2023-2024学年河南省许昌市高二（上）期末数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年河南省许昌市高二（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.经过A(0,4)，B(−1,3)两点的直线的方向向量(1,k)，则k=( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
2.若方程x2m+4+y2m−7=1表示双曲线，则m的取值范围是( )
A. m<−7或m>4B. −7C. m<−4或m>7D. −43.若过点P(2,1)，且与圆x2+y2=1相切的直线方程为( )
A. 2x+y−5=0B. 2x+y−5=0或y=1
C. 4x−3y−5=0D. 4x−3y−5=0或y=1
4.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点B到直线AC1的距离为( )
A. 63
B. 66
C. 65
D. 2 63
5.下列说法正确的是( )
A. 若直线l1的倾斜角为α，则它的斜率为k=tanα
B. 直线l2：x−my+3=0(m∈R)过定点(3,0)
C. 圆C1：x2+y2=4上有且仅有3个点到直线l3：x−y+ 2=0的距离等于1
D. 与圆C2：(x−2)2+(y−1)2=2相切，且在x轴y轴上的截距相等的直线只有一条
6.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n，则a2023+a2024的值是( )
A. 8094B. 8095C. 8096D. 8097
7.数学美的表现形式多种多样，我们称离心率e=ω(其中ω= 5−12)的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为x2a2+y2b2=1,(a>b>0)，若以原点O为圆心，短轴长为直径作⊙O，P为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与x，y轴分别交于M，N两点，则b2|OM|2+a2|ON|2=( )
A. 1ωB. ωC. −ωD. −1ω
8.已知函数f(x)=a⋅ex2+bx2+x−2，若f′(1)=1，则f′(−1)=( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设等差数列{an}的公差为d，前n项和Sn.若a3=16，S12>0，S13<0，则下列结论正确的是( )
A. 数列{an}是递增数列
B. S5=90
C. −327D. S1，S2，S3，…，S12中最大的是S6
10.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B(0, 2)，离心率为 22，若M，N为C上关于原点对称的两点，则( )
A. C的标准方程为x24+y22=1
B. 4|MF1|+1|NF1|≥94
C. kBM⋅kBN=−12
D. 四边形MF1NF2的周长随MN的变化而变化
11.已知函数f(x)=−x3+3x+2，则( )
A. f(x)有两个极值点(−1,0)，(1,4)B. f(x)有两个零点
C. 直线y=4x是f(x)的切线D. 点(0,2)是f(x)的对称中心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知A(1,1,0)、B(0,3,0)、C(2,2,2)，则向量AB在AC上的投影向量的模是______．
13.已知数列{an}满足，a1=1,an+1⋅an=2n(n∈N*)，若Sn为数列前n项和，则S2024= ______．
14.若函数f(x)=12x2−4lnx在其定义域的一个子区间(k−2,k+2)上，不是单调函数，则实数k的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，公比0(1)求{an}、{bn}的通项公式；
(2)求数列{anbn}的前n项和．
16.(本小题15分)
已知圆C的方程为x2+y2=4．
(Ⅰ)直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|=2 3，求直线l的方程；
(Ⅱ)点P(x,y)为圆上任意一点，求(x−3)2+(y−4)2的最大值和最小值．
17.(本小题15分)
如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．
(1)求证：EF⊥CF；
(2)求CE的长；
(3)求EF与CG所成角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为(3,0)，且经过点(2 2, 5)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若以k(k≠0)为斜率的直线L与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为812，求k的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=2x+alnx(a∈R)，g(x)=ex−x (其中e为自然对数的底数)．
