湖南省怀化市溆浦县第一中学2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份湖南省怀化市溆浦县第一中学2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)，共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
I卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）只有一项是符合题目要求的．
1. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( )
A. ，，B. ，，C. 32，42，52D. 1，2，3
答案：A
解析：
详解：解：∵()2+()2=()2，而其它都不符合勾股定理．
∴A中边长能组成直角三角形．
故选A．
2. 点P(a，b)在第四象限，且|a|＞|b|，那么点Q(a＋b，a﹣b)在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
答案：A
解析：
详解：∵点P(a，b)在第四象限，且|a|＞|b|，
∴a＞0，b＜0，a＋b＞0，a﹣b＞0，
∴点Q(a＋b，a﹣b)在第一象限．
故选：A．
3. 某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到设计方案有等腰三角形、正三角形、平行四边形、菱形等四种图案，你认为符合条件的是（ ）．
A. 等腰三角形B. 正三角形C. 平行四边形D. 菱形
答案：D
解析：
详解：解：A、等腰三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
B、正三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
C、平行四边形，是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
D、菱形，既是中心对称图形又是轴对称图形．
故选：D．
4. 对于以下说法，其中正确的有（ ）
①对角线相互垂直的四边形是菱形；②成中心对称的两个图形是全等形；③平行四边形的对称中心是对角线的交点；④正方形的对角线平分一组对角．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
答案：C
解析：
详解：解：①应为对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故①错误；②成中心对称的两个图形是全等形正确；③平行四边形的对称中心是对角线的交点正确；④正方形的对角线平分一组对角正确．
故选：C．
5. 如图中，要在对角线上找两点，，使四边形为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，
甲：只需要满足
乙：只需要满足
丙：只需要满足
则正确的方案是（ ）

A. 甲、乙、丙都是B. 只有甲、丙才是
C. 只有甲、乙才是D. 只有乙、丙才是
答案：B
解析：
详解：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
甲：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，故甲正确；
乙：由，不能证明，不能使四边形为平行四边形，故乙不正确；
丙：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，故丙正确；
故选：B．
6. 如图所示，在完全重合放置的两张矩形纸片中，，，将上面的矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，点的对应点为，连接，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. 6C. D.
答案：C
解析：
详解：由题意知，AF=FC，AB=CD=AG=4，BC=AD=8，
在Rt△ABF中，由勾股定理知AB2+BF2=AF2，即42+（8-AF）2=AF2，
解得AF=5，
∵∠BAF+∠FAE=∠FAE+∠EAG=90°，
∴∠BAF=∠EAG，
∵∠B=∠AGE=90°，AB=AG，
∴△BAF≌△GAE，
∴AE=AF=5，ED=GE=3，
∵S△GAE=AG•GE=AE•AE边上的高，
∴AE边上的高=，
∴S△GED=ED•AE边上的高=×3×=，
故选C．
7. 如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1∥l2，则∠1﹣∠2的值是（ ）
A. 108°B. 36°C. 72°D. 144°
答案：C
解析：
详解：解：过点B作l1的平行线BF，则l1∥l2∥BF，
∵l1∥l2∥BF，
∴∠ABF=∠2，∠CBF+∠1=180°①，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴，
∴∠ABF+∠CBF=∠CBF+∠2=108°②，
∴①-②得∠1-∠2=72°，
故选C．
8. 如图，两个连接在一起的菱形的边长都是，一只电子甲虫，从点开始按…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行时停下，则它停的位置是（ ）
A. 点B. 点C. 点D. 点
答案：B
解析：
详解：因为菱形的四边相等，且，循环节为8，且2021÷8=252…5，
所以停在E处，
故选B．
9. 定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M(2，0)，在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（ ）
A. (3，1)或(3，3)B. (3，)或(3，3)
C. (3，)或(3，1)D. (3，)或(3，1)或(3，3)
答案：D
解析：
详解：解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，
∴设P（3，a），则AP＝a，BP＝4−a；
①若∠CPM＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：
CP2＝BP2＋BC2＝（4−a）2＋9，
在Rt△MPA中，由勾股定理得：
MP2＝MA2＋AP2＝1＋a2，
在Rt△MPC中，由勾股定理得：
CM2＝MP2＋CP2＝1＋a2＋（4−a）2＋9＝2a2−8a＋26，
又∵CM2＝OM2＋OC2＝4＋16＝20，
∴2a2−8a＋26＝20，
∴（a−3）（a−1）＝0，
解得：a＝3或a＝1，
∴P（3，3）或（3，1）；
②若∠CMP＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：
CP2＝BP2＋BC2＝（4−a）2＋9，
在Rt△MPA中，由勾股定理得：
MP2＝MA2＋AP2＝1＋a2，
∵CM2＝OM2＋OC2＝20，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：
CM2＋MP2＝CP2，
∴20＋1＋a2＝（4−a）2＋9，
解得：a＝．
∴P（3，）．
综上，P（3，）或（3，1）或（3，3）．
故选：D．
10. 在锐角三角形中，是边上的高，分别以、为一边，向外作正方形和，连接、和，与的延长线交于点M，下列结论：①；②；③；④是的中线，其中结论正确的是（ ）

