2024年甘肃省天水市清水县上圭中学联片教研中考三模数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（共30分）
1. 下列各组数中互为相反数的是（ ）
A. -2与B. -2与C. 2与D. 与
【答案】A
【解析】
【分析】先根据二次根式的性质和立方根、绝对值求出每个式子的值，再根据相反数的定义判断即可．
【详解】解：A. -2与，互为相反数，符合题意；
B. -2与，不互为相反数，不符合题意；
C. 2与，不互为相反数，不符合题意；
D. 与，不互为相反数，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了立方根、二次根式的性质、相反数等知识点，能求出每个式子的值是解此题的关键．
2. 若，，则x为（ ）．
A. 214B. C. 2140D.
【答案】A
【解析】
【分析】将变形为，结合已知等式即可求解．
【详解】解：∵
，
又，
∴，
∴，
又，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查立方根的应用，解题关键是借助已知等式求解．
3. 若是方程的解，则a的值是（ ）
A. 4B. －1C. 1D. －4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为关于的一元一次方程．将代入方程，即可得到关于的一元一次方程，求解即可得出答案．
【详解】解：把 代入方程，
得：，即，
，
故选：B．
4. 已知点，，在二次函数的图象上，点A，C是该函数图象与正比例函数（k为常数且）的图象的交点．若，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是借助数形结合的思想．
借助于数形结合的思想即可求解．
【详解】解：根据题意可得大致图象为如图所示，
点A在第三象限，点B、C在第二象限，且B在C的左上方，则，
根据抛物线开口向下，在y轴右侧，y随着x的增大而减小得，
∴，
故选：D．
5. 如图，，点E在线段上，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依据△ABC≌△AED，即可得到∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠B的度数，进而得出∠AED的度数．
【详解】解：∵△ABC≌△AED，
∴∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD，
∴∠1=∠BAE=40°，
∴△ABE中，∠B==70°，
∴∠AED=70°，
故选：A．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
6. 如图，四边形的对角线，相交于点O，，且，则添加下列一个条件能判定四边形是菱形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据菱形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
当时，四边形是矩形；故选项A不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，故选项B符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；故选项C不符合题意；
当时，不能判定四边形为菱形；故选项D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
7. 如图，，，，均在上，，若，则的长最大为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、等边三角形的判定和性质等知识点，连接、，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理求出，再根据等边三角形的判定和性质解答即可，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
【详解】如图，连接、，
∵四边形为内接四边形，
∴，
∵，
∴，
由圆周角定理得：，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
当为的直径时，最大，最大值为，
故选：B．
8. 如图，在中，点D、E、F分别在、、上，，，则下列结论不一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，由平行线分线段成比例及相似三角形的性质逐一判断即可．
【详解】解：，
，，故A正确，D错误；
，
，故B正确；
，，
，
，
，故C正确；
故选：D．
9. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图，过作于，证明，由，即，可得，证明，可得，设，则，可得，，再利用正切的定义可得答案．
【详解】解：如图，过作于，

∵，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选A
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，若点C的坐标为（4，3），则k的值为（ ）
A. 12B. 20C. 24D. 32
【答案】D
【解析】
【分析】延长BC交x轴于D，则BD⊥OD，根据菱形的性质以及勾股定理得出BC=OC=OA=5，即可得出B点坐标，进而求出k的值即可．
【详解】解：延长BC交x轴于D，如图所示：
则BD⊥OD，
∵C的坐标为（4，3），
∴OD＝4，CD＝3，
∴OC＝＝5，
∵四边形OABC是菱形，
∴BC＝OA＝OC＝5，
∴BD＝5+3＝8，
∴点B的坐标为（4，8），
把B（4，8）代入函数y＝（x＞0）得：k＝4×8＝32；
故选D．
【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，解题关键在于作辅助线和掌握各性质定义.
二、填空题（共24分）
11. 已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查根与系数的关系．根据题意，得到，代入，求解即可．熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
12. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】用平方差公式即可得到结果．
【详解】原式= (m+6)(m−6)，
故答案为 (m+6)(m−6) ．
【点睛】考查用平方差公式因式分解，解题的关键是熟记用平方差．
13. 计算：___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，首先计算负整数指数幂、二次根式的化简，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
14. 如图，将直角三角形沿着方向平移得到三角形，若，，，图中阴影部分的面积为，则三角形沿着方向平移的距离为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，计算得；再根据阴影部分的面积，通过求解一元一次方程得，从而得，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，得，
∵，
∴三角形直角三角形，
∴，，
根据题意得：阴影部分的面积，且阴影部分的面积为，
∴，
∴，
∴，即三角形沿着方向平移的距离为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平移、一元一次方程、三角形面积计算的知识；解题的关键是熟练掌握平移、一元一次方程的性质，从而完成求解．
15. 如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝_______．
【答案】48°
【解析】
【分析】连接OA，分别求出正五边形ABCDE和正三角形AMN的中心角，结合图形计算即可．
【详解】连接OA，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOB==72°，
∵△AMN是正三角形，
∴∠AOM==120°，
∴∠BOM=∠AOM-∠AOB=48°，
故答案为48°．
【点睛】本题考查是正多边形与圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．
16. 如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD=8，AB=5，则线段PE的长等于____．
【答案】
【解析】
【分析】根据折叠可得四边形ABNM是正方形，CD=CF=5，∠D=∠CFE=90°，ED=EF，可求出三角形FNC的三边为3，4，5，在中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证，可得三边的比为3：4：5，设FG=3m，则PG=4m，PF=5m，通过PG=HN，列方程解方程，进而求出PF的长，从而可求PE的长．
【详解】解：过点P作PG⊥FN，PH⊥BN，垂足为G、H，
由折叠得：
四边形ABNM是正方形，AB=BN=NM=MA=5， CD=CF=5，∠D=∠CFE=90°，ED=EF，
∴NC=MD=8-5=3，
在中，
∴MF=5-4=1，
在中，设EF=x，则ME=3-x，
由勾股定理得， ，
解得：，
∵∠CFN+∠PFG=90°，∠PFG+∠FPG=90°，
∴∠CFN=∠FPG，
又∵∠FGP=∠CNF=90°
∴，
∴FG：PG：PF=NC：FN：FC=3：4：5，
设FG=3m，则PG=4m，PF=5m，
四边形ABNM是正方形，

