高考数学(理数)冲刺大题提分(讲义+练习)大题精做05《立体几何：建系困难问题》(含答案详解)

这是一份高考数学(理数)冲刺大题提分(讲义+练习)大题精做05《立体几何：建系困难问题》(含答案详解)，共9页。

【例题】如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，已知底面 SKIPIF 1 < 0 是边长为1的正方形，侧面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求侧棱 SKIPIF 1 < 0 的长；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，若 SKIPIF 1 < 0 ，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值．
解：（1）取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 是正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 为原点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 （如图），
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知，平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
根据图形得 SKIPIF 1 < 0 为锐角，
∴二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
如图1，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，
现将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折到 SKIPIF 1 < 0 的位置，连结 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如图2．
（1）若点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）记平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的交线为 SKIPIF 1 < 0 ．若二面角 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，
求 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值．
矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，沿 SKIPIF 1 < 0 将 SKIPIF 1 < 0 折起至 SKIPIF 1 < 0 ，
如图所示，点 SKIPIF 1 < 0 在面 SKIPIF 1 < 0 的射影 SKIPIF 1 < 0 落在 SKIPIF 1 < 0 上．
（1）求证：面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成锐二面角的余弦值．
已知三棱锥 SKIPIF 1 < 0 （如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形 SKIPIF 1 < 0 为边长等于 SKIPIF 1 < 0 的正方形， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 均为正三角形，在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中：
（1）证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若点 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上运动，当直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角最大时，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值．

图一 图二
在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 中点．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成锐二面角的余弦值．
如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，
底面，，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．
\s 0 答案解析
证明：（1）先在图1中连结 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，从而有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即在图2中有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
解：（2）延长 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，根据公理3得到直线 SKIPIF 1 < 0 即为 SKIPIF 1 < 0 ，
再根据二面角定义得到 SKIPIF 1 < 0 ．在平面 SKIPIF 1 < 0 内过点 SKIPIF 1 < 0 作底面垂线，
以 SKIPIF 1 < 0 为原点，分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，及所作垂线为 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
解：（1）在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
从而有 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
由线面垂直定理可证 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，由面面垂直判断定定理即证面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由条件知 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 做 SKIPIF 1 < 0 的平行线 SKIPIF 1 < 0 ，
又由（1）知 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
设面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
从而可得面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成锐二面角为 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 互补，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成二面角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
解：（1）设 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由题意，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∵在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面，∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，∴平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 最短时，即 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点时， SKIPIF 1 < 0 最大．
由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
于是以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴建立如图示空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ．令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．由图可知，二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明：取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
故可建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，则
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，则
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
易知向量 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成锐二面角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
解：（1）因为平面，平面，
所以．
因为，，
所以．
所以，所以，
又，所以平面，
（2）如图，以点为原点，，，分别为轴，轴，轴正方向，
建立空间直角坐标系，
则，，．
设，则，
，，，取，
则，为面的法向量．
设为面的法向量，则，
即，取，，，则，
依题意，则．
于是，．
设直线与平面所成角为，
则