(1)若函数f(x)的图像与x轴相切，求a的值；
(2)设a>0，∀x1，x2∈[2,4](x1≠x2)，都有|f(x1)−f(x2)|<|g(x1)−g(x2)|，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由A(0,4)，B(−1,3)，得AB=(−1,−1)，
因为直线的方向向量为(1,k)，
所以AB与向量(1,k)共线，可得1−1=k−1，解得k=1．
故选：C．
根据题意，可得AB=(−1,−1)，由AB与向量(1,k)共线列式求出k的值．
本题主要考查直线的斜率与方向向量及其应用，考查了概念的理解能力，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：若方程x2m+4+y2m−7=1表示的曲线是焦点在x轴上的双曲线，
则m+4>0m−7<0，解得−4若方程x2m+4+y2m−7=1表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线，
则m+4<0m−7>0，无解．
综合可得：−4故选：D．
对双曲线的焦点位置进行分类讨论，可得出关于实数m的不等式组，由此可解得实数m的取值范围．
本题考查双曲线的几何性质，分类讨论思想，属基础题．
3.【答案】D
【解析】解：圆x2+y2=1的圆心是(0,0)，半径是r=1，
把点P(2,1)的坐标代入圆的方程x2+y2=1可知点P在圆x2+y2=1外，
当直线斜率不存在时，
直线为x=2，不满足题意；
当直线斜率存在时，
设直线为y−1=k(x−2)，即kx−y+1−2k=0，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即|1−2k| k2+1=1，
解得k=0或k=43，
切线为4x−3y−5=0或y=1，
故选：D．
验证点在圆外，然后讨论切线斜率存在与不存在两种情况即可解决．
本题考查直线与圆相切的性质以及切线方程的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：以D1为坐标原点，以D1A1,D1C1,D1D为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D1−xyz，
则A(1,0,1)，B(1,1,1)，C1(0,1,0)，∴AB=(0,1,0)，AC1=(−1,1,−1)，
取a=AB=(0,1,0)，u=AC1|AC1|=(− 33, 33,− 33)，
则a2=1，a⋅u= 33，
则点B到直线AC1的距离为 a2−(a⋅u)2= 1−13= 63．
故选：A．
以D1为坐标原点，以D1A1,D1C1,D1D为单位正交基底，建立空间直角坐标系，取a=AB，u=AC1|AC1|，利用向量法，根据公式d= a2−(a⋅u)2即可求出答案．
本题主要考查点线距离的计算，空间向量及其应用等知识，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：对于A选项，当α为直角时，直线的斜率不存在，故A错误；
对于B选项，对于直线l2：x−my+3=0，由x+3=0y=0，可得x=−3y=0，
故直线l2：x−my+3=0(m∈R)过定点(−3,0)，故B错误；
对于C选项，设与直线l3平行且到直线l3的距离为1的直线的方程为x−y+c=0，
则|c− 2| 2=1，解得c=0或c=2 2，
所以，与直线l3平行且到直线l3的距离为1的直线的方程为x−y=0或x−y+2 2=0，
所以，圆C1：x2+y2=4上到直线l3：x−y+ 2=0的距离等于1的点在直线x−y=0和x−y+2 2=0上，
圆C1的圆心为原点，半径为2，显然直线x−y=0过圆心，
圆心到直线x−y+2 2=0的距离为2 2 2=2，即直线x−y+2 2=0与圆C1相切，
所以，圆C1：x2+y2=4上有且仅有3个点到直线l3：x−y+ 2=0的距离等于1，故C正确；
对于D选项，圆C2的圆心为C2(2,1)，半径为 2，
当所求直线过原点时，设直线的方程为y=kx，可得2k=1，则k=12，
此时，所求直线的方程为y=12x，
当所求直线不过原点时，设所求直线的方程为x+y=a(a≠0)，
则|2+1−a| 2=|3−a| 2= 2，解得a=1或5，
此时，所求直线的方程为x+y−1=0或x+y−5=0，
综上所述，与圆C2：(x−2)2+(y−1)2=2相切，且在x轴y轴上的截距相等的直线有三条，故D错误．
故选：C．
取α为直角，可判断A选项；求出直线所过定点的坐标，可判断B选项；求出圆C1：x2+y2=4上到直线l3：x−y+ 2=0的距离等于1的直线方程，将问题转化为直线与圆的公共点个数，可判断C选项；对所求直线是否过原点进行分类讨论，设出所求直线的方程，根据直线与圆的位置关系求出参数的值，确定所求直线的条数，可判断D选项．
