2024年广东省惠州市惠城区中考数学二模试卷

这是一份2024年广东省惠州市惠城区中考数学二模试卷，共21页。试卷主要包含了8×103D，下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.-2的相反数是( )
A. -2B. ±2C. 2D. 0.2
2.如图，AB/​/CD，∠DCE=80°，则∠BEF=( )
A. 100°
B. 90°
C. 80°
D. 70°
3.2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星点火发射，其中长征二号F遥十八运载火箭低地球轨道的运载能力为8800千克.数据8800用科学记数法表示为( )
A. 880×10B. 88×102C. 8.8×103D. 0.88×104
4.已知∠1与∠2互余，∠1=42°，则∠2的度数为( )
A. 38°B. 48°C. 58°D. 138°
5.下列计算正确的是( )
A. (-2a)3=-63B. a5÷a2=a3
C. (3a+2)(3a-2)=9a-4D. (a+b)2=a2+b2
6.《九章算术》《海岛算经》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要成就.某学校拟从这4部数学著作中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《海岛算经》的概率是( )
A. 12B. 13C. 14D. 16
7.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O.如果添加一个条件，使得▱ABCD是矩形，那么这个条件可以是( )
A. AB=ADB. AO=BOC. AC⊥BDD. AO=CO
8.如图，A，B，C三点在⊙O上，若∠AOC=100°，则∠ABC的度数是( )
A. 80°
B. 100°
C. 120°
D. 130°
9.佛山是国内首个被授予“中国龙舟龙狮运动名城”称号的城市，“争先奋进，赛龙夺锦”的龙舟文化内核近年来成了佛山文化品牌形象和城市精神内涵的重要元素.已知2023年2月佛山某区龙舟赛的总赛程为20km，在同一场比赛中龙舟A队的平均速度是B队的1.2倍，最终A队冲刺终点的时间比B队提前20分钟，若设B队的平均速度是x km/h，则可列方程为( )
A. 201.2x-20x=13B. 20x-201.2x=20C. 201.2x-20x=20D. 20x-201.2x=13
10.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，连接BE，作∠BEF=120°，交CD边于点F，若AEEC=12，则DFFC的值为( )
A. 2 33
B. 103
C. 43
D. 54
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：x2-2x=______．
12.化简：43a-13a= ______．
13.一家商店某种衣服按进价提高50%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件衣服获利100元，则这件衣服的进价是______元．
14.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，且BE=1，F为对角线BD上一动点，连接CF，EF，则CF+EF的最小值为______．
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB的边OB在y轴上，边AB与x轴交于点C，且BC=2AC，反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A，若S△OBC=8，则k= ______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算：(-2024)0+ 16-2cs45°；
(2)若二次函数y=ax2+bx+1的图象经过(1,0)和(2,1)两点，求该二次函数的表达式．
17.(本小题6分)
解不等式组2x+3>1①43x-1≤x②并把解集表示在数轴上．
18.(本小题8分)
如图，四边形ABCD是某学校的一块种植实验基地，其中△ABC是水果园，△ACD是蔬菜园.已知AB/​/CD，AB=27m，AC=18m，CD=12m．
(1)求证：△ABC∽△CAD；
(2)若蔬菜园△ACD的面积为80m2，求水果园△ABC的面积．
19.(本小题9分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°．
(1)实践与操作：在边AC上找一点D(点C，D不重合)，使得△ABD为等腰三角形(尺规作图，保留作图痕迹)；
(2)猜想与证明：在(1)的条件下，试猜想BD，BC之间的数量关系，并加以证明．
20.(本小题9分)
实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高.李老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对本班部分学生进行调查，把调查结果分成四类：A.特别好，B.好，C.一般，D.较差，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据统计图解答下列问题．

(1)本次调查中，李老师一共调查了______名学生；
(2)通过计算将条形统计图补充完整；
(3)若学校共有3000名学生，请根据调查数据估计学习状态为D类的学生人数．
21.(本小题9分)
如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，CD与AB的延长线交于点D，AC=CD，∠A=30°．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)过点B作BE⊥CD于点E，若⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．
22.(本小题12分)
根据以下素材，探索完成任务．
23.(本小题12分)
综合探究
