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2025高考数学一轮考点突破训练第九章概率与统计专题突破17数字特征的性质
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这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第九章概率与统计专题突破17数字特征的性质，共5页。试卷主要包含了基本性质，变动样本的数字特征，推断问题等内容，欢迎下载使用。
考点一 基本性质
例1
（1） 【多选题】有一组样本数据,, ,，其平均数、中位数、标准差、极差分别记为,,,.由这组数据得到新样本数据,, ,，其中，其平均数、中位数、标准差、极差分别记为,,,，则 （ AD ）
A. B. C. D.
解：由，得.
根据中位数的定义，得.
根据数据方差的性质，得，则.
根据数据极差的定义，得，故，正确故选.
（2） 已知一组正数,,,,的方差为，则另一组数据,，,,的平均数为 （ B ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
解：由，可得.又，所以.
故数据,,,,的平均数为.故选.
【点拨】①一组数据,, ,变为，， ，，则用，计算平均数、方差等数字特征.
变式1
（1） [2021年新课标Ⅰ卷]【多选题】有一组样本数据，， ，，由这组数据得到新样本数据，， ，，其中,为非零常数，则（ CD ）
A. 两组样本数据的样本平均数相同B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同D. 两组样本数据的样本极差相同
解：对于,,且，故平均数不相同，错误.
对于，若第一组中位数为，则第二组中位数为，显然不相同，错误.
对于，，故方差相同，正确.
对于，由极差的定义知，若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，正确.
故选.
（2） 若一组数据,, ,的平均数为3，方差为11，则200.
解：由题意，知，
则.
即，所以,故填200.
考点二 变动样本的数字特征
例2
（1） 已知某8个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为，方差为，则（ B ）
A. ,B. ,C. ,D. ,
解：,.故选.
（2） [2020年全国Ⅲ卷]在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为,,,，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ B ）
A. ,B. ,
C. ,D. ,
解：由所有选项，知，，且，则这组数据的均值为.由方差的定义，知离样本均值越远的点，出现的频率越大，则样本数据越离散，即方差越大，亦即标准差越大，故选项 的标准差最大.
另解：也可直接求出标准差再比较大小.故选.
【点拨】①样本数据（不全相等）中增加一个平均值后，极差不变，标准差变小，中位数不确定.②删掉样本数据（不全相等）中的最小值和最大值后，中位数不变，平均数不确定，极差、标准差变小或不变.
变式2
（1） 某校2023年秋季入学考试中，某班数学平均分为125分，方差为.分析成绩时发现有三名同学的成绩录入有误，A同学的实际成绩为137分，被错录为118分；B同学的实际成绩为115分，被错录为103分；C同学的实际成绩为98分，被错录为129分.更正后重新统计，得到方差为，则与的大小关系为 （ C ）
A. B. C. D. 不能确定
解：设班级人数为.因为，所以更正前后平均分不变.
且，所以.
故选.
（2） [2023年新课标Ⅰ卷]【多选题】有一组样本数据，， ，，其中是最小值，是最大值，则（ BD ）
A. ，，，的平均数等于，， ，的平均数
B. ，，，的中位数等于，， ，的中位数
C. ，，，的标准差不小于，， ，的标准差
D. ，，，的极差不大于，， ，的极差
解：取，，，则,,,的平均数等于2，标准差为0，,, ,的平均数等于3，标准差为，故，均不正确.
根据中位数的定义，将,, ,按从小到大的顺序进行排列，易知,,,的中位数与,, ,的中位数相等，故 正确.
根据极差的定义，知,,,的极差不大于,, ,的极差，故 正确.故选.
考点三 推断问题
例3 【多选题】某环保局对辖区内甲、乙、丙、丁四个地区的环境治理情况进行检查督导，若连续10天，每天空气质量指数（单位：）不超过100，则认为该地区环境治理达标，否则认为该地区环境治理不达标.根据连续10天检查所得数据的数字特征推断，环境治理一定达标的地区是（ AD ）
A. 甲地区：平均数为80，方差为40B. 乙地区：平均数为50，众数为40
C. 丙地区：中位数为50，极差为60D. 丁地区：极差为10，分位数为90
解：设每天的空气质量指数为，则方差.
对于，由，得.若这10天中有1天的空气质量指数超过100，则必有,矛盾，正确.
对于，若有8天的空气质量指数为40，有1天的空气质量指数为150，有1天的空气质量指数为30，则平均数为50，众数为40，但该地区环境治理不达标，所以 错误.
对于，若第1天的空气质量指数为110，后面9天的空气质量指数为50，则中位数为50，极差为60，但该地区环境治理不达标，所以 错误.
对于，若最大值超过100，根据极差为10，则最小值超过90，这与 分位数为90矛盾，故最大值不超过100，正确.故选.
【点拨】统计推断关键在于利用基本统计知识进行逻辑推理,常用技巧有特值法、极限法等,重在考查数据分析核心素养.
变式3 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是 （ A ）
A. 平均数为2，方差为2.4B. 中位数为3，方差为1.6
C. 中位数为3，众数为2D. 平均数为3，中位数为2
解：对于，若5次结果中有6，则方差，矛盾.所以当平均数为2，方差为2.4时,一定不会出现点数6，故 正确.
对于，当点数为3,3,3,5,6时，中位数为3，平均数为4，则方差，故 错误.
对于，当点数为2,2,3,5,6时，中位数为3，众数为2，故 错误.
