2023-2024学年江苏省盐城市阜宁县（部分校）高一下学期期中考试数学试题（A卷）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省盐城市阜宁县（部分校）高一下学期期中考试数学试题（A卷）（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列复数中，满足方程x2+2=0的是 ( )
A. ±1B. ±iC. ± 2iD. ±2i
2.cs 295°sin 70°−sin 115°cs 110°的值为
( )
A. 22B. −​22C. ​32D. − 32
3.在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠BAC的大小为( )
A. 2π3B. 5π6C. 3π4D. π3
4.已知e1､e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中不能作为基底的一组是( )
A. e1+e2和e1−2e2B. e1−2e2和2e1−4e2
C. e1−2e2和e1+2e2D. e1+e2和e1+2e2
5.在复平面内，复数11−i的对应的点位于 ( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
6.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°(CDE三点共线，所在直线垂直于地平面上的AE)，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD=50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cs θ等于( )
A. 32B. 22C. 3−1D. 2−1
7.化简2cs 10°−sin 20°cs 20°值为 ( )
A. 32B. 3C. 34D. 33
8.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了“黄金分割”.“黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到好处的和谐，其比值为 5−12≈0.618，这一比值也可以表示为m=2sin18°，若2m2+n=8，则m n2cs227°−1=( )
A. 2B. 4C. 2 2D. 4 2
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=2,−1，b=(−3,2)，c=1,1，则
( )
A. a//bB. a+b⊥cC. a+b=cD. c=5a+3b
10.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则下列说法正确的是
．( )
A. 若sin B>sin C，则B>C
B. 若a=2 6,b=4，A=π4，则三角形有两解
C. 若bcs B−ccs C=0，则△ABC一定为等腰直角三角形
D. 若△ABC面积为S,S=14(a2+b2−c2),则C=π4.
11.已知O是△ABC所在平面内一点，以下说法正确的是( )
A. 若动点P满足OP=OA+λ(|AB|⋅ABsinC+|AC|⋅ACsinB)(λ∈R)，则P点的轨迹一定通过△ABC的重心
B. 若点O满足AO⋅AB|AB|=AO⋅AC|AC|,CO⋅CA|CA|=CO⋅CB|CB|，则点O是△ABC的垂心
C. 若O为△ABC的外心，且OA+OB+OC=OM，则M是△ABC的内心
D. 若(OA+OB)⋅AB=(OB+OC)⋅BC=0，则点O为△ABC的外心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知i为虚数单位，则复数(2−i)2的模为=_________。
13.设a=(x,3)，b=(2,−1)且a,b的夹角为钝角，实数x的取值范围是__________。
14.若关于x的不等式asin2x+bsinx+c≤1(a>0)的解集为2kπ,2kπ+π,k∈Z，则a的取值范围是_________。
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知平面向量a=(1,x)，b=(2x+3,-x)(x∈R)．
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a //b，求a-b．
16.(本小题12分)
已知复数z和它的共轭复数z满足2z+z=3+2i．
(1)求z；
(2)若z是关于x的方程x2+px+q=0p,q∈R的一个根，求复数zp+q−4i的模．
17.(本小题12分)
平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠BAD=120∘，求：
(1)AB•AC的值；
(2)cs∠BAC
18.(本小题12分)
记▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsinC+π6=a+c．
(1)求B；
(2)若b=2，求▵ABC的面积的最大值．
19.(本小题12分)
已知向量a=(cs 3x2,sin 3x2)，b=(cs x2,−sin x2)，函数fx=a→⋅b→−ma→+b→+1，x∈−π3,π4，m∈R．
(1)当m=0时，求fπ6的值；
(2)若fx的最小值为−1，求实数m的值；
(3)是否存在实数m，使函数gx=fx+2449m2，x∈−π3,π4有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查复数的四则运算及复数相等的条件，设x=a+bi，a,b∈R，利用复数相等即可求出a、b的值，属基础题．
【解答】
解：设x=a+bi，a,b∈R，因为x2+2=0，
则a2−b2+2+2abi=0，即a2−b2+2=02ab=0，
解得a=0,b=± 2．
即x=± 2i．
故选C．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查诱导公式及两角差的余弦公式，属于基础题．
利用诱导公式以及两角差的余弦公式的逆应用即可求解．
【解答】
解：原式=−cs 115°cs 20°+sin 115°sin 20°
=cs 65°cs 20°+sin 65°sin 20°
=cs(65°−20°)=cs 45°= 22．
故选：A
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查余弦定理的应用．在三角形中求出余弦值找对应的角时切记莫忘角的范围．
先根据余弦定理求出角∠BAC的余弦值，再由角的范围确定大小即可．
【解答】
解：∵cs∠BAC=AB2+AC2−BC22AB⋅AC=52+32−722×5×3=−12，
又∠BAC∈(0,π)，所以∠BAC=2π3．
故选：A．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查向量基底的概念，知道作为基底的向量不共线，以及共线向量基本定理，属于基础题．
如果两个向量共线便不能作为基底，从而找为共线向量的一组即可，可根据共线向量基本定理进行判断．
【解答】
解：不共线的向量可以作为基底，
∴不能作为基底的便是共线向量，
显然B，e1−2e2=12(2e1−4e2)，
∴e1−2e2和2e1−4e2共线，不能作为基底，
故选：B．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
由复数的化简，得到对应的点坐标，从而得到结果．
【解答】
解：∵11−i=1+i1−i1+i=12+12i，
∴对应的点坐标为12,12，位于第一象限．
故选A．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查正弦定理在实际问题中的应用，属基础题．
易求∠ACB=30∘，在△ABC中，由正弦定理可求BC，在△BCD中，由正弦定理可求sin∠BDC，再由∠BDC=θ+90∘可得答案．
【解答】解：∵∠CBD=45°，∠CAB=15°, ∴∠ACB=30°，
在△ABC中，由正弦定理，得BCsin∠CAB=ABsin∠ACB，
即BCsin15°=100sin30°，
解得BC=50( 6− 2)，
在△BCD中，由正弦定理，得BCsin∠BDC=CDsin∠CBD，
即50( 6− 2)sin∠BDC=50sin45°，
∴sin∠BDC= 3−1，即sin(θ+90°)= 3−1，
∴csθ= 3−1，
故选C.