本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
6.【答案】A
【解析】解：易知a1=S1=1+1=2，Sn−1=(n−1)2+n−1，
故an=Sn−Sn−1=n2+n−((n−1)2+n−1)=2n，(n≥2)
当n=1时符合题意，
故an=2n成立，
显然a2023+a2024=4046+4048=8094．
故选：A．
利用前n项和和通项公式的关系求出通项公式，再求值即可．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：依题意有OAPB四点共圆，
设点P坐标为P(x0,y0)，
则该圆的方程为：x(x−x0)+y(y−y0)=0，
将两圆方程：x2+y2=b2与x2−x0x+y2−y0y=0相减，
得切点所在直线方程为lAB：xx0+yy0=b2，
解得M(b2x0,0),N(0,b2y0)，
因为x02a2+y02b2=1，
所以b2|OM|2+a2|ON|2=b2b4x02+a2b4y02=b2x02+a2y02b4=a2b2b4=a2b2=11−ω2=2 5−1=1ω．
故选：A．
根据题意O、A、P、B四点在以OP为直径的圆上，可设点P坐标为P(x0,y0)，从而得出四点所在圆的方程为x(x−x0)+y(y−y0)=0，利用两圆方程之差求得切点A、B所在直线方程，进而求得M、N两点坐标即可解决本题．
本题考查了椭圆的性质，重点考查了圆与圆的位置关系，属中档题．
8.【答案】C
【解析】解：根据题意，因为f(x)=a⋅ex2+bx2+x−2，则f′(x)=2axex2+2bx+1，
则f′(−x)=−2axe(−x)2−2bx+1=−2axex2−2bx+1，
所以，f′(x)+f′(−x)=(2axex2+2bx+1)+(−2axex2−2bx+1)=2，
所以，f′(1)+f′(−1)=1+f′(−1)=2，故f′(−1)=1．
故选：C．
根据题意，求出f′(x)，计算出f′(x)+f′(−x)的值，结合已知条件即可得解．
本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．
9.【答案】CD
【解析】解：S12>0，S13<0，
则S12=12a1+12(12−1)2d>0，S13=13a1+13×122d<0，
化简得2a1+11d>0，a1+6d<0，即a6+a7>0，a7<0，故a6>0，
由a3=16得，a1=16−2d，代入得32+7d>0，16+4d<0，
解得−327则an+1−an=d<0，故数列{an}是递减数列，故A错误，
而S5=5(a1+a5)2=5a3=80，故B错误，
a7<0，a6>0，d<0，
数列所有项为负，
故S1，S2，S3，⋯，S12中最大的值是S6，故D正确．
故选：CD．
利用数列的性质逐个选项分析即可．
本题主要考查等差数列的前n项和，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：由题意得，上顶点为B(0, 2)，离心率为 22，故b= 2，c= 2，a=2，
故C的标准方程为x24+y22=1，显然A正确；
连接MF2，NF2，由对称性得|MF2|=|NF1|，
结合椭圆的定义得|MF1|+|NF1|=|MF1|+|MF2|=2a=4，
故14(4|MF1|+1|NF1|)(|MF1|+|NF1|)=14(4+1+4|NF1||MF1|+|MF1||NF1|)≥14(4+1+2 4|NF1||MF1|⋅|MF1||NF1|)=94，
当且仅当|MF1|=83,|NF1|=43时取等，故B正确；
设M(x0,y0)，N(−x0,−y0)，而x024+y022=1，故x02=4−2y02，
故kBM=y0− 2x0，kBN=−y0− 2−x0，故kBM⋅kBN=−y0− 2−x0⋅y0− 2x0=−(y02−2)−x02=−y02−24−2y02=−12，故C正确；
易知四边形MF1NF2的周长为|MF1|+|NF1|+|MF2|+|NF2|=8，为定值，故D错误．
故选：ABC．
对于A，利用已知求出方程即可，对于B，运用椭圆的定义结合基本不等式‘1’的代换处理即可，对于C，设出点，求斜率定值即可，对于D，运用椭圆的定义转化为定值即可．
本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
11.【答案】BD
【解析】解：对于A，∵f(x)=−x3+3x+2，f′(x)=−3x2+3=0>0⇒−1∴当x<−1时，函数f(x)单调递减，
当−1当x>1时，函数f(x)单调递减，
∴f(x)有两个极值点±1，故A错误；
对于B，∴f(x)=−x3+3x+2=(−x+2)(x2+2x+1)
=−(x−2)(x+1)2=0⇒x=−1或x=2，
∴f(x)有两个零点，故B正确；
对于C，∵f′(x)=−3x2+3≤3，
∴直线y=4x不可能是f(x)的切线，故C错误；
