2025高考数学一轮课时作业第七章立体几何7.3空间直线平面的平行（附解析）

这是一份2025高考数学一轮课时作业第七章立体几何7.3空间直线平面的平行（附解析），共11页。

1. 已知 ， 是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，下列说法正确的是（ D ）
A. 若 ， ，则B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，，则D. 若， ，则
解：若 ， ，则 与 可以平行或异面，故 错误.
若 ， ，则 与 平行或异面或相交，故 错误.
若 ， ，，则 与 可以平行，也可以相交，故 错误.
若 ，则直线 与平面 内的所有直线都垂直.又，所以 与平面 内的所有直线都垂直.根据线面垂直的定义,可得 ，故 正确．
故选．
2. 已知空间中两个角 ， ，且角 与角 的两边分别平行，若 ，则（ C ）
A. B. C. 或D. 或
解：因为角 与角 的两边分别平行，所以 与 相等或互补.又 ，所以 或 .故选.
3. 如图，已知平面平面 ，点为 ， 外一点，直线，分别与 ， 相交于，和，，则与的位置关系为 （ A ）
A. 平行B. 相交C. 异面D. 平行或异面
解：,,,,在同一平面内，且平面 平面，平面 平面.
因为 ，所以.故选.
4. 如图,在三棱台中，点在上，且，是内（含边界）的一个动点，且平面平面，则动点的轨迹是（ C ）
A. 边界的一部分B. 一个点
C. 线段（不包含一个端点）D. 圆的一部分
解：如图，过点 作 交 于点，连接.因为， 平面， 平面，所以 平面.同理,平面.又，, 平面，所以平面 平面.所以，且点 不与点 重合.故选.
5. 如图，四边形是梯形，，且平面 ，是的中点，，与平面 分别交于点，，，，则（ B ）
A. 4.5B. 5C. 5.4D. 5.5
解：因为 平面 ， 平面，平面 平面，所以.
又 是 的中点，所以 是梯形 的中位线，故.故选.
6. 【多选题】如图，，，，，是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足平面的有（ A ）
A. B.
C. D.
解：对于，由图1,知， 平面， 平面，所以 平面，正确.
图1
对于，设 是 的中点.由图2，结合正方体的性质，可知,,，所以,,,,,六点共面，即 平面,错误.
图2
对于，如图3所示，根据正方体的性质,可知.因为 平面，所以 与平面 不平行,错误.
图3
对于，如图4,设.因为四边形 是矩形，所以 是 的中点.又因为 是 的中点，所以.因为 平面， 平面，所以 平面，正确.
图4
故选.
7. 如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时， .
解：连接 交 于点，连接.因为 平面， 平面，平面 平面，所以，所以.
又，为 的中点，所以.
所以.故填.
8. 如图，四棱锥中，四边形是正方形，，分别是，的中点．
（1） 求证：平面．
解：证明：如图，连接.由四边形 为正方形,可知 为 与 的交点,且为,的中点.又点 是 的中点，所以.
因为 平面， 平面，所以 平面.
（2） 在棱上是否存在一点，使得平面平面？并说明理由．
[答案]
存在点 为棱 的中点，使平面 平面．
证明如下:
由点，分别为，的中点,可得.
因为 平面， 平面，所以 平面.
由（1）可知 平面，且，， 平面，所以平面 平面．
【综合运用】
9. [2021年浙江卷]如图，已知正方体，，分别是，的中点，则（ A ）
A. 直线与直线垂直，直线平面
B. 直线与直线平行，直线 平面
C. 直线与直线相交，直线平面
D. 直线与直线异面，直线 平面
解：如图，连接.
因为四边形 是正方形，且 是 的中点，.又 平面， 平面，所以.又，所以 平面.又 平面，所以，所以 错误.
由图易知直线 与直线 异面，所以 错误.
因为,分别是，的中点，所以.又 平面， 平面，所以 平面，所以 正确.
取 的中点，连接，，，，则 交 于点.易知，.又 是，的中点，所以 平面.而，与平面 不垂直，所以 错误.
故选.
10. 【多选题】（教材习题）如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下面命题中正确的是（ ACD ）
A. 没有水的部分始终呈棱柱形
B. 水面所在四边形的面积为定值
C. 棱始终与水面所在平面平行
D. 当容器倾斜如图所示时，是定值
解：由题图，知 正确，错误.
对于，因为，，所以，且 平面， 平面，所以 平面（水面），所以 正确.
对于，因为水是定量的（定体积），所以，即.所以（定值），即 正确.
故选.
11. 【多选题】如图,正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点.则（ BC ）
A. B. 平面
C. 直线与夹角的余弦值为D. 点与点到平面的距离相等
解：因为，不与直线 垂直,所以 不与直线 垂直,故 错误.
根据题意，易得，所以平面 即平面.因为， 平面，所以 平面，故 正确.
，则直线 与 的夹角为直线 与 的夹角.易知 为正三角形，所以 与 的夹角为 .故直线 与 夹角的余弦值为，故 正确.
点 到平面 的距离即点 到平面 的距离，亦即点 到平面 的距离，而 与平面 相交,则,两点到平面 的距离不相等,故 错误.
故选.
12. 如图,已知正方体中，分别是，上的点，且.
（1） 求证：平面.
解：证明:（方法一）如图1，过点，分别作，的垂线，，分别交，于点，，连接，.
图1
因为 平面，所以，.所以.
又因为，，所以.
又 ，所以.所以.
所以四边形 是平行四边形，所以.
又 平面，所以 平面.
（方法二）过点 作 交 于点，连接.
则.
因为，，所以.
所以.
又，，
所以平面 平面.
又 平面，所以 平面.
（2） 求证：平面平面.
证明：如图2，连接，，，则，.又，，所以平面 平面.也可连接.由 平面， 平面 证明结论.
图2
（3） 当取最小值时，试确定点，的位置.
[答案]由（1）的方法一,知.令，正方体的棱长为，易得.则当 时，取最小值.即当,分别为，的中点时，取得最小值.
【拓广探索】
13. 如图,已知正方体的棱长为2，,分别是棱,的中点，为底面四边形内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（ B ）
A. 2B. C. D.
解：在正方体 中，取 的中点，连接,,，如图所示.
因为,分别是棱,的中点，所以.又 平面， 平面，所以 平面.
因为，所以.
又，所以四边形 为平行四边形，所以.
又 平面， 平面，
所以 平面.
因为，, 平面，
所以平面 平面.
因为直线 与平面 无公共点，所以 平面,则 平面.
所以线段 是点 在底面 内的轨迹.
又，
所以点 的轨迹长度为．
故选．