2025高考数学一轮考点突破训练第七章立体几何7.4空间直线平面的垂直

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第七章立体几何7.4空间直线平面的垂直，共11页。试卷主要包含了垂直关系的基本问题，垂直关系的证明问题，垂直关系的综合问题等内容，欢迎下载使用。
例1 [2021年新课标Ⅱ卷]【多选题】如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，，为正方体的顶点.则满足的是（ BC ）
A. B.
C. D.
解：对于，如图1所示，连接，则.故（或其补角）为异面直线,所成的角.在 中，，故 不成立，故 不成立，故 错误.
图1
对于，如图2所示，取 的中点为，连接，，则，.由正方体,可得 平面.又 平面，
图2
故.又，故 平面.又 平面，则.又，所以 平面.又 平面，故，故 正确.
对于，如图3，连接，则.由 的判断,可得，故，故 正确.
图3
对于，如图4，取 的中点，连接，，，.易知,所以四边形 为平行四边形，所以.在 中，,则 不成立，故 不成立，故 错误.
图4
故选.
【点拨】①证明线线、线面、面面垂直重在转化，基本方法详见本节【教材梳理】.②翻折问题紧抓不变位置关系.
变式1
（1） 已知 ， , ,，则“”是“”的（ B ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
解：由题意，得当 时，有 ，则有.此时 与 的位置关系可以是平行或相交，充分性不成立.
当 时，有 .又 ,所以，必要性成立.所以“”是“”的必要不充分条件.故选 .
（2） 如图，在正方形中，，分别是，的中点，与交于点，现沿，及将这个正方形折成一个空间图形，使，，三点重合，重合后的点记为，则在这个空间图形中必有（ B ）
A. 平面B. 平面C. 平面D. 平面
解：易知 为 的中点，根据翻折性质，，不变，得 平面，故 正确.因为过点 只有一条直线与平面 垂直，所以 不正确.因为，，，所以 平面.又 平面，所以平面 平面.过点 作直线垂直于平面，该直线一定在平面 内，所以 不正确.由，知 与 不垂直，所以 不正确.故选.
考点二 垂直关系的证明问题
例2 如图，在四棱锥中，平面 平面，,， ，，，为的中点．求证：
（1） ;
证明：因为平面 平面，平面 平面，,所以 平面.
又 平面，所以．
（2） 平面．
[答案]
如图,
取 的中点，连接,.在 中，，分别为，的中点，所以，.
又，，所以.
所以四边形 是平行四边形，所以.
因为，为 的中点，所以，所以.
因为 ，所以.
又，，所以 平面.
因为 平面，所以.
因为，,所以.
因为，，，所以 平面．
【点拨】垂直关系的证明，除了直接应用定理外，有时还需要结合计算进行证明，即由已知长度关系，得到相关边满足勾股定理，进而得到线线垂直.
变式2 图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，， .将其沿，折起使得与重合，连接，如图2.
（1） 证明：图2中的，，，四点共面，且平面 平面.
解：证明：由已知,得，，所以图2中，故，确定一个平面，从而，，，四点共面.由已知,得，，，故 平面.
又因为 平面，所以平面 平面.
（2） 设为的中点，证明：平面 平面.
证明：因为 ，所以 为正三角形，
所以.
由（1）可知,且，
所以 平面.又 平面，
所以平面 平面.
（3） 探究平面与平面是否垂直，并说明理由.
[答案]
不垂直，理由如下：
假设平面 平面，在平面 内作 于点，所以 平面，所以.
又因为 且，
所以 平面.
又因为，所以 平面，所以，这与 矛盾.
所以平面 与平面 不垂直.
考点三 垂直关系的综合问题
命题角度1 空间距离的计算
例3 如图，边长为2的正方形中，，分别是，的中点，现在沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为，则点到平面的距离为（ B ）
A. B. C. D. 1
解：如图，由题意,可知，，两两垂直，所以 平面.
所以.
设点 到平面 的距离为.
因为，所以由，得，解得.
故选.
【点拨】立体几何中的距离包括点点距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离、面面距离等.在这些距离当中,点到平面的距离居核心地位,其他几种距离常可转化成点到平面的距离去求解.求点面距离的基本方法有：作垂线、等积法、向量法、平行转化法及比例转化法等.
变式3 如图，四棱柱的侧棱 底面，四边形为菱形，,，，分别为，的中点,则点到平面的距离为 .
解：易知四边形 为菱形，且，，，.所以菱形 的面积为.
设点 到平面 的距离为，点 到平面 的距离为.易知.
因为，，所以.
又，，, 平面，所以 平面，所以.
由，得，
即.解得.
故点 到平面 的距离为.故填.
命题角度2 空间角的计算
例4 如图，直三棱柱中，， .求:
（1） 直线与平面所成的角；
解：取 的中点，连接 和，如图1所示.
图1
因为，所以.
因为 平面， 平面，所以.
又，， 平面，所以 平面.
又 平面，所以.
于是，在 中，，即直线 与平面 所成的角为.
在直三棱柱 中， 平面.又 平面，所以.因为，所以 ，即 .
则，.所以，则.
又，所以.
故直线 与平面 所成的角为.
（2） 二面角的正切值.
[答案]
如图2,
图2
取 的中点，连接，.
在直三棱柱 中， 平面.又 平面，所以.
又，所以,且.
由（1），知,所以.
又 平面， 平面，所以 是二面角 的平面角.
因为，，，， 平面，所以 平面.
因为 平面，所以.
.在 中，.故二面角 的正切值为.
【点拨】线面角、二面角求法主要有三种.①根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作（找）出该角，再解三角形求出该角，步骤是作（找） 证 求（算）“三步曲”.②射影法,设斜线段在平面 内的射影为,与 所成角为 ,则；设在平面 内的射影三角形为,平面与 所成角为 ,则向量法，详见后续内容.
变式4 如图，四边形是边长为2的菱形， ，四边形是矩形，，且平面 平面．求:
（1） 直线 与平面 所成角的正弦值；
解：如图,连接 交 于点，连接.
因为四边形 是菱形，所以.
因为平面 平面，平面 平面， 平面，所以 平面.
因为 ，所以 为 与平面 所成角．
因为四边形 为矩形，所以.
又平面 平面，平面 平面， 平面，所以 平面.
所以.所以.
在 中，.
所以.
故 与平面 所成角的正弦值为．
（2） 平面与平面的夹角的大小.
[答案]
如图,取 的中点，连接,.
由（1），知 平面.
因为四边形 是菱形，四边形 为矩形，所以，.所以，.所以 即为二面角 的平面角.
在 中，，.
由余弦定理，得，所以 .
故二面角 的大小为 .
则平面 与平面 的夹角为 ．