对于D，∵f(x)+f(−x)=−x3+3x+2+[−(−x)3+3(−x)+2]=4，
∴点(0,2)是f(x)的对称中心，故D正确．
故选：BD．
对于A，极值点不是点，由此即可判断；对于B，令f(x)=−x3+3x+2=−(x−2)(x+1)2=0即可判断；对于C，由f′(x)=−3x2+3≤3即可判断；对于D，由f(x)+f(−x)=2即可判断．
本题考查了导数的几何意义，函数的极值，零点，对称中心，属于中档题．
12.【答案】 66
【解析】解：由已知可得AB=(−1,2,0)，AC=(1,1,2)，
所以向量AB在AC上的投影向量的模为|AB|⋅|cs〈AB,AC〉|
=|AB|⋅|AB⋅AC||AB|⋅|AC|=|AB⋅AC||AC|=|−1+2| 6= 66．
故答案为： 66．
利用投影向量的定义结合空间向量数量积的坐标运算可求得结果．
本题考查空间向量的坐标运算，考查投影向量概念，属基础题．
13.【答案】3⋅21012−3
【解析】解：因为数列{an}满足a1=1，an+1⋅an=2n(n∈N*)，
所以an+2an+1an+1an=2n+12n=2，
又a2a1=2，解得a2=2，
则数列{an}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比都为2，首项分别为1，2，
则S2024=(a1+a3+⋯+a2023)+(a2+a4+⋯+a2024)=21012−12−1+2(21012−1)2−1=3⋅21012−3．
故答案为：3⋅21012−3．
数列{an}满足，a1=1,an+1⋅an=2n(n∈N*)，可以得出an+2an+1an+1an=2n+12n=2，则数列{an}的奇数项与偶数项分别成等比数列，分别利用等比数列求和公式即可得出结果．
本题考查了等比数列的概念，以及求和公式的应用，属于中档题．
14.【答案】[2,4)
【解析】解：由题意f′(x)=x−4x,(x>0)单调递增，且f′(2)=2−42=0，
所以若函数f(x)=12x2−4lnx在其定义域的一个子区间(k−2,k+2)上，不是单调函数，
则0≤k−2<2所以k的取值范围为[2,4)．
故答案为：[2,4)．
由题意求导结合函数单调性，列出不等式组即可求解．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，属中档题．
15.【答案】解：(1)设等差数列得公差为d，联立a2b2=4a3b3=12，即q(1+d)=4q2(1+2d)=12，
解得d=1q=2，或d=−13q=6，
又0∴d=1q=2，
故an=n，bn=2n−1．
(2)令Tn=a1b1+a2b2+⋯+anbn，
则Tn=a1b1+a2b2+⋯+anbn=1+22+322+⋯+n2n−1，
∴12Tn=12+222+323+⋯+n−12n−1+n2n，
两式相减得，12Tn=1+12+122+123+⋯+12n−1−n2n=1−12n1−12−n2n=2−12n−1−n2n，
化为Tn=4−n+22n−1．
【解析】(1)根据等差数列与等比数列的通项公式，建立方程组，可得答案．
(2)利用错位相乘法，可得答案．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16.【答案】解：(I)圆C的圆心为坐标原点O，半径为r=2，
设圆心O到直线l的距离为d，
则d= r2−(|AB|2)2=1，
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，此时圆心O到直线l的距离为1，符合题意，
②当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y−2=k(x−1)，即kx−y−k+2=0，
由题意可得，d=|2−k| k2+1=1，解得k=34，此时直线l的方程为y−2=34(x−1)，即3x−4y+5=0，
综上所述，直线l的方程为x=1或3x−4y+5=0．
(II)令M(3,4)，
∵点P(x,y)为圆上任意一点，
∴(x−3)2+(y−4)2表示圆C上的点到点M距离的平方，
∵圆C上的点到M的距离最大值为 (3−0)2+(4−0)2+r=5+2=7，
圆C上的点到M的距离最小值为 (3−0)2+(4−0)2−r=5−2=3，
故(x−3)2+(y−4)2的最大值和最小值分别为49和9．
【解析】(I)根据已知条件，先求出圆心O到直线l的距离，再分直线l斜率存在、斜率不存在两种情况讨论，即可求解．
(II)根据已知条件，结合两点之间的距离公式，以及圆的性质，即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)证明：建立如图所示的空间直有坐标系D−xyz，

则D(0,0,0)，E(0,0,12)，C(0,1,0)，F(12,12,0)，G(1,1,12)
所以EF=(12,12,−12)，CF=(12,−12,0)，CG=(1,0,12)，
因为EF⋅CF=12×12+12×(−12)+(−12)×0=0，