对于，当点数为1,1,2,5,6时，中位数为2，平均数为3，故 错误.故选
考点一 基本性质
例1
（1） 【多选题】有一组样本数据,, ,，其平均数、中位数、标准差、极差分别记为,,,.由这组数据得到新样本数据,, ,，其中，其平均数、中位数、标准差、极差分别记为,,,，则 （ AD ）
A. B. C. D.
解：由，得.
根据中位数的定义，得.
根据数据方差的性质，得，则.
根据数据极差的定义，得，故，正确故选.
（2） 已知一组正数,,,,的方差为，则另一组数据,，,,的平均数为 （ B ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
解：由，可得.又，所以.
故数据,,,,的平均数为.故选.
【点拨】①一组数据,, ,变为，， ，，则用，计算平均数、方差等数字特征.
变式1
（1） [2021年新课标Ⅰ卷]【多选题】有一组样本数据，， ，，由这组数据得到新样本数据，， ，，其中,为非零常数，则（ CD ）
A. 两组样本数据的样本平均数相同B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同D. 两组样本数据的样本极差相同
解：对于,,且，故平均数不相同，错误.
对于，若第一组中位数为，则第二组中位数为，显然不相同，错误.
对于，，故方差相同，正确.
对于，由极差的定义知，若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，正确.
故选.
（2） 若一组数据,, ,的平均数为3，方差为11，则200.
解：由题意，知，
则.
即，所以,故填200.
考点二 变动样本的数字特征
例2
（1） 已知某8个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为，方差为，则（ B ）
A. ,B. ,C. ,D. ,
解：,.故选.
（2） [2020年全国Ⅲ卷]在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为,,,，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ B ）
A. ,B. ,
C. ,D. ,
解：由所有选项，知，，且，则这组数据的均值为.由方差的定义，知离样本均值越远的点，出现的频率越大，则样本数据越离散，即方差越大，亦即标准差越大，故选项 的标准差最大.
另解：也可直接求出标准差再比较大小.故选.
【点拨】①样本数据（不全相等）中增加一个平均值后，极差不变，标准差变小，中位数不确定.②删掉样本数据（不全相等）中的最小值和最大值后，中位数不变，平均数不确定，极差、标准差变小或不变.
变式2
（1） 某校2023年秋季入学考试中，某班数学平均分为125分，方差为.分析成绩时发现有三名同学的成绩录入有误，A同学的实际成绩为137分，被错录为118分；B同学的实际成绩为115分，被错录为103分；C同学的实际成绩为98分，被错录为129分.更正后重新统计，得到方差为，则与的大小关系为 （ C ）
A. B. C. D. 不能确定
解：设班级人数为.因为，所以更正前后平均分不变.
且，所以.
故选.
（2） [2023年新课标Ⅰ卷]【多选题】有一组样本数据，， ，，其中是最小值，是最大值，则（ BD ）
A. ，，，的平均数等于，， ，的平均数
B. ，，，的中位数等于，， ，的中位数
C. ，，，的标准差不小于，， ，的标准差
D. ，，，的极差不大于，， ，的极差
解：取，，，则,,,的平均数等于2，标准差为0，,, ,的平均数等于3，标准差为，故，均不正确.
根据中位数的定义，将,, ,按从小到大的顺序进行排列，易知,,,的中位数与,, ,的中位数相等，故 正确.
根据极差的定义，知,,,的极差不大于,, ,的极差，故 正确.故选.
考点三 推断问题
例3 【多选题】某环保局对辖区内甲、乙、丙、丁四个地区的环境治理情况进行检查督导，若连续10天，每天空气质量指数（单位：）不超过100，则认为该地区环境治理达标，否则认为该地区环境治理不达标.根据连续10天检查所得数据的数字特征推断，环境治理一定达标的地区是（ AD ）
A. 甲地区：平均数为80，方差为40B. 乙地区：平均数为50，众数为40
C. 丙地区：中位数为50，极差为60D. 丁地区：极差为10，分位数为90
解：设每天的空气质量指数为，则方差.
对于，由，得.若这10天中有1天的空气质量指数超过100，则必有,矛盾，正确.
对于，若有8天的空气质量指数为40，有1天的空气质量指数为150，有1天的空气质量指数为30，则平均数为50，众数为40，但该地区环境治理不达标，所以 错误.
对于，若第1天的空气质量指数为110，后面9天的空气质量指数为50，则中位数为50，极差为60，但该地区环境治理不达标，所以 错误.
对于，若最大值超过100，根据极差为10，则最小值超过90，这与 分位数为90矛盾，故最大值不超过100，正确.故选.
【点拨】统计推断关键在于利用基本统计知识进行逻辑推理,常用技巧有特值法、极限法等,重在考查数据分析核心素养.
变式3 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是 （ A ）
A. 平均数为2，方差为2.4B. 中位数为3，方差为1.6
C. 中位数为3，众数为2D. 平均数为3，中位数为2
解：对于，若5次结果中有6，则方差，矛盾.所以当平均数为2，方差为2.4时,一定不会出现点数6，故 正确.
对于，当点数为3,3,3,5,6时，中位数为3，平均数为4，则方差，故 错误.
对于，当点数为2,2,3,5,6时，中位数为3，众数为2，故 错误.
对于，当点数为1,1,2,5,6时，中位数为2，平均数为3，故 错误.故选
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