2024年甘肃省天水市 秦安县安伏中学联片教研中考三模数学试题

这是一份2024年甘肃省天水市 秦安县安伏中学联片教研中考三模数学试题，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(共30分)
1. 下列各组数中，互为倒数的是（ ）
A. -3和B. 2和-2C. 和D. 和
【答案】C
【解析】
【分析】根据倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数，任何非0的数的倒数是，据此即可判断．
【详解】A.，则和不互为倒数，故A选项错误；
B.，则和不互为倒数，故B选项错误；
C.，则和互为倒数，故C选项正确；
D.，则和不互为倒数，故D选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查倒数的定义，根据乘积是否为1来判断是解题的关键．
2. 一个正数的两个平方根分别为与，则的值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方根的性质列出关于m的方程，求出m的值即可．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为与,
∴，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查的是平方根的概念，熟知一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键．
3. 如图，在平行四边形中，，则（ ）试卷源自 每日更新，更低价下载，欢迎访问。
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质：对角相等，邻角互补，根据平行四边形的性质得到，，即可求出答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵
∴，
∴，
故选：D．
4. 已知实数满足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查求代数式的值．关键是把等式中含字母的项看成一个整体，得到这个整体的值．难点是把所给等式整理成和等式中含字母的项有关的式子．由，可得，把所给代数式整理成，把前两项提取，得到含的式子，把整体代入后继续整理，化简，再整体代入计算即可．
【详解】解：
∵
原式
．
故选：．
5. 如图，在平面直角坐标系中，经过点，直线与交于、两点，则弦的最小值是（ ）
A. B. C. D. 以上都不对
【答案】C
【解析】
【分析】易知直线过定点，运用勾股定理可求出，由经过点，可求出半径，由于过圆内定点的所有弦中，与垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题．
【详解】解：对于直线，
当时，，
故直线恒经过点，记为点．
由于过圆内定点的所有弦中，与垂直的弦最短，即当时，最短，
连接，如图所示，
∵，
∴，
∵经过点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴弦的最小值是 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过点以及运用“过圆内定点的所有弦中，与垂直的弦最短”这个经验是解决该题的关键．
6. 如图，在中，，，点为上一点，点为的中点，连接．若，则的值为（ ）

A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点作于点，由已知可得的中位线，则，再由直角三角形的性质求得，由及三角形外角的性质求得，进而求得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，过点作于点，

