2024年甘肃省天水市甘谷县吴家湾学校联片教研中考三模数学试题

这是一份2024年甘肃省天水市甘谷县吴家湾学校联片教研中考三模数学试题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(共30分)
1. ， 0， 3，这四个数中， 最小的数是（ ）
A. B. 0C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了有理数大小的比较．有理数大小比较的法则：正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【详解】解： ．
∴最小的数是，
故选：A．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知二次根式的四则运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
3. 已知关于x的方程2x－a ＋5 ＝ 0的解是x＝2，则a的值为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】把x＝2代入原方程，解方程即可求解．试卷源自 每日更新，更低价下载，欢迎访问。【详解】解：把x＝2代入原方程得，
4－a＋5＝0，
解得，a＝9
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解题关键是明确方程解的含义，代入后准确解方程．
4. 如图，，点在直线上，点在直线上，，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，根据等边对等角，得到，根据两直线平行，内错角相等，得到，即可得出结果．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴；
故选C．
5. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交BC于点D，连结AD．若CD＝1，BD＝2，则AC的长为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质求出AD，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：∵线段AB的垂直平分线交BC于点D，BD＝2，
∴AD＝BD＝2，
在Rt△ACD中，AC＝，
故选：B．
【点睛】本题考查中垂线的性质以及勾股定理，理解线段中垂线的基本性质，熟练运用勾股定理是解题关键．
6. 如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取，的中点C，D，量得，则A，B之间的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，准确理解计算是解题的关键．
根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】∵，的中点，，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
7. 如图，正六边形内接于，正六边形的周长是12，则的半径是（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，，根据等边三角形的性质可得的半径，进而可得出结论．
【详解】连接，，
∵多边形是正六边形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵正六边形的周长是12，
∴，
∴的半径是2
故选：C
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键．
8. 如图，D，E分别是的边，上的点，若，，，，则的长度为（ ）
A. B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
解得，
故选：C．
9. 如图，E是菱形ABCD的边BC上的点，连接AE．将菱形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在CD的中点F处，则tan∠ABE的值是（ ）
A. 4B. 5C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过A点作AN⊥DF于N，根据四边形ABCD是菱形，有AB=CD=AD，∠ABE=∠D，设AD=4， F是CD中点，则有DF=FC=2，根据翻折的性质可知AB=AF，则可知△AFD是等腰三角形，由AN⊥DF，得AN也平分DF，则有DN=NF=1，在Rt△AND中利用勾股定理可得AN，则可求出tan∠D，即tan∠ABE得解．
【详解】过A点作AN⊥DF于N，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD=AD，∠ABE=∠D，设AD=4，
∵F是CD中点，
∴DF=FC=2，
根据翻折的性质可知AB=AF，
∴△AFD是等腰三角形，
∵AN⊥DF，
∴AN也平分DF，则有DN=NF=1，
∴在Rt△AND中利用勾股定理可得，
∴tan∠D=，
∴tan∠ABE=，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、正切、等腰三角形的判定与性质等知识，证明△AFD是等腰三角形是解答本题的关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中，点，，是x轴正半轴上的点，且，分别过，，作y轴平分线交双曲线于，，…，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象上的坐标特征，以及图形找规律，设，根据反比例函数得到，，，，的长度，再根据三角形面积公式求解，即可解题．
【详解】解：设，过，，作y轴平行线交双曲线于，，…，
由题知，
的面积是：，
的面积是：，
的面积是：，
，依此类推，
的面积是：，
故选：A．
二、填空题(共24分)
11. 若，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，据此求出，再代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 分解因式a2﹣9a的结果是_______________
【答案】a(a-9)
【解析】
【分析】先提取公因式a．
【详解】详解：a2－9a＝a(a－9)，
故答案为a(a－9)．
【点睛】本题考查了用提公因式法分解因式，如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式．