【问题情境】几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径.解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法．
【初步探究】
(1)如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接CE，DB，根据条件填空：
①∠ACE的度数为______；
②若CE=2，则CA的长为______；
【类比探究】
(2)如图2，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且满足∠EAF=45°，BE=1，DF=2，求正方形ABCD的边长；
【拓展延伸】
(3)如图3，在四边形ABCD中，CD=CB，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD为对角线，且满足AC=32CD，若AD=3，AB=4，请求出BD的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：-2的相反数是2．
故选：C．
根据相反数的定义即可得出答案．
本题主要考查相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵AB/​/CD，
∴∠DCE+∠BEF=180°，
∵∠DCE=80°，
∴∠BEF=180°-80°=100°．
故选：A．
根据平行线的性质推出∠DCE+∠BEF=180°，代入求出即可．
本题主要考查对平行线的性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，根据平行线的性质推出∠DCE+∠BEF=180°是解此题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：8800=8.8×103．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】B
【解析】解：∵∠1与∠2互余，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1=42°，
∴∠2=90°-∠1=90°-42°=48°．
故选：B．
根据互为余角的定义得∠1+∠2=90°，再根据∠1=42°即可求出∠2的度数．
此题主要考查了互为余角的定义，角的计算，理解互为余角的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：(-2a)3=-8a3，故A错误，不符合题意；
a5÷a2=a3，故B正确，符合题意；
(3a+2)(3a-2)=9a2-4，故C错误，不符合题意；
(a+b)2=a2+2ab+b2，故D错误，不符合题意；
故选：B．
由积的乘方可判断A，由同底数的幂的除法法则可判断B，由平方差公式可判断C，由完全平方公式可判断D．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关的运算法则．
6.【答案】C
【解析】解：从这4部数学名著中随机选择1部，恰好选中《海岛算经》的概率是14．
故选：C．
直接利用概率公式计算即可．
本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
7.【答案】B
【解析】解：A、添加AB=AD，∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、添加AO=BO，∴▱ABCD是矩形，故选项B符合题意；
C、添加AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、添加AO=CO，不能判定▱ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，掌握矩形的判定是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：如图，∠D为弧AC所对的圆周角，
∵∠D=12∠AOC，∠AOC=100°，
∴∠D=50°，
∵∠D+∠ABC=180°，
∴∠ABC=180°-50°=130°．
故选：D．
先作出弧AC所对的圆周角∠D，如图，根据圆周角定理得到∠D=12∠AOC=50°，然后根据圆内接四边形的性质求∠ABC的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质．
9.【答案】D
【解析】解：根据题意得：20x-201.2x=13，
故选：D．
根据“最终A队冲刺终点的时间比B队提前20分钟”列方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出方程的知识，解题的关键是找到等量关系并列出方程，难度不大．
10.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠D=∠ABC=60°，
∴△ABC，△ACD是等边三角形，
∴∠BCE=∠ACD=60°，BC=AC，
∴∠CBE+∠BEC=180°-60°=120°，
∵∠BEF=120°，
∴∠CEF+∠BEC=120°，
∴∠CEF=∠CBE，
∵∠ECF=∠BCE，
∴△CEF∽△CBE，
∴CF：CE=CE：BC，
∵AEEC=12，
∴令AE=x，则EC=2x，
∴AC=x+2x=3x，
∴BC=AC=3x，
∴CF：2x=2x：3x，
∴CF=43x，
∴DF=3x-43x=53x，
∴DFFC=54．
故选：D．
由菱形的性质推出AB=BC=CD=AD，∠D=∠ABC=60°，判定△ABC，△ACD是等边三角形，得到∠BCE=∠ACD=60°，BC=AC，求出∠CBE+∠BEC=180°-60°=120°，而∠CEF+∠BEC=120°，得到∠CEF=∠CBE，即可证明△CEF∽△CBE，推出CF：CE=CE：BC，令AE=x，求出CF=43x，得到DF=3x-43x=53x，即可求出DFFC=54．
本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由菱形的性质推出△CEF∽△CBE，得到CF：CE=CE；BC，求出CF=43x.
