江苏省盐城市阜宁县（部分校）2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（A卷）

这是一份江苏省盐城市阜宁县（部分校）2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（A卷），共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时间：120分钟分值：150分
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.下列复数中，满足方程的是 ( )
A.±1 B.±i C.±eq \r(2)i D.±2i
2.cs 295°sin 70°－sin 115°cs 110°的值为 ( )
A.eq \f(\r(2),2) B.－eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D.－eq \f(\r(3),2)
3.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为 ( )
A.eq \f(2π,3) B.eq \f(5π,6) C.eq \f(3π,4) D.eq \f(π,3)
4.已知､是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中不能作为基底的一组是( )
A．和 B．和
C．和 D．和
5.在复平面内，复数的对应的点位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°(CDE三点共线，所在直线垂直于地平面上的AE)，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cs θ等于 ( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \r(3)－1 D.eq \r(2)－1
7.化简eq \f(2cs 10°－sin 20°,cs 20°)值为 ( )
A. B． C． D．
8.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了“黄金分割”.“黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到好处的和谐，其比值为，这一比值也可以表示为，若，则( )
A．B．C．D．
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分；三个正确选项时，选对一个的得2分，选对二个的得4分；两个正确选项时，选对一个的得3分；有选错的得0分)
9.已知向量，，，则 ( )
A．B． C．D．
10.已知的内角所对的边分别为，则下列说法正确的是 ( )
A．若，则．
B．若，，则三角形有一解．
C．若，则一定为等腰直角三角形．
D．若面积为则
11.已知是所在平面内一点，以下说法正确的是 ( )
A．若动点满足，则点的轨迹一定通过的重心．
B．若点满足，则点是的垂心．
C．若为的外心，且，则是的内心．
D．若，则点为的外心．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12.已知i为虚数单位,则复数的模为= 。
13.设 , 且的夹角为钝角，实数的取值范围是 。
14. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 。
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13分)已知平面向量＝(1，x)，＝(2x＋3，－x) (x∈R).
(1)若⊥，求x的值；
(2)若∥，求|－|.
16.(15分)已知复数和它的共轭复数满足．
(1)求z；
(2)若z是关于x的方程的一个根，求复数的模．
17. (15分)平行四边形ABCD中,AB=2,AD=1,,求：
（1）的值；
（2）
18. (17分)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求B；
(2)若，求的面积的最大值.
19. (17分)已知向量，，函数，，.
（1）当时，求的值；
（2）若的最小值为，求实数的值；
（3）是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
2024年高一期中考试数学参考答案（A卷）
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.C 2. A 3. A 4.B 5.A 6. C 7. B 8.C
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分；三个正确选项时，选对一个的得2分，选对二个的得4分；两个正确选项时，选对一个的得3分；有选错的得0分)
9.BD 10.ABD 11.AD
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 13. 14.
四、解答题(本大题共5小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13分)解 (1)∵a⊥b，
∴a·b＝0，即1×(2x＋3)＋x×(－x)＝0，
解得x＝－1或x＝3.-------------------------------5分
(2)∵a∥b，∴1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
解得x＝0或x＝－2.-------------------------------7分
当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(3，0)，
∴a－b＝(－2，0)，∴|a－b|＝2.-------------------------------10分
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，
∴a－b＝(2，－4)，
∴|a－b|＝2eq \r(5).
∴|a－b|＝2或2eq \r(5).-------------------------------13分
16.(15分)(1)设，则，
，------------------3分
所以，即，所以.------------------7分
(2)将代入已知方程可得，
整理可得，所以，解得，----------------11分
所以，又，
所以复数的模为1. ------------------15分
17. (15分)解(1)由题可得，---------3分
===4-1=3 ------------------7分
(2)=3
== ------------------11分
设的夹角为，
所以. ------------------15分
（余弦定理、直角三角形得出正确答案都不扣分）
18. (17分)因为，所以由正弦定理可得，
即，
整理得，-------------------------4分
又，所以，所以，
即，又，
所以，即. -------------------------8分
(2)在中，由余弦定理可得
，-------------------------12分
所以，当且仅当时取等号，
所以，故的面积的最大值为.---------------------17分
（数形结合做，如果不能详细说明理由的扣4分；正弦定理做的不扣分）
19. (17分)解：（1），
当时，，
则；-------------------------4分
（2）∵，则，------------------------6分
令，则，
则，对称轴，
① 当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得(舍)，----------------8分
② 当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得，----------------10分
③ 当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得(舍)，
综上若的最小值为，则实数； ----------------12分
（3）令，得或，
∴方程或在上有四个不同的实根，----------------14分
则，得，则，
即实数的取值范围是. ---------------17分