13. 已知关于x、y的方程组，则的值为_______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，另方程组中的两个方程相加，即可得出，即可求出的值．
【详解】解：
由①+②可得出：，
整理得：，
∴，
故答案为：1．
14. 已知，如图，AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为_____．
【答案】∠α+∠β﹣∠γ＝180°
【解析】
【分析】过E作EF//AB，由平行线的质可得∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系．
【详解】解：过点E作EF//AB
∴∠α+∠AEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠AEF＝180°-∠α
∵AB//CD（已知）
∴EF//CD．
∴∠FED＝∠γ（两直线平行，内错角相等）
∵∠β＝∠AEF+∠FED
∴∠β＝180°-∠α+∠γ
∴∠α+∠β﹣∠γ＝180°．
【点睛】本题考查了平行线性质的应用-拐点问题，常用的解答方法是过过拐点作其中一条线的平行线，利用平行线的传递性说明与另一条线也平行，然后利用平行线的性质解答即可．
15. 如图，在Rt中，，，，是边上的一个动点，于点，于点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查矩形判定和性质，垂线段最短，勾股定理，连接，证明四边形为矩形，得到，根据垂线段最短，得到时，最小，即最小，等积法求出的长即可．
【详解】解：连接，
∵，，，
∴，
∵于点，于点，，
∴四边形矩形，
∴，
∴当最小时，最小，
∴当时，最小，即最小，
此时，即：，
∴；
∴的最小值为；
故答案：．
16. 以为中心点的量角器与直角三角板如图所示摆放，直角顶点在零刻度线所在直线上，且量角器与三角板只有一个公共点，若点的读数为135°，则的度数是______．
【答案】45
【解析】
【分析】根据切线的性质得到∠OPB＝90°，证出OP∥BC，再根据图即可∠EOP＝135°，进一步可得出∠POB的度数，根据平行线的性质得到∠POB＝∠CBD，于是得到结果．
【详解】解：∵AB是⊙O的切线，
∴∠OPB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴OP∥BC，
∵点的读数为135°，
∴∠EOP＝135°
∴∠POB＝180°-135°=45°
∴∠CBD＝∠POB＝45°，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．
17. 如图，是操场上直立的一根旗杆，旗杆上有一点B，用测角仪（测角仪的高度忽略不计）测得地面上的D点到B点的仰角，到A点的仰角，若米，则旗杆的高度________________米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据仰角构造直角三角形．在中，根据，求出米，在中，根据即可求出的高度．
【详解】解：在中，
∵°，
∴米，
在中，
∵，
∴米．
故答案为：．
18. 如图，在中，AB＝2，AC＝4，绕点C按逆时针方向旋转得到，使∥AB，分别延长AB，相交于点D，则线段BD的长为__．
【答案】6.
【解析】
【详解】试题分析：∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，AB＝2，AC＝4，
∴A′B′＝AB＝2，AC′＝AC＝4，∠CA′B′＝∠A.
又∵CB′∥AB，∴∠A′CB′＝∠A. ∴△A′CB′∽△DAC.
∴，即. ∴BD=6.
考点：1.旋转的性质；2.平行的性质；3.相似三角形的判定和性质.
三、计算题(共8分)
19. （1）．
（2）
【答案】（1）3；（2）
【解析】
【分析】（1）首先计算绝对值，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数，然后计算加减；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】（1）
；
（2）
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为：．
【点睛】此题考查了绝对值，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握以上运算法则．
四、作图题(共4分)
20. 如图，在平面直角坐标系内，顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于原点O成中心对称的；
（2）以A为位似中心，在网格中画出，使与位似且面积比为．
【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称作图和位似作图，解题的关键是作出对应点．
（1）作出点A、B、C关于原点的对称点、、，然后顺次连接即可；
（2）以A为位似中心，作出点B、C的位似点，然后顺次连接即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求作的三角形．
【小问2详解】
解：如图，与即为所求作的三角形．
五、解答题(共54分)
21. 一家商店于春节后购进了一批新款春装，从销售中记录发现，平均每天可售出件，每件盈利元为把握换季营销，商店决定采取适当的降价活动，以扩大销售量，增加盈利市场调研认为，若每件降价元，则平均每天就可多售出2件．
（1）若活动期间平均每天的销售量为件，求每件春装盈利是多少元？
（2）要想平均每天销售这款春装能盈利元，又能尽量减少库存，那么每件应降价多少元？
（3）平均每天销售这款春装盈利的最大值是多少元？
【答案】（1）元
（2）元
（3）最大值元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的性质，
（1）利用每件新款春装的销售利润为：盈利减去增加销量的一半，即可得；
（2）设每件新款春装应降x元，则每件盈利元，平均每天可售出件，
根据题意得：，进行计算即可得；
（3）设每件新款春装应降价元，每天销售这款春装盈利元，根据题意得，
，利用二次函数的性质即可得；
理解题意，掌握一元二次方程，二次函数的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：根据题意得：（元）．
【小问2详解】
解：设每件新款春装应降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，
根据题意得：，
整理得：，
，
解得：，，
∵要尽量减少库存，
．
【小问3详解】
解：设每件新款春装应降价元，每天销售这款春装盈利元，根据题意得，
即最大值元，