所以EF⊥CF，
即EF⊥CF．
(2)CE= CD2+DE2= 1+14= 52；
(3)因为EF⋅CG=12×1+12×0+(−12)×12=14，
|EF|= (12)2+(12)2+(−12)2= 32，
|CG|= 12+02+14= 52，
所以cs=EF⋅CG|EF|⋅|CG|=14 32⋅ 52= 1515．
【解析】(1)建立空间直有坐标系求解EF=(12,12,−12)，CF=(12,−12,0)，运用数量积证明即可；
(2)利用勾股定理即可求解；
(3)运用公式cs=EF⋅CG|EF|⋅|CG|，求解夹角即可．
本题考查了运用空间坐标系解决空间直线的位置关系，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为(3,0)，且经过点(2 2, 5)，
所以a2+b2=98a2−5b2=1，解得a2=4b2=5．
故双曲线C的标准方程为x24−y25=1．
(2)
设直线l的方程为y=kx+m(k≠0)．
点M(x1,y1)，N(x2,y2)的坐标满足方程组y=kx+mx24−y25=1，
所以得x24−(kx+m)25=1，
整理得(5−4k2)x2−8kmx−4m2−20=0．
此方程有两个不等实根，于是5−4k2≠0，
且Δ=(−8km)2+4(5−4k2)(4m2+20)>0.整理得m2+5−4k2>0.①
由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标(x0,y0)
满足x0=x1+x22=4km5−4k2,y0=kx0+m=5m5−4k2．
从而线段MN的垂直平分线方程为y−5m5−4k2=−1k(x−4km5−4k2)．
此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为(9km5−4k2,0),(0,9m5−4k2)．
由题设可得12|9km5−4k2|⋅|9m5−4k2|=812．
整理得m2=(5−4k2)2|k|,k≠0．
将上式代入①式得(5−4k2)2|k|+5−4k2>0，
整理得(4k2−5)(4k2−|k|−5)>0，k≠0．
解得0<|k|< 52或|k|>54．
所以k的取值范围是(−∞,−54)∪(− 52,0)∪(0, 52)∪(54,+∞)．
【解析】(1)由题意a2+b2=98a2−5b2=1，解方程组即可得解．
(2)由题意不妨设y=kx+m(k≠0).联立双曲线方程，所以5−4k2≠0，Δ=(−8km)2+4(5−4k2)(4m2+20)>0⇒m2+5−4k2>0，进一步由韦达定理，中点坐标公式得线段MN的垂直平分线方程，结合题意得m2=(5−4k2)2|k|,k≠0，由此即可进一步求解．
本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)根据题意可得a≠0，f′(x)=2+ax，
设切点坐标为(x0,0)，则2+ax0=0，解得x0=−a2，
所以在f(x0)=0，即2×(−a2)+aln(−a2)=0，
所以a=−2e．
(2)因为f′(x)=2+ax，a>0，
所以在[2,4]上f′(x)>0，f(x)单调递增，
因为g′(x)=ex−1，
所以在[2,4]上g′(x)>0，g(x)单调递增，
不妨设x1所以|f(x1)−f(x2)|<|g(x1)−g(x2)|，可转化为f(x2)−f(x1)所以f(x1)−g(x1)>f(x2)−g(x2)，
设h(x)=f(x)−g(x)=2x+alnx−(ex+x)=x+alnx−ex，a>0，x>0，
则h(x)在[2,4]上单调递减，
所以h′(x)=1+ax−ex≤0在[2,4]上恒成立，
即任意x∈[2,4]，xex−x≥a恒成立，
令u(x)=xex−x，x∈[2,4]，
u′(x)=ex+xex−1，
u″(x)=ex+ex+xex=(x+2)ex，
所以在[2,4]上u″(x)>0，u′(x)单调递增，
所以u′(x)>u′(2)=3e2−1>0，
所以u(x)在[2,4]上单调递增，
所以u(x)min=u(2)=2e2−2，
所以a≤2e2−2，
所以a的取值范围为(0,2e2−2]．
【解析】(1)根据题意可得a≠0，f′(x)=2+ax，设切点坐标为(x0,0)，则2+ax0=0，2×(−a2)+aln(−a2)=0，解得a，即可得出答案．
(2)分析函数f(x)，g(x)单调性，则|f(x1)−f(x2)|<|g(x1)−g(x2)|，可转化为f(x2)−f(x1)f(x2)−g(x2)，设h(x)=f(x)−g(x)，可得h(x)的单调性，则h′(x)=1+ax−ex≤0在[2,4]上恒成立，即任意x∈[2,4]，xex−x≥a恒成立，只需a≤u(x)min，可得答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．

2023-2024学年河南省许昌市高二（上）期末数学试卷（含解析）

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