2025高考数学一轮知识必备练习第七章立体几何7.4空间直线平面的垂直

这是一份2025高考数学一轮知识必备练习第七章立体几何7.4空间直线平面的垂直，共4页。
从定义或基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，归纳出性质定理（并加以证明）及判定定理.
必备知识 温故知新
【教材梳理】
1.直线与直线垂直
（1）异面直线所成角：如图，已知两条异面直线,，经过空间任一点分别作直线,，我们把直线与所成的角叫做异面直线与所成的角（或夹角）.
（2）异面直线垂直的定义：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线与直线垂直，记作 .异面直线所成角的范围是 ；空间两条直线所成角的范围是 .
2.直线与平面垂直
（1）定义：一般地，如果直线与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面 互相垂直，记作 .直线叫做平面 的垂线，平面 叫做直线的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点叫做垂足.过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.
（2）判定定理.
（3）直线与平面所成角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角.直线与平面所成角的范围是 .
（4）性质定理.
（5）空间距离.
①点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
②直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
③两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
3.平面与平面垂直
（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的大小可以用它的平面角度量.二面角的范围是 .
（2）判定定理.
（3）性质定理.
常用结论
1.三垂线定理
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.此定理可简记为“垂影必垂斜”，其逆定理显然也成立，可简记为“垂斜必垂影”.
2.垂直、平行关系的相互转化
自主评价 牛刀小试
1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
（1） 已知直线，，，若，，则.（ × ）
（2） 直线与平面 内无数条直线都垂直，则 .（ × ）
（3） 设，是两条不同的直线， 是一个平面，若， ，则 .（ √ ）
（4） 若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.（ × ）
（5） 两个相交平面同时垂直于第三个平面,则交线也垂直于第三个平面.（ √ ）
2. 和为异面直线，则过与垂直的平面（ C ）
A. 必有且只有一个B. 存在多个但不无限
C. 可能不存在D. 可能有无数个
解：设 , ,易知与 垂直的平面（ 除外）都与 平行.当 时, ,此时存在唯一过 且与 平行的平面.当 与 不垂直时,与 相交,不存在过 且与 平行的平面.故选.
3. 已知，，是三条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ C ）
A. 若，，则
B. 若 ，，，则
C. 若 ， ，则
D. 若 ， ，则
解：对于，由，，在同一个平面内可得，在空间中不成立，故 错误.对于，由面面垂直的性质定理,知缺少条件“ ”，故 错误.对于，易知 正确.对于，过正方体同一顶点的三个平面两两垂直,故 错误.故选.
4. 在正方体中，为棱的中点，则（ C ）
A. B. C. D.
解：由正方体的性质，得，.所以 平面.又 平面，所以.故选.文字语言
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
图形语言
符号语言
,,，，
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
图形语言
符号语言
，
文字语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
图形语言
符号语言
,
文字语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
图形语言
符号语言
，，，