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查两角差的余弦公式的应用，属于基础题．
利用两角差的余弦公式，化简所给的式子，可得结果．
【解答】
解：2cs10°−sin20°cs20°=2cs(30°−20°)−sin20°cs20°
=2cs30°·cs30°+sin30°·sin20°−sin20°cs20°
= 3cs20°+sin20°−sin20°cs20°
= 3．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查二倍角正弦公式、降幂公式、诱导公式——π2±α型、利用同角三角函数基本关系化简，属于容易题．
由题意结合同角三角函数基本关系求出n，利用二倍角正弦公式求出m n，进而利用降幂公式和诱导公式即可求得m n2cs227°−1的值．
【解答】
解：因为m=2sin18°，2m2+n=8，
所以n=8−8sin218°=8cs218°，
所以m n=2sin18°×2 2cs18°=2 2×2sin18°cs18°=2 2sin36°，
故m n2cs227°−1=2 2sin36°cs54°=2 2cs54°cs54°=2 2．
故选：C．
9.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查平面向量的坐标运算以及向量垂直和平行的判定，属于基础题．
根据向量平行的判定方法可判定A是否正确；根据向量垂直的判定方法可判定B是否正确；根据向量的坐标运算方法可判定C、D是否正确．
【解答】
解：由题意，2×2−(−3)×(−1)≠0 ，A错误；
a+b=(−1,1)，(a+b)⋅c=−1+1=0，所以B正确，C错误；
5a+3b=5(2,−1)+3(−3,2)=(1,1)=c，D正确．
故选：BD．
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查正弦定理、三角形的面积公式和判断三角形的形状，考查推理能力和计算能力，属于中档题．
利用正弦定理、三角形的面积公式对选项逐个判断即可．
【解答】
解：对于A.由正弦定理得bsin B=csin C，因为sin B>sin C，所以b>c，则B>C，故正确；
对于B.因为a=2 6,b=4，A=π4，由正弦定理得asin A=bsin B，则sin B=bsin Aa=4× 222 6= 33，因为a>b，所以A>B，则B∈(0,π4)，所以三角形有一解，故错误；
对于C.因为bcs B−ccs C=0，所以sin Bcs B−sin Ccs C=0，即sin 2B=sin 2C，所以2B=2C或2B+2C=π，即B=C或B+C=π2，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故错误；
对于D.因为△ABC面积为S,S=14(a2+b2−c2),所以12absin C=14×2abcs C，即sin C=cs C，因为C∈(0,π)，所以C=π4.故正确．
故选：AD．
11.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查向量的运算，充分理解表达式的几何意义以及三角形的五心的特征，是解题的关键，属于较难题．
对于A：利用正弦定理化简已知条件，由此判断出P的轨迹经过重心，即可判断A是否正确；
对于B：利用表达式，转化推出O所在的位置，得出结果，即可判断B是否正确；
对于C：根据题意可得OA=OB=OC，且OA+OB=OM−OC，设AB的中点为D，则OD⊥AB，CM=2OD，推出CM⊥AB，则M是△ABC的垂心，即可判断C是否正确；
对于D：|OA+OB|是以OA，OB为邻边的平行四边形的一条对角线，|AB|是该平行四边形的另一条对角线，由AB⋅(OA+OB)=0得出这个平行四边形是菱形，于是O为△ABC的外心，即可判断D是否正确；
【解答】
解：对于A：由正弦定理可知：|AB|sinC=|AC|sinB=2R，R为三角形的外接圆的半径，
所以动点P满足OP=OA+λ(|AB|⋅ABsinC+|AC|⋅ACsinB)=OA+2λR(AB+AC)，
因为AB+AC是以AB，AC为邻边的平行四边形的对角线A为起点的向量，经过BC的中点，
所以P点的轨迹一定是通过三角形△ABC的重心，故A正确；
对于B：因为AO⋅AB|AB|=AO⋅AC|AC|，
所以AO⋅(AB|AB|−AC|AC|)=0，
所以点O在∠CAB的平分线上，
同理由CO⋅CA|CA|=CO⋅CB|CB|，得CO⋅(CA|CA|−CB|CB|)=0，
所以点O在∠ACB的平分线上，
所以点O是△ABC的内心，故B错误；
对于C：由O为△ABC的外心，可得OA=OB=OC，
因为OA+OB+OC=OM，
所以OA+OB=OM−OC，
设AB的中点为D，则OD⊥AB，CM=2OD，
所以CM⊥AB，
同理可得AM⊥BC，BM⊥AC，故M是△ABC的垂心，故C错误；
对于D：|OA+OB|是以OA，OB为邻边的平行四边形的一条对角线，
而|AB|是该平行四边形的另一条对角线，
所以AB⋅(OA+OB)=0表示这个平行四边形是菱形，即|OA|=|OB|，
同理可得|OB|=|OC|，于是O为△ABC的外心，故D正确．
故选：AD．
12.【答案】5
【解析】【分析】
本题考查了复数的运算，复数的模的计算，是基础题．
化简(2−i)2，直接代入复数模的公式进行计算即可．
【解答】
解：2−i2=4−4i+i2=3−4i，
所以(2−i)2=3−4i= 32+−42=5．
故答案为5．
13.【答案】x|x