∴GN=PH=BH=4-3m，HN=5-（4-3m）=1+3m=PG=4m，
解得：m=1，
∴PF=5m=5，
∴PE=PF+FE=，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形，正方形的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
17. 如图所示，已知：点A(0，0)，B（，0），C（0，1）在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第个等边三角形的边长等于__________．

【答案】
【解析】
【分析】根据题目已知条件可推出，AA1＝OC＝，B1A2＝A1B1＝，依此类推，第n个等边三角形的边长等于．
【详解】∵OB＝，OC＝1，
∴BC＝2，
∴∠OBC＝30°，∠OCB＝60°．
而△AA1B1为等边三角形，∠A1AB1＝60°，
∴∠COA1＝30°，则∠CA1O＝90°．
在Rt△CAA1中，AA1＝OC＝，
同理得：B1A2＝A1B1＝，
依此类推，第n个等边三角形的边长等于．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及解直角三角形，从而归纳出边长的规律．
18. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则m的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】先把点A坐标代入求出反比例函数解析式，再把点B代入即可求出m的值．
【详解】解：∵函数的图象经过点和
∴把点代入得，
∴反比例函数解析式为，
把点代入得：，
解得：，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键．
三、计算题（共8分）
19. 计算
（1）解方程：；
（2）计算：．
【答案】（1），
（2）3
【解析】
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次过程、特殊角的三角函数值及实数的运算，解决（1）的关键是掌握十字相乘的一般步骤；解决（2）的关键是记住特殊角的三角函数值．
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）先利用二次根式的性质，负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值化简各式，然后合并即可．
【小问1详解】
解：，
∴，
∴，
即，
∴或，
∴，；
【小问2详解】
解：
四、作图题（共6分）
20. 请按以下要求用无刻度直尺作图：
（1）如图1，线段和线段关于点M成中心对称，画出点M；
（2）如图2，将绕点O逆时针旋转90°得，画出；
（3）如图3，设，将绕点C顺时针旋转得，画出．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据中心对称图形的性质，连接、，交点即为中心对称点M；
（2）根据旋转的性质先作出三个顶点关于点O逆时针旋转90°得到的对应点，再首尾顺次连接即可；
（3）根据平行线的性质和旋转的性质作出=5，再根据tan=tanA=和tan∠= tan∠ACB= 得到点B的对应点，即可作出图形．
【详解】解：（1）如图所示，点M即为所求作的点；
（2）如图，即为所求作的三角形；
（3）如图，所求作的三角形．
【点睛】本题考查基本作图-旋转变换、画两个图形的对称中心，涉及旋转的性质、勾股定理、平行线的性质、锐角的三角函数等知识，掌握旋转变换的定义和性质，据此作出变换后的对应点是解答的关键．
五、解答题（共52分）
21. 某校为增强学生身体素质，开展了为期一个月的跳绳系列活动．为了解本次系列活动的效果，校体育组在活动之前随机抽取部分九年级学生进行了一分钟跳绳测试，根据一定的标准将测得的跳绳次数分成A、B、C、D、E 五个等级，五个等级的赋分依次为10分、9分、8分、7分、6分，将测试结果整理后，绘制了统计图1． 跳绳系列活动结束后，体育组再次对这部分学生进行跳绳测试，以相同标准进行分级和赋分，整理后绘制了统计图2．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）求被抽取的九年级学生人数，并补全统计图2．
（2）若全校 600 名九年级学生全部参加了跳绳活动及一分钟跳绳测试，测试分级和赋分标准不变．请通过计算，估计这 600名学生在跳绳活动结束后的测试中，赋分超过9分（含9分）有多少人?
（3）选择一个适当的统计量，通过计算分析，对该校跳绳系列活动的效果进行合理评价．
【答案】（1）被抽取的九年级学生人数是60人，补全统计图见解析
（2）赋分超过9分（含9分）约有人；
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查条形统计图，用样本估计总体，平均数，选择合适的统计量决策．
（1）先根据活动前九年级学生跳绳测试情况统计图得出总人数，再用总人数减去活动结束后其他等级的人数，可得出D等级人数，从而补全图形；
（2）用样本估计总体求解即可；
（3）可从平均数的角度分析求解（答案不唯一，合理即可）．
【小问1详解】
解：被抽取的九年级学生人数是（人）．
【小问2详解】
解：（人）．
答：赋分超过9分（含9分）约有人；
【小问3详解】
解：用平均数分析，
活动前的赋分平均数为（分），
活动后的赋分平均数为（分），
活动后的赋分平均数比活动前高，
该校跳绳系列活动的效果良好．
22. 已知，，E在线段延长线上，平分．连接，若．
（1）若，求的度数；
（2）若，探究与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线性质和判定的应用，用了方程的思想，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．
（1）根据，设，，，根据平行线的性质得出方程，求出即可．
（2）由，，可得，再由AE平分，可得，由可得，从而得出，再由，可得，最后得出结论．
【小问1详解】
∵，
∴设，，
即，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
，理由如下：
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
23. 某中学为丰富学生的校园生活，准备从体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元．
（1）求购买一个足球、一个篮球各需多少元？
（2）根据学校实际情况，需从体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？
【答案】（1）购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80；（2）30个．
【解析】
【分析】（1）设一个足球、一个篮球分别为x、y元，就有3x+2y=310和2x+5y=500，由这两个方程构成方程组求出其解即可；
（2）设最多买篮球m个，则买足球（96-m）个，根据购买足球和篮球的总费用不超过5720元建立不等式求出其解即可．
【详解】（1）解：设一个足球、一个篮球分别为x、y元，根据题意得
，解得，
∴一个足球50元、一个篮球80元；
（2）设买篮球m个，则买足球（96-m）个，根据题意得
80m+50(96-m)≤5720，解得x≤，
∵m为整数，∴m最大取30
∴最多可以买30个篮球
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，应熟练掌握列方程解应用题以及列不等式解应用题的步骤.
24. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接．

