物线C，下列命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，共150分。考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2.考试结束，将答题卡交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列导数运算正确的是
A.sinπ6'=csπ6 B.1x'=-12x
C.2²ˣ⁺¹'=2²ˣ⁺¹ln2 D .ln-x'=1x
2.已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如表：
且经验回归方程为 y=5.5x+â,则当x=4时，y的预测值为
A.62.5 B.61.7 C.61.5 D.59.7
3.已知 sinα+π12=53,则 csα-5π12=
A. 23 B.-23 C.53 D.-53
4.已知 -2,x,y,z, - 4成等比数列,则xyz=
A.±162 B.-162 C. ±16 D. - 16
5.已知函数g(x)为奇函数,其图象在点(a,g(a))处的切线方程为2x-y+1=0,记g(x) 的导函数为g'(x),则g'-a=
A.2 B. - 2 C. 12 D.-12
6.已知向量 b=3-1,|a|=2,|a+b|=22,则a在b上的投影向量为
A.-3212 B.32-12 C.-3515 D.35-15
7.经过抛物线C: y²=8x的焦点F的直线交C于A，B两点，与抛物线C的准线交于点P,若| AF|,| AF|,| BF|成等差数列,则|AB|=
A.43 B.46 C. 163 D. 323
8.甲、乙、丙三位棋手按如下规则进行比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，由第一局的胜者与丙进行第二局比赛，败者轮空，使用这种方式一直进行到其中一人连胜两局为止，此人成为整场比赛的优胜者.甲、乙、丙胜各局的概率均为 12，且各局胜负相互独立.若比赛至多进行四局，则甲获得优胜者的概率是
A. 38 B. 516 C. 14 D. 116
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.在 1x-x10的展开式中，下列说法正确的是.
A.各项系数的和是 1024 B.各二项式系数的和是 1024
C.含x的项的系数是- 210 D.第7项的系数是210
10.下列命题中正确的是
A.设随机变量X ~ N(0,1),若P(X > 1)=p,则 P(-1B.一个袋子中有大小相同的3个红球、2个白球，从中一次随机摸出3个球，记摸出红球的个数为X，则 EX=95
C.已知随机变量X ~ B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则 p=23
D.若随机变量X ~ B(10,0.9),则当X=9时概率最大
11.已知F₁,F₂为双曲线 x23-y22=1的左、右焦点，过F₂的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，则下列叙述正确的是
A.直线 PF₁与直线 PF₂的斜率之积为 32
B. | PQ| 的最小值为 433
C.若 |PQ|=23,,则△PF₁Q 的周长为: 83
D.点 P到两条渐近线的距离之积为65
12.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,E为 AA₁的中点，点 F 满足 A1F=λA1B10≤λ≤1,则
A.三棱锥 F-BDE 的体积是定值
B.当λ=0时,AC₁ ⊥平面BDF
C.存在λ，使得AC 与平面BDF 所成的角为 π3
D.当 λ=23时，平面BDF 截该正方体的外接球所得到的截面的面积为 5619π
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.直线 l:x+3y=0 被圆C :x-2²+y²=2截得的弦长为 .
14.校运会期间，需要学生志愿者辅助裁判老师进行记录工作，现从甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者中任意选派3名同学分别承担铅球记录、跳高记录、跳远记录工作，其中甲、乙、丙不承担铅球记录工作，则不同的安排方法共有 种.(用数字作答)
15.在等差数列{an}中, Sn为其前n项的和,若 S₄=6,S₈=20,则 S₂₀=_________.
16.若函数 fx=eˣx+1-ax+2有两个极值点，则实数a的取值范围是________ .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
在 △ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 3bsinC-c=ccsB.
(1) 求B;
(2) 若b=3,求△ABC的周长l的取值范围.
18.(12分)
已知正项数列{an}的前n项和为Sₙ，且 4Sₙ=aₙ+1².
(1)求数列{an }的通项公式;
(2) 求证: i=1n1Si<2.
19.(12分)
如图所示,两个长方形框架ABCD,ABEF满足AB=1,BC=BE =3,且它们所在的平面互相垂直.动点M，N分别在长方形对角线AC和BF上移动,且CM和BN的长度保持相等,记CM=BN=a(0 < a < 2).
