2025高考数学一轮课时作业第八章平面解析几何8.3圆的方程（附解析）

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1. 若方程表示圆，则的取值范围是（ B ）
A. B. C. D.
解：因为方程 表示圆，所以，解得.故选.
2. 点在圆的内部，则实数的取值范围是（ A ）
A. B.
C. D.
解：（方法一）由题意,得圆 的圆心,半径为2.因为点 在圆 的内部,所以,解得.
（方法二）由题意,得,解得.故选.
3. 已知点，，则以线段为直径的圆的方程是 （ D ）
A. B. C. D.
解：的中点坐标为，
，所以圆的方程为.或由直径式方程解.故选.
4. 以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（ A ）
A. B.
C. D.
解：由题意，知圆的半径，所以所求圆的方程为.故选.
5. 圆关于直线对称的圆的方程为（ A ）
A. B.
C. D.
解：圆 的圆心为，半径为1，点 关于直线 对称的点为，故所求圆的方程为.故选.
6. [2020年北京卷]已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ A ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
解：由平面几何知识，知当且仅当原点、圆心、点 共线时，圆心到原点的距离最小，且最小值为.故选.
7. 已知圆的圆心在轴的正半轴上，且圆心到直线的距离为,若点,在圆上，则圆的方程为 .
解：由题意,不妨设，圆 的半径为.可得,解得.则.所以圆 的方程为.故填.
8. 已知点在圆上.
（1） 求的最大值和最小值；
解：设，则，为直线 在 轴上的截距，所以 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线在 轴上的截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在 轴上的截距.
由，解得 或.
所以 的最大值为，最小值为.
（2） 求的最大值和最小值；
[答案]
可视为点 与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.
设过原点的直线的方程为，由，解得 或.
所以 的最大值为，最小值为.
（3） 求的最大值和最小值.
[答案]
，求它的最值可视为求点 到定点 的距离的最值，可转化为求圆心 到定点 的距离与半径的和或差.又圆心到定点 的距离为，
所以 的最大值为，最小值为.
【综合运用】
9. 一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最短路程是（ C ）
A. B. C. 4D. 5
解：记圆 的半径为，由反射定律得点 关于 轴的对称点 在反射光线上.当反射光线过圆心 时，最短距离为.故光线从点 经 轴反射到圆 上的最短路程为4.故选.
10. 【多选题】在平面直角坐标系内，已知，，是平面内一动点，则下列条件中使得点的轨迹为圆的有（ BCD ）
A. B. C. D.
解：设点,则,.
对于，由，得,整理得，则点 的轨迹为一条直线，所以 不符合题意.
对于，由，得，则,整理得,则点 的轨迹为一个圆，所以 符合题意.
对于，由，得,整理得,则点 的轨迹为一个圆，所以 符合题意.
对于，由，得，整理得，则点 的轨迹为一个圆，所以 符合题意.故选.
11. [2022年全国乙卷]过四点,,,中的三点的一个圆的方程为（答案不唯一）.
解：依题意设圆的方程为.
若过，，，
则 解得
所以圆的方程为，
即.
若过，，，
则 解得
所以圆的方程为，
即.
若过，，，
则 解得
所以圆的方程为，
即.
若过，，，
则 解得
所以圆的方程为，
即.
故填（答案不唯一）.
12. 已知点，圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点.
（1） 求点的轨迹方程；
解：圆,故圆心为，半径为4，点 在圆 内部.
[答案]
当 时,与 重合;当 经过点 时,与 重合.
当 不与,重合时, ，所以点 的轨迹是以线段 为直径的圆（除去点，）.
线段 中点为，，故点 的轨迹方程为（不包括点,）.
又，两点也满足该方程，所以点 的轨迹方程为.
（2） 当时，求的方程及的面积.
[答案]
由（1）可知点 的轨迹是以点 为圆心，为半径的圆.
由题意，知点 在线段 的垂直平分线上.又点 在圆 上，从而.
因为 的斜率为3，所以 的斜率为，故 的方程为,即.
易得，点 到 的距离为，.所以 的面积为.
【拓广探索】
13. 【多选题】设有一组圆，下列命题正确的是（ ABD ）
A. 不论如何变化，圆心始终在一条直线上
B. 所有圆均不经过点
C. 经过点的圆有且只有一个
D. 所有圆的面积均为
解：对于，圆心为，一定在直线 上，正确.
对于，将 代入,得，，方程无解，即所有圆 均不经过点，正确.
对于，将 代入,得，显然方程有两解,故经过点 的圆 有两个，错误.
对于，所有圆 的半径均为2，面积均为 ，正确.
故选.