2025高考数学一轮考点突破训练第九章概率与统计9.8二项分布与超几何分布

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第九章概率与统计9.8二项分布与超几何分布，共8页。试卷主要包含了二项分布，超几何分布等内容，欢迎下载使用。
命题角度1 重伯努利试验
例1 现有4个人去参加某项娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
（1） 求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
解：依题意,可得参加甲游戏的概率为,参加乙游戏的概率为.
设事件 为“有 个人参加甲游戏”，，1，2，3，4，则.
所以.
（2） 求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
[答案]设事件 为“甲游戏人数大于乙游戏人数”，则,所以.
（3） 用,分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.
[答案]
的所有可能取值为0，2，4.
,

,
.
所以 的分布列为
所以.
【点拨】次独立重复试验中恰好发生次的概率与第次才发生的概率计算公式分别是与
变式1 甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为.比赛采用“三局两胜”制，先胜两局者获胜.商定每局比赛（决胜局第三局除外）胜者得3分，败者得1分；决胜局胜者得2分，败者得0分.已知各局比赛相互独立.
（1） 求比赛结束，甲得6分的概率；
解：记事件“比赛结束，甲得6分”，
则事件 即为乙以 败给甲或乙以 败给甲，
所以.
（2）比赛结束，设乙得分，求随机变量的概率分布列与数学期望.
[答案]
由题意,得 可取2,4,6.
则，
，
.
的分布列为
的数学期望为.
命题角度2 二项分布
例2 已知随机变量，若，则，分别是（ D ）
A. 4和0.6B. 4和2.4C. 1和2.4D. 1和0.6
解：因为，所以，
.
由，得.
则，
故选.
【点拨】 ①若,则,.②计算相关概率最大值既可以用数列求最大项的方法列不等式组,也可用前面梳理的结论.
变式2 已知随机变量，若，，则（ D ）
A. B. C. D.
解：由，，得 解得 所以.故选.
例3 设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（1） 用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
解：由题意,知，
从而,,1,2,3.
所以随机变量 的分布列为
随机变量 的数学期望.
（2） 设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.
[答案]
设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为，则，且,,.
由题意,知事件,与,互斥，且事件 与，事件 与 均相互独立.从而由（1）,知.
【点拨】 判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①试验是否为重伯努利试验；②随机变量是否为这重伯努利试验中某事件发生的次数.
变式3 某商场为吸引顾客，增加顾客流量，决定开展一项有奖游戏.参加一次游戏的规则如下：连续抛质地均匀的硬币三次（每次抛硬币结果相互独立），若正面朝上多于反面朝上的次数，则得3分，否则得1分.一位顾客最多可连续参加5次游戏.
（1） 求顾客甲在一次游戏中正面朝上次数的分布列与期望；
解：由题意,得三次抛硬币正面朝上的次数,.
则，
，
，
.
所以 分布列为
.
（2） 若连续参加游戏获得的分数总和不少于11分，即可获得一份大奖.顾客乙准备连续参加5次游戏，则他获得这份大奖的概率多大？
[答案]
由（1）知，在一次游戏中，顾客乙得3分和得1分的概率均为.
设5次游戏中，得3分的次数为，则，即，易知,.
故所求为.
考点二 超几何分布
例4 新能源车显著促进节能减排，某地区从2017年至2023年每年汽车总销量如图，每年新能源汽车销量占比如表（注：汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和）.
（1） 从2017年至2023年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率；
解：由汽车销量图,得7年中有6年汽车总销量不小于5.5万辆，则随机选取一年，这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率为.
（2） 从2017年至2023年中随机选取两年，设表示新能源汽车销量超过0.5万辆的年份的个数，求的分布列和数学期望.
[答案]
由图表,得新能源汽车 年的销量如下表：
新能源汽车销量超过0.5万辆的年份有2个，不超过0.5万辆的年份有5个.
则随机变量的可能取值为0，1，2.
，，
.
所以的分布列为
所以.
【点拨】 ①超几何分布的概率计算公式从古典概型的角度加以理解更易记忆：，即恰取了件次品的概率.②当较小，较大时，超几何分布的概率计算可以近似地用二项分布来代替.③超几何分布在计算出均值后，可以用进行验证.
变式4 某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1 000人的大集团和4个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为.
（1） 在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为大集团的概率；
解：由题意,知共有 个集团，取出2个集团的方法总数是，其中全是小集团的方法数是，故全是小集团的概率是，整理得，解得.
若2个全是大集团，共有（种）情况；
若2个全是小集团，共有（种）情况.
故所求概率为.
（2） 若一次抽取3个集团，假设取出小集团的个数为，求的分布列和期望.
[答案]
由题意,知随机变量 的可能取值为0,1,2,3.
，，，.
故 的分布列为
.
0
2
4





2
4
6





0
1
2
3






0
1
2
3





年份
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
新能源汽车销量占比/%
1.5
2
3
5
8
9
20
年份
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
新能源汽车 年销量/万辆
0.062
0.11
0.17
0.28
0.46
0.54
1.2

0
1
2





0
1
2
3