A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
答案：D
解析：
详解：在正方形和中，
，，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，故①正确．
设、相交于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确．
过点E作的延长线于P，过点G作于Q，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故③正确．
，
同理可得，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴是的中线，故④正确．
综上所述，①②③④结论都正确．
故选：D．
II卷 非选择题（总计110分）
二、填空题（每题4分，共24分）
11. 若一个边形的边数增加一倍，则内角和将增加____度．
答案：
解析：
详解：∵边形的内角和是，边形的内角和是，
∴内角和将增加，
，
，
，
故答案为：．
12. 点到两坐标轴的距离相等，则________．
答案：或
解析：
详解：解：∵点到两坐标轴的距离相等，
∴，
或，
解得，或，
故答案为：或．
13. 如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上中线AD=6，则△ABD的面积是______．
答案：15
解析：
详解：解：延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴CE=AB=5，∠BAD=∠E，
∵AE=2AD=12，CE=5，AC=13，
∴CE2+AE2=AC2，
∴∠E=90°，
∴∠BAD=90°，
即△ABD为直角三角形，
∴△ABD的面积=AD•AB=15．
故答案为15．
14. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3 dm、2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_________ dm．
答案：25
解析：
详解：解：展开图为：
则AC=20dm,BC=3×3+2×3=15（dm）,
在Rt△ABC中， （dm）.
所以蚂蚁所走的最短路线长度为25 dm.
故答案为：25．
15. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，将点绕原点顺时针旋转度后得到点 ，则点坐标为____．
答案：
解析：
详解：如图，过作轴于点，则，
∵，
∴，

由题意得，，
∴，
∴，
中，由勾股定理得：，
∴点，
故答案为：．
16. 如图，在等腰直角中，，M为内一点；且，，，则的度数为_______．

答案：135
解析：
详解：解：为等腰直角三角形，
．
如图：把绕B点顺时针旋转可得到，连接，则，

，
为等腰直角三角形，
，．
在中，，
，
为直角三角形，，
．
故答案为：135．
三、解答题（共8小题，满分86分，其中17题8分、18至21每小题10分，22，23每题12分，24题14分）
17. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，求这个多边形的边数．
答案：7
解析：
详解：解：设这个多边形的边数是n，依题意得,
，
．
∴这个多边形的边数是7．
18. 如图，在中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且，连接DB，EF．若，，，
（1）求证：；
（2）求四边形DEFB的周长．
答案：（1）见解析 （2）四边形DBFE的周长为28cm
解析：
小问1详解：
证明：∵D，E分别是AC，AB的中点，
∴，，
又
即，
∴
小问2详解：
，
∴，
，D是AC的中点 ，
∴，
中，
∴，
又且，
∴四边形DBFE平行四边形．
∴四边形DBFE的周长为．
19. 两个同样大小的含角的三角尺，按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上，若，求的长．

答案：
解析：
详解：解：过点A作于F，如下图所示，

在中，，
∴，
∴，，
又∵和是两个同样大小的含角的三角尺，
∴，
∴中，根据勾股定理得，，
∴．
20. 如图，已知、两村庄的坐标分别为，，一辆汽车在轴上行驶，从原点出发．
（1）汽车行驶到离村最近的点的坐标是 ．
（2）汽车行驶到轴的某一点时到、两村的距离的差最大．
①请写出点的坐标，并在图中标出点；
②求出的最大值，并说明理由；
（3）在轴上有一村庄，若村到村的距离等于村到村的距离，请你求出村的坐标．

答案：（1）（5，0）；（2）①见解析，P（8，0）；②；（3）（0，）或（0，）
解析：
详解：解：（1）∵汽车在x轴上行驶，B（5，1），
∴汽车行驶到离B村最近的点的坐标是（5，0）；
（2）①如图，连接AB并延长，交x轴于点P，
根据网格的性质可知：P（8，0）；
②此时PA-PB最大，即为AB的长，
∴PA-PB的最大值为；
（3）∵AB=，
∴以A为圆心，AB长为半径画圆，与y轴的交点即为点Q，
设点Q（0，a），
∵AQ=AB=，
∴，
解得：a=或，
∴点Q的坐标为（0，）或（0，）．