（1）求证：四边形为矩形；
（2）若菱形的边长为4，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】
【分析】（1）利用菱形的性质得到，先判断四边形为平行四边形，再判断矩形；
（2）分别求出和，再利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是矩形；
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）得：四边形为矩形，
∴，，
在中，由勾股定理得：．
【点睛】本题考查了菱形的性质和矩形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等，解题关键是牢记它们的概念与性质．
25. 如图，在中，，以为直径的分别交于点D、E，点F在的延长线上，且．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求和的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题属于圆的综合题，主要考查了切线的判定与性质、直角所对的圆周角是直角、解直角三角形等知识点，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理及勾股定理．
（1）连接．欲证是的切线，只需证明即可；
（2）根据，，求得，进而求得，过点作于点，则．解直角三角形求得，然后由三角形相似知，从而求得的值．
【小问1详解】
证明：连接．
为的直径，
（直径所对的圆周角是直角），
（直角三角形的两个锐角互余）；
，，
平分，即；
，
，
，即，
是半径，
为切线；
【小问2详解】
解：由（1）知：，，，
，
，
，
过点作于点．
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
即，
．
26. 如图，内接于，为直径，延长至点，连接，为上方圆上一点，连接．若，，．

（1）求的值；
（2）若，求证： 为的切线．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、切线的判定、矩形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由圆周角定理得，由勾股定理可得，再由正弦的定义计算即可得出答案；
（2）连接，，作于，则，证明四边形为矩形，得出，即可得证．
【小问1详解】
解：为直径，
，即，
由勾股定理得：，
；
【小问2详解】
证明：如图，连接，，作于，则，

为直径，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
四边形为矩形，
，
为的切线．
27. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，菱形的顶点，C在x轴的负半轴，抛物线的对称轴，且过点O，A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在线段上方的抛物线上有一点P，求面积的最大值，并求出此时P点的坐标；
（3）若把抛物线沿x轴向左平移m个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形的顶点B．直接写出平移后的抛物线解析式．
【答案】（1）
（2），点
（3）或
【解析】
分析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)过点P作轴交于点H，设点P、H的坐标分别为、，由面积，根据二次函数的性质即可求解；
(3)结合勾股定理以及菱形的性质求出点B的坐标，设得到的抛物线的解析式为，再把点B的坐标代入，即可求得m的值，即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得：函数图像的对称轴为直线，点，点，
将上述条件代入抛物线表达式得：，
解得，
故抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：如图：过点P作轴交于点H，
由点A的坐标得：直线的表达式为，
设点P、H的坐标分别为、，
则的面积为：
，
，
面积有最大值，
当时，面积有最大值，最大值为，
此时，点；
【小问3详解】
解：设与y轴交于点D，
点，
，，
四边形是菱形，
，
，
点，
抛物线沿x轴向左平移m个单位长度，
得到的抛物线的解析式为，
使得平移后的抛物线经过菱形的顶点B，
把点B的坐标代入解析式，得
，
整理得：，
解得或，
当时，，
当时，，
综上，平移后的抛物线解析式为或．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，菱形的性质，解题的关键是求出平移的m的值．