，点为的中点，
，
，
，
，
点是的中点，
是的中位线，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形判定和性质，三角形的中位线的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
7. 如图，为的切线，B为切点，交于点C，点D在优弧上，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质，直角三角形的两锐角互余，先利用圆周角定理求出，再根据切线的性质可以得到．
【详解】解：∵，
∴，
又∵为的切线，
∴，
∴，
故选B．
8. 如图，在中，于点M，于点N，P为边中点，连接，则下列结论：①；②；③若，为等边三角形：④当时，．其中正确的是（ ）
A. ①②B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、相似三角形、等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质等知识点．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①；再证明，再根据相似三角形的对应边成比例可判断②；如果为等边三角形求得，推出是等边三角形，得到是等边三角形，而不一定使等边三角形，故③错误；当时，由P为边的中点，得出即可判断④正确．
【详解】解：①∵于点M，于点N，P为边中点，，
∴，
∴，故结论①正确；
②在与中，
∵，
∴，
∴，故结论②正确；
③∵，，
∴为等边三角形，
∴，
如果为等边三角形，
则，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
则是等边三角形，
而不一定是等边三角形，故结论③错误；
④当时，
∵于点N，
∴，
∴，
∵P为边的中点，
∴为等腰直角三角形
∴，故结论④正确．
综上，①②④正确．
故选：B．
9. 如图，在平面直角坐标中，矩形的边，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置，线段恰好经过点，点落在轴的点位置，点的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先证明，求出，连结，设与交于点F，然后求出，可得，再用含的式子表示出，最后在中，利用勾股定理构建方程求出即可解决问题．
【详解】解：∵矩形的边，，
∴，，，
由题意知，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由折叠知，，
∴，
∴，即，
连接，设与交于点F，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由折叠知，，
∴，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴点的坐标是，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质以及勾股定理的应用等知识，通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质求出的长是解题的关键．
10. 如图，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，若的面积等于4，则k的值等于（ ）
A. 8B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数比例系数的求解，设点，表示出即可求解．
【详解】解：设点，
则，
∵的面积等于4，
∴
∴
故
故选：B
二、填空题(共24分)
11. 分解因式： ________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用平方差公式进行分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
12. 方程在的解是________．
【答案】x=-1
【解析】
【分析】将分式方程转化为整式方程，解方程，注意分式方程的结果要进行检验．
【详解】解：方程左右两边同时乘以（1-x），得：x2-1=0，
解得：x=±1，
检验：当x=1时，1-x=0，
∴x=1是原分式方程的增根，
当x=-1时，1-x≠0，
∴x=-1是原分式方程的解，
故答案为：x=-1．
【点睛】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题关键．
13. 如图，在矩形中，对角线相交于点．若，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，先由矩形的性质得到，，证明是等边三角形，得到，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB于点E，若∠BAD=30°，且BE=2，则CD=____．
【答案】4
【解析】
【详解】解：连结OD，如图，设⊙O的半径为R，
∵∠BAD=30°，
∴∠BOD=2∠BAD=60°，
∵CD⊥AB，
∴DE=CE，
在Rt△ODE中，OE=OB﹣BE=R﹣2，OD=R，
∵cs∠EOD=cs60°=，
∴=，解得R=4，
∴OE=4﹣2=2，
∴DE=OE=2，
∴CD=2DE=4
故答案为4．
考点：垂径定理、解直角三角形
15. 如图，在中，，按以下步骤作图，①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点D，交于点E，连接；②以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点G；④连接并延长交AC于点H，若H恰好为的中点，则的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，如图所示，先证明得到，进一步证明得到，再由H是的中点，得到，由此即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示，
由题意得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵H是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形性质与判定， 相似三角形的性质与判定，证明得到，进一步证明是解题的关键．
16. 已知点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则tanB为_____．
【答案】
【解析】
【详解】解：过A作AC⊥y轴，过B作BD⊥y轴，可得∠ACO=∠BDO=90°，
∴∠AOC+∠OAC=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∵点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象上，
∴S△AOC=1，S△OBD=4，
∴S△AOC：S△OBD=1：4，即OA：OB=1：2，
则在Rt△AOB中，tan∠ABO=．
【点睛】本题考查反比例函数及锐角三角函数综合题，正确添加辅助线，数形结合解题是关键．
17. 如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则这个六棱柱的一个侧面面积是______．（单位：m）
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了正六棱柱的三视图，注意题目中的隐含条件及左视图的特点，得出正六边形的边长是解题关键．
由正六棱柱的主视图和左视图，可得到正六棱柱的边长为2 m，高为3m，进而求出侧面积．
【详解】解：如图，
由正六棱柱的主视图和左视图，可得到正六边形的最长的对角线长是4，
设O正多边形中心，
则，，，
则为等边三角形，
则边长，
由左视图可知，正六棱柱的高为3，
一个侧面的面积为，
故答案为：6．
18. 如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接，则的面积为______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数中k的几何意义．
连接，由于同底等高的两个三角形面积相等，则，然后根据反比例函数中k的几何意义有|，进而即可求解．
【详解】连接，
∵轴
∴
故答案为：3
三、计算题(共8分)
19. （1）．
（2）
【答案】（1）3；（2）
【解析】
【分析】（1）首先计算绝对值，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数，然后计算加减；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】（1）
；
（2）
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为：．
【点睛】此题考查了绝对值，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握以上运算法则．
四、作图题(共6分)
20. 如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母．
（1）如图1，在线段上找一点D，使得．
（2）如图2，画出的角平分线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）取格点F和格点E，使得，连接交于点D即可；
（2）取格点G，构造等腰三角形，找到的中点H，连接并延长交于点E即可．
【小问1详解】
（1）如图所示，点D即为所求；
如图可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D即可为所求；
【小问2详解】
如图所示，线段即为所求．
取格点，连接、，相交于点H，根据网格特点可知，四边形是矩形，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴平分，
延长交于点E，
则即为所求
五、解答题(共52分)
21. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
（1）求的取值范围
（2）若满足，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数关系，解一元二次方程；
（1）由一元二次方程根的情况与判别式的关系得出不等式求解即可；
（2）由一元二次方程根与系数关系，结合题中条件得出方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，解得：；
【小问2详解】
解：∵关于x的一元二次方程，
，，
∵，
∴，即，十字相乘因式分解得：，，
∵，
∴．
22. 如图，在中，，边的垂直平分线交和于点D，E，并且平分．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，进而得到，由角平分线的概念得到，进而利用三角形内角和定理求解即可；
（2）根据含角直角三角形的性质得到，然后利用勾股定理得到，进而求解即可．
【小问1详解】
∵的垂直平分
∴
∴．
又∵平分，
∴，而，
又∵，
∴．
【小问2详解】
∵，，
∴
∴
∴．
【点睛】此题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理和含角直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
23. 如图1，△ABC内接于，点D是的中点，且与点C位于AB的异侧，CD交AB于点E.
（1）求证：△ADE∽△CDA
（2）如图2，若的直径AB，CE=2，求AD和CD的长.
【答案】（1）详见解析；（2），.
【解析】
【分析】（1）根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”证角相等，进而可证三角形相似；
（2）连接BD，先证三角形ADB为等腰直角三角形，求出AD的长，再根据（1）中的相似三角形得出比例式求解即可.
【详解】（1）∵点D是的中点，
∴
∴∠ACD=∠BAD
∵∠ADE=∠CDA
∴△ADE∽△CDA
（2）连结BD，
∵点D时的中点，
∴AD=BD
∵AB是的直径，
∴∠ADB=90°
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴，
由（1）得△ADE∽△CDA
∴，即，
∴，
∴，
解得CD=8或-6（负值舍去）
∴CD=8.
【点睛】本题是圆与相似三角形的综合题，掌握圆周角定理及其推论，相似三角形的性质与判定是关键.
24. 如图，已知四边形的外接圆的半径为，弦与的交点为，与相交于点，.
（1）求证：
（2）若，求的面积.
【答案】（1）见解析；（2）的面积为.
【解析】
【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等得到∠ABD=∠ACB，证出△ABE∽△ACB即可得证；
（2）根据条件AE=EC，可知S△BAE=S△BCE，S△DAE=S△DCE，从而可得S△BCD=S△BAD，而△BAD的面积为×BD×AF即可．
【详解】（1）证明：∵∴
∵∴
又∵
∴
∴
∴
（2）连接.
∵，
∴，
，
，，
∵，
∴，，
∴，
，
∴．
答：的面积为.
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质以及圆的相关性质定理，在解决圆的问题中学会角的转换是解题的关键．
25. 在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率定于0.25．
（1）请估计摸到白球的概率将会接近________；
（2）计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？
（3）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？
【答案】（1）0.25；（2）盒子里白、黑两种颜色的球各有15个、45个；（3）15
【解析】
【分析】（1）根据摸到白球的频率，可得“摸到白色球”的概率；
（2）用总数乘以摸到白球的概率，得出白球的数量，进而得到黑球的数量；
（2）设需要往盒子里再放入x个白球，根据题意得出方程，解方程即可．
【详解】（1）∵摸到白球的频率为0.25，∴“摸到白色球”的概率=0.25．
（2）∵60×0.25＝15，60﹣15＝45，∴盒子里白球为15个，黑球45个；
（3）设需要往盒子里再放入x个白球，根据题意得：
解得：x＝15．
答：需要往盒子里再放入15个白球．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率、概率公式的运用．解题时注意：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
26. 如图，小丽瞭望远处的建筑物．已知小丽的高度为1.6米，在点M处测得建筑物最高点A的仰角为，沿方向前进24米到达点N处，测得点A的仰角为，求建筑物的高度（参考数据：，，）．