答．平均每天销售这款春装盈利的最大值是元．
22. 如图，CB为∠ACE的平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D．
（1）求证：AB＝FE；
（2）若ED⊥AC，ABCE，求∠A的度数．
【答案】（1）见解析 （2）120°
【解析】
【分析】（1）根据“AAS”证明，即可证明；
（2）根据得到，进而证明，利用直角三角形性质得到，即可求出，，即可求出．
【小问1详解】
证明：∵为的角平分线，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两锐角互余，理解题意证明，进而根据平行线的性质和全等三角形性质得到是解题关键，
23. 已知：四边形是正方形，E、F分别是和的延长线上的点，且，连接、、．

（1）求证： ；
（2）判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）等腰直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据正方形性质得出，，利用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质推出，，等量代换得到，即可证明．
【小问1详解】
解：四边形是正方形，是延长线上一点，
，，
在和中，
，
；
【小问2详解】
是等腰直角三角形，理由是：
由（1）可知，
，，
，
，
即是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形性质的应用，主要考查学生的推理能力．
24. 如图，是的内接四边形，为直径，连接，且．
（1）求证：；
（2）过点B作于点E，延长交于点，若，，请补全图形并求的长．
【答案】（1）见详解 （2），补全图形见详解
【解析】
【分析】（1）延长交于点，根据圆周角定理得出，根据平行线的性质得到，根据垂径定理得到，则是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可得解；
（2）根据题意补全图形，根据圆周角定理得出，，解直角三角形求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，延长交于点，
为的直径，
，
，
，
，
又∵过圆心，
，
是线段的垂直平分线，
；
【小问2详解】
补全图形如图，
在中，，
，
∵
，
，
，
，
在中，，，
，
，
∵
，
，
在中，，
，
．
【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、解直角三角形，熟记圆周角定理、垂径定理、锐角三角函数是解题的关键．
25. 如图，在△ABC中，∠C = 90°，E是BC上一点，ED⊥AB，垂足为D．
求证：△ABC∽△EBD．
【答案】证明见解析
【解析】
【详解】试题分析：先根据垂直的定义得出∠EDB＝90°，故可得出∠EDB＝∠C．再由∠B＝∠B，根据有两个角相等的两三角形相似即可得出结论．
试题解析：
解：∵ED⊥AB，
∴∠EDB＝90°．
∵∠C＝90°，
∴∠EDB＝∠C．
∵∠B＝∠B，
∴∽．
点睛：本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．
26. 小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“惊蛰”“夏至”“白露”“霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗．
（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“惊蛰”的概率是 ．
（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“夏至”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查列表法或树状图法，用树状图表示所有等可能的出现的结果是正确解答的关键．
（1）共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种，由概率的定义可得答案；
（2）用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
小问1详解】
解：共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种，
所以小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是；
【小问2详解】
用树状图表示所有等可能出现的结果如下：

共有种等可能出现的结果，其中两人都没有抽到“夏至”的有种，
所以两人都没有抽到“夏至”的概率为．
27. 如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于点，与轴交于点．抛物线的顶点为，若点的坐标是，点是该抛物线在第二象限图象上的一个动点．
（1）求该抛物线的解析式和顶点的坐标；
（2）设点的横坐标是，问当取何值时，四边形的面积最大；
（3）如图，若直线的解析式是，点和点分别在抛物线上和直线上，问：是否存在以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点的坐标
【答案】（1），；
（2）时，四边形的面积最大
（3）或或或
【解析】
【分析】利用待定系数法求二次函数解析式，然后化为顶点式即可得顶点坐标；
设，由可求得，即可得到答案；
根据题意分情况讨论，①平行四边形以为边时，则，设Q点的坐标是，点的坐标是，可列方程求出点；②平行四边形以为对角线时，则的中点为 可设点的坐标是，点的坐标是，根据坐标中点公式列方程即可解答．
【小问1详解】
解：抛物线的图象经过点，
，
解得，
抛物线的解析式是，
化为顶点式为：，
∴顶点E的坐标是；
【小问2详解】
解：令，即，
解得，，
，．
点的横坐标是，
，
连结，如下图所示：
；
∴，
当时，四边形的面积最大为；
【小问3详解】
①平行四边形以为边时，直线l：，可设点的坐标是，点的坐标是，
，
∴，
当，如图，解得：，，
此时Q点的坐标分别是，；
当，如图，
解得：， 不合题意，舍去，此时Q点的坐标是；
②平行四边形以为对角线时，如图，
根据平行四边形的对角线相互平分可知，两点到轴距离相等；
设点坐标为，则点的坐标是，
得到，
整理得，
解得：， 不合题意，舍去，
此时点的坐标是，
综上所述，满足条件的点坐标为：或或或．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象及性质，待定系数法求二次函数的解析式有关知识．分情况讨论平行四边形的边长与坐标的关系是解题的关键．