(1)a为何值时,MN的长最小?
(2) 当MN的长最小时，求平面 MNA 与平面MNB的夹角的余弦值.
20.(12分)
甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设n次传球后球在乙手中的概率为 Pₙ.
(1)求P₁,P₂,P₃;
(2) 求Pn.
21.(12分)
已知函数f(x)=ln(x+2) -ax.
(1) 讨论f(x) 在(0,+∞)上的单调性;
(2) 证明 fx22.(12分)
已知定圆 F₁:x+1²+y²=8,动圆P过点 F₂10,，且和圆 F₁相切.
(1)求动圆圆心P的轨迹E的方程；
(2)设P是第一象限内轨迹E上的一点，PF₁，PF₂的延长线分别交轨迹E 于点( Q₁,Q₂.若r₁,r₂分别为 △PF₁Q₂,△PF₂Q₁的内切圆的半径，求 r₁-r₂的最大值.
洛阳市2023——2024学年高二质量检测
数学试卷参考答案
一、单选题
1 - 4 DDCB 5 - 8 ACDB
二、多选题
9. BD 10. ABD )11. BCD 12. BCD
三、填空题
13.2 14.24 15.110 16.-1e30
四、解答题
17.解:(1) 由正弦定理,得3sinBsinC - sinC = sinCcsB, ……1分
∵ 0 < C <π,
∴3sinB-csB=1,即 sinB-π6=12. …3分
又∵ 0(2)由(1)及正弦定理可知, 2R=bsinB=332=23,
a=2RsinA=23sinA,
c=2RsinC=23sinA+B=23sinAcsπ3+csAsinπ3=3sinA+3csA, ……6分
∴a+c=33sinA+3csA=6sinA+π6, …7分
又 0 ∴ 3 < a +c≤6, ……9分
∴ 6 < a +b+c≤9,即l∈(6,9],
∴ △ABC的周长l的取值范围为(6,9]. ……10分
18.解:(1) 当n =1时, 4a₁=a₁+1²得 a₁=1, ……1分
当n≥2时, 4Sₙ₋₁=aₙ₋₁+1²,
又 4Sₙ=aₙ+1²,两式相减得( aₙ+aₙ₋₁aₙ-aₙ₋₁-2=0, …4分
又∵ aₙ > 0, ∴ aₙ- an-1 =2,
∴ { aₙ}是首项为1，公差为2的等差数列， ……5分
∴aₙ=2n-1. ……6分
2∵Sn=n1+2n-12=n2, …7分
∴ n =1时, 1S1=1a1=1<2, …8分
n≥2时, 1Sn=1n2<1nn-1=1n-1-1n, ……9分
∴∑i=1n1Si=112+122+132++1n2<1+1-12+12-13+⋯+1n-1-1n=2-1n<, ……11分
∴∑i=1n1Si<2成立. …12分
19.解:∵ 平面ABCD ⊥ 平面ABEF,平面ABCD ∩平面ABEF=AB,CB⊥AB,
∴ CB ⊥ 平面ABEF,
∴ CB⊥BE,
从而CB,AB,BE两两垂直. ……2分
建立如图所示空间直角坐标系，
B(0,0,0),A(1,0,0),C(0,0, 3),F(1, 3,0),E(0, 3,0),
∵ CM =BN=a,
∴Ma203-32a,Na232a0. ……4 分
∴|MN|=a2-a22+32a-02+3-32a2
=32a2-3a+3. ……5分
∴ a =1时, |MN|min=62. …6分
(2) 由(1) 可知:M,N为中点时,MN最短,
则 M12032,N12320,
取 MN中点为G,连接AG,BG,则 G123434,
∵ AM =AN,BM =BN, ∴ AG⊥ MN,BG ⊥ MN.