【答案】建筑物的高度为17.6米．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题．如图，延长交于点E，则，米，米，设米，则米，解直角三角形即可得到答案．
【详解】解：如图，延长交于点E，

由题意，得，米，米，
设米，
∵，
∴米，
米，
在中，，
米，
，
解得，
（米），
建筑物的高度为17.6米．
27. 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，点在轴上，点在轴上，点的坐标为，抛物线经过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）根据图象写出不等式的解集；
（3）点是抛物线上的一动点，过点作直线的垂线段，垂足为点,当时，求P点的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）坐标有或或
【解析】
【分析】(1)先求出A、B两点坐标，再代入抛物线中即可求出解析式；
(2)将不等式变形为,进而得到二次函数图像在一次函数图像上方即可求解；
(3)先证明△PDQ等腰直角三角形，进而求出 ，再分类讨论P点在直线AB上方或下方进而求解．
【详解】解：(1)当时，，解得，
当时，，
则点，点，
把，，，分别代入得
解得：，，，
∴该抛物线的解析式为．
(2)由不等式，
得，
由图像可知，二次函数图像在一次函数图像上方，
则不等式的解集为；
(3)如图，作轴于点，交于点，

在中，∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
设点，则点，
当点直线上方时，
，
即，解得，
则，
∴点的坐标为：．
当点在直线下方时，
，
即解得，
∴，
∴或，
综上所述，符合条件的点坐标有或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，图像法解不等式及等腰直角三角形的性质等，第(3)问中需要分类讨论P点位于直线AB上方或下方的情况．