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2025高考数学一轮考点突破训练第九章概率与统计9.9正态分布
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这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第九章概率与统计9.9正态分布,共7页。试卷主要包含了正态分布的概念与性质,正态分布的概率计算,正态分布的应用等内容,欢迎下载使用。
例1 [2021年新课标Ⅱ卷]某物理量的测量结果服从正态分布,下列结论中不正确的是( D )
A. 越小,该物理量在一次测量中在的概率越大
B. 越小,该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C. 越小,该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D. 越小,该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
解:对于,为数据的方差,所以 越小,数据在 附近越集中,所以测量结果落在 内的概率越大,正确.
对于,由正态分布密度曲线的对称性,可知该物理量一次测量结果大于10的概率为,正确.
对于,由正态分布密度曲线的对称性,可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等,正确.
对于,该物理量一次测量结果落在 的概率与落在 的概率不同,错误.
故选.
【点拨】利用正态曲线的特点求参数 , .①正态曲线是单峰的,它关于直线 对称,由此特点结合图象求出 .②正态曲线在 处达到峰值,由此特点结合图象可求出 .
变式1 设,,这两个正态密度曲线如图所示,下列结论中正确的是 ( D )
A.
B.
C. 函数在上单调递增
D.
解:由正态密度曲线的性质,得,的正态密度曲线分别关于直线,对称.对于,由图象,得,所以,故 错误.对于,由图象,得 的正态密度曲线较 的正态密度曲线“瘦高”,所以,所以,故 错误.对于,由图象,得函数 在 上单调递减,故 错误.对于,根据 原则,无论 取何值,都有,故 正确.故选.
考点二 正态分布的概率计算
例2 为了解高三复习备考情况,某校组织了一次阶段考试,高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布.已知成绩在117.5分以上(不含117.5分)的学生有80人,则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为0.16;如果成绩大于135分的为特别优秀,那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有10人(若,则,).
解:因为数学成绩,所以.所以此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为.又,所以数学成绩特别优秀的概率.又,所以本次考试数学成绩特别优秀的人数大约是.故填0.16;10.
【点拨】正态曲线解题的关键是,利用对称性把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化.解题时要充分结合图形进行分析、求解,要注意数形结合思想及化归思想的运用.
变式2
(1) 【多选题】已知随机变量,随机变量,则下列结论正确的是( ABC )
A. B.
C. D.
解:因为随机变量,所以,.
因为随机变量,所以,.
利用正态密度曲线的对称性,可得,,故,正确.
因为,,
所以,故 正确.
因为,,所以,故 错误.故选.
(2) 若随机变量,则有如下结论:,,.高三(1)班有40名同学,一次数学考试的成绩服从正态分布,平均分为120,方差为100,理论上在130分以上的人数约为( C )
A. 19B. 12C. 6D. 5
解:因为数学成绩近似地服从正态分布,,
所以.根据正态曲线的对称性,知理论上在130分以上的概率约为 所以理论上在130分以上的人数约为.
故选.
考点三 正态分布的应用
例3 某车间生产一批零件,现从中随机抽取10个零件,测量其内径(单位:)的数据如下:
87 87 88 92 95 97 98 99 103 104
设这10个数据的平均值为 ,标准差为 .
(1) 求 与 .
解:,,则.
(2) 假设这批零件的内径(单位:)服从正态分布.
① 从这批零件中随机抽取10个,设这10个零件中内径大于的个数为,求(结果保留两位有效数字);
[答案]因为,所以.则,所以,所以.
② 若该车间又新购一台设备,安装调试后,试生产了5个零件,测量其内径(单位:)分别为76,85,93,99,108,以原设备生产性能为标准,试问这台设备是否需要进一步调试,说明你的理由.
附:若,则,.
[答案]
因为,所以.所以5个零件的内径中恰有1个不在 内发生的概率小于,为小概率事件.
因为,所以根据 原则,这台设备需要进一步调试.
【点拨】 解决正态分布问题要把握住三个关键点:对称轴 ,标准差 和分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值,由 , ,分布区间的特征进行转化,使分布区间转化为 , 或 特殊区间,从而求出所求概率.
变式3
(1) 【多选题】装疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃,而是中性硼硅玻璃,这种玻璃有较好的平均线膨胀系数(简称:膨胀系数).某玻璃厂有两条硼硅玻璃的生产线,其中甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数,乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数,则下列选项正确的是(若,则,,)( BD )
A. 甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数范围在的概率约为
B. 甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中
C. 若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数不能超过5,则乙生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率更大
D. 若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数范围为,则甲生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率约为乙生产线的2倍
解:因为,所以,.
因为,所以,.
所以,故 错误.
因为,所以甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中,故 正确.
因为,,所以,所以甲生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率更大,故 错误.
,,故 正确.故选.
(2) 某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动,并对每一关根据难度进行赋分,满分为450分.已知包括甲、乙、丙在内的2 500人参加了该项闯关活动.且该闯关活动累计得分服从正态分布,现要根据得分给前400名发放奖励.
① 假设该闯关活动平均分数为171分,分数在11分到331分之间的人数占比约为,已知甲的得分为270分,问甲能否获得奖励,请说明理由;
解:设此次闯关活动的分数记为.
[答案]
由题意,可知.因为,所以.
而,且.
所以前400名参赛者的最低得分低于.而甲的得分为270分,所以甲能够获得奖励.
② 丙得知他的分数为430分,而乙告诉丙:“这次闯关活动平均分数为201分,分数在126分到276分之间的人数占比约为”,请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.
附:若随机变量,则,,.
[答案]
假设乙所说为真,则.
因为,
所以.
从而.
根据 原则,知丙的分数为430分是小概率事件,可认为其一般不可能发生,但却又发生了,所以可认为乙所说为假.
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