∴ ∠AGB是平面 MNA 与平面 MNB 的夹角或其补角. ……8分
∵GA=12-34-34,GB=-12-34-34, …9分
……11 分
∴ 平面MNA 与平面MNB的夹角的余弦值为 15. ……12分
20.解:记 Aₙ=经过n次传球后,球在乙手中”,n=1,2,3,…
(1) 当n = 1 时, P1=PA1=12, ……1分
当n =2时, P2=PA2=PA1PA2|A1+PA1PA2|A1
=12×12+12×0=14, …3分
当n =3时, P3=PA3=PA2PA3|A2+PA2PA3|A2
=34×12+14×0=38. …5分
(2) 由 Pn+1=PAn+1=PAnPAn+1|An+PAnP(An+1|A,)
=1-Pn⋅12+Pn⋅0
=121-Pn,
即 Pn+1=-12Pn+12. …8分
∴Pn+1-13=-12Pn-13,
∴Pn-13 是首项为 16，公比为 -12的等比数列， …10分
∴Pn-13=16-12n-1, …11分
∴Pn=13+16-12n-1. …12分
21.解:(1) 由.f(x)=ln(x +2) -ax,得 f'x=1x+2-a. …1 分
当a≤0时,f'(x) >0,f(x) 在(0,+∞)单调递增;
当 a≥12时,f'(x) < 0,f(x)在(0,+∞)单调递减; …3分
当 0 0,f(x)单调递增，
x∈1-2aa+∞时,f'(x) < 0,f(x) 单调递减. ……5分
综上所述,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)单调递增,当 a≥12时,f(x)在(0,+∞)单调递减，
当 0(2) 要证 fx16.
令 gx=eˣ-lnx+2,则 g'x=ex-1x+2,可知g'(x)在(-2,+∞)上单调递增. ……7 分
又 g'-12=e-12-23<0,g'0=12>0,
故g'(x)=0在(-2,+∞)上有唯一的实根x₀，且 x0∈-120. ……8分
当x∈(﹣2,x₀)时,g'(x) <0;当 x∈x₀+∞时,g'(x) > 0,从而当x=x₀时,g(x)有最小值. ……9分
由 g'x₀=0,得 ex0=1x0+2,x0=-lnx0+2,
故 gx≥gx0=1x0+2+x0=1x0+2+x0+2-2>23+32-2=16 ……11分
综上， fx22.解(1) 圆 F₁的圆心为. F₁-10,半径 R=22.
设动圆P的半径为r,依题意有r =| PF₂|.
由 |F₁F₂|=2,可知点 F₂在圆F₁内，从而圆P内切于圆F₁，
故 |PF₁|=R-|PF₂|,即 |PF1|+|PF2|=22>|F1F2|. ……2分
所以动点 P 的轨迹E 是以 F₁，F₂为焦点，长轴长为2 2的椭圆，其方程为 x22+y2=1. ……4分
(2) 设 Px₀y₀,Q₁x₁y₁,Q₂x₂y₂x₀0,y₀>0),则 x02+2y02=2.
直线 F₁P的方程为 y=y0x0+1x+1, ……5分
将其代入椭圆的方程可得 x22+y02x0+12x+12=1,
整理可得 2x0+3x2+4y02x-3x02-4x0=0,
则x0x1=-3x02-4x02x0+3,
得x1=-3x0+42x0+3,y1=y0x0+1-3x0+42x0+3+1=-y02x0+3,
故 Q1-3x0+42x0+3-y02x0+3. ……7分
当 x₀≠1时，直线 F₂P 的方程为 y=y0x0-1x-1,
将其代入椭圆方程并整理可得( -2x0+3x2-4y02x-3x02+4x0=0,
同理，可得 Q23x0-42x0-3y02x0-3, ……8分
由椭圆定义可知： |PF1|+|PF2|=|Q1F1|+|Q1F2|=|Q2F1|+|Q2F2|=22则 △PQ₂F₁和△PQ₁F₂的周长均为 42.
因为 SPF1Q2=12×42r1,SPF2Q1=12×42r2,
所以
=y1-y222=24-y02x0+3-y02x0-3=22x0y0x02+18y02
当且仅当 x0=355,y0=1010时，等号成立.
PF₂⊥x轴时，易知 P122,y1=-210,y2=-22,
此时 r1-r2=y1-y222=24×4210=15, …11 分
综上， r₁-r₂的最大值为 13. ……12分
x
-2
- 1
1
2
3
y
25
36
40
48
56