21. 如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，连接EB并延长至F，使BF＝BE；连接EC并延长至G，使CG＝CE，连接FG，点H为FG的中点，连接DH，AF．
（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；
（2）求证：四边形AFHD为平行四边形．
答案：（1）50°；（2）见解析
解析：
详解：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∥BC，
∵∠DCE＝20°，AB∥CD，
∴∠CDE＝180°﹣∠BAE＝110°，
∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝50°；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BF＝BE，CG＝CE，
∴BC是△EFG的中位线，
∴BC∥FG，BC＝FG，
∵H为FG的中点，
∴FH＝FG，
∴BC∥FH，BC＝FH，
∴AD∥FH，AD＝FH，
∴四边形AFHD是平行四边形．
22. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为．
（1）如图1，当时，求点D的坐标；
（2）如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标；
（3）当点D落在线段上时，直接写出点E的坐标．
答案：（1）
（2）
（3）
解析：
小问1详解：
解：过点作轴于，如图所示：
∵点，点，
∴，，
∵以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，
∴，，，
在Rt中，，，
∴，
∴点的坐标为；
小问2详解：
过点作轴于，，于，如图所示：
则，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴点的坐标为；
小问3详解：
连接，作轴于，如图所示：
由旋转的性质得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，，
∴，
∴点的坐标为．
23. 如图，在中，，，，点D从点C出发沿CA方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是秒（）．过点作于点F，连接DE，EF．
（1）求证：；
（2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值，如果不能，说明理由；
（3）当为何值时，为直角三角形？请说明理由．
答案：（1）证明见解析；
（2）t=10； （3）当t=或12时，△DEF为直角三角形，理由见解析．
解析：
小问1详解：
证明：由题意可知CD=4tcm，AE=2tcm，
∵∠B=90°，∠A=60°，
∴∠C=30°，
∴DF=DC=2t cm．
∵AE=2t cm，DF=2t cm，
∴AE=DF．
小问2详解：
解：∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴．
∵AE=DF，，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴要使平行四边形AEFD为菱形，则需AE=AD，
即2t=60-4t，
解得t=10，
∴当t=10时，四边形AEFD为菱形，
故答案为：10．
小问3详解：
当∠EDF=90°时，如图①，
∵DF⊥BC，AB⊥BC，
∴，
∴四边形DFBE为矩形．
∴
∴AD=2AE，即60-4t=2t×2，
解得，t=，
当∠DEF=90°时，如图②，
∵，
∴DE⊥AC，
∴．
∴AE=2AD，即2t=2×（60-4t），
解得，t=12，
综上所述，当t=或12时，△DEF为直角三角形．
24. 综合与实践
问题情境：：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，，EP与正方形的外角的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；
（1）思考尝试：同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．
（2）实践探究：希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接CP，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题．
（3）拓展迁移：突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值．当时，请你求出周长的最小值．
答案：（1）答案见解析
（2），理由见解析
（3），理由见解析
解析：
小问1详解：
解：AE＝EP，
理由如下：取AB的中点F，连接EF，
∵F、E分别为AB、BC的中点，
∴AF＝BF＝BE＝CE，
∴∠BFE＝45°，
∴∠AFE＝135°，
∵CP平分∠DCG，
∴∠DCP＝45°，
∴∠ECP＝135°，
∴∠AFE＝∠ECP，
∵AE⊥PE，
∴∠AEP＝90°，
∴∠AEB+∠PEC＝90°，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠PEC＝∠BAE，
∴△AFE≌△ECP（ASA），
∴AE＝EP；
小问2详解：
解：在AB上取AF＝EC，连接EF，
由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，
∵AF＝EC，AE＝EP，
∴△FAE≌△CEP（SAS），
∴∠ECP＝∠AFE，
∵AF＝EC，AB＝BC，
∴BF＝BE，
∴∠BEF＝∠BFE＝45°，
∴∠AFE＝135°，
∴∠ECP＝135°，
∴∠DCP＝45°；
小问3详解：
解：作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，
由（2）知，∠DCP＝45°，
∴∠CDG＝45°，
∴△DCG是等腰直角三角形，
∴点D与G关于CP对称，
∴AP+DP的最小值为AG的长，
∵AB＝4，
∴BG＝8，
由勾股定理得AG＝，
∴△ADP周长的最小值为AD+AG＝．