11.【答案】x(x-2)
【解析】解：原式=x(x-2)，
故答案为：x(x-2)
原式提取x即可得到结果．
此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
12.【答案】1a
【解析】解：原式=4-13a
=33a
=1a，
故答案为：1a．
按照同分母的分式相加减：分母不变，分子相加减，进行计算，然后约分即可．
本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握同分母的分式相加减：分母不变，分子相加减．
13.【答案】500
【解析】解：设这件衣服的进价x元，由题意得：
(1+50%)x×80%-x=100，
解得：x=500，
即：这件衣服的进价500元．
故答案是：500．
设这件衣服的进价x元，标价为(1+50%)x，根据题意可得等量关系：标价×八折-进价=利润，根据等量关系列出方程即可．
此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
14.【答案】 17
【解析】解：连接AE交BD于点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点A与点C关于BD对称．
∴AF=CF．
∴AF+EF=AE，此时CF+EF最小．
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AD=AB=4，∠DAB=90°．
∵点E在BC上且BE=1，
∴AE= AB2+BE2= 17．
故CF+EF的最小值为 17．
此题考查正方形的性质和勾股定理，熟练运用勾股定理计算是解题的关键．连接 AE 交 BD 于点F，根据正方形的对称性得到此时 CF+EF=AE 最小，利用勾股定理求出 AE 即可．
15.【答案】-12
【解析】解：如图，作AD⊥x轴于点D，
∵AD//y轴，
∴△ADC∽△BOC，
∴S△ADCS△BOC=(ACBC)2=14，
∵S△OBC=8，
∴S△ADC=2，
∵BC=2AC，
∴S△AOC=12S△BOC=4，
∴S△ADO=4+2=6
∴丨k丨=2S△ADC=12，
∵反比例函数图象上在第二象限，
∴k=-12．
故答案为：-12．
作AD⊥x轴于点D，可得三角形相似得到S△ADCS△BOC=(ACBC)2=14，求出S△ADC=2，利用BC=2AC可求出S△AOC=12S△BOC=4，继而求出S△ADO=4+2=6根据k值几何意义得到k值即可．
本题考查了反比例函数k值几何意义，熟练掌握反比例函数k值几何意义是关键．
16.【答案】解：(1)原式=1+4-2× 22=5- 2．
(2)将点(1,0)和(2,1)代入函数解析式得，
a+b+1=04a+2b+1=1，
解得a=1b=-2，
所以该二次函数的表达式为y=x2-2x+1．
【解析】(1)根据实数运算的法则进行计算即可．
(2)用待定系数法即可解决问题．
本题考查实数的运算及待定系数法求二次函数解析式，熟知零指数幂、特殊角的三角函数值及待定系数法是解题的关键．
17.【答案】解：解不等式①得：x>-1，
解不等式②得：x≤3，
则不等式组的解集为-1将解集表示在数轴上如下：

【解析】分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】(1)证明：∵AB=27m，AC=18m，CD=12m，
∴ABAC=2718=32，ACCD=1812=32，
∴ABAC=ACCD，
∵AB/​/CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∴△ABC∽△CAD；
(2)解：由(1)可知：△ABC∽△CAD，
∴S△ABCS△CAD=(32)2=94，
∵△ACD的面积为80m2，
∴△ABC的面积为：80×94=180(m2)，
答：水果园△ABC的面积为180m2．
【解析】(1)通过计算ABAC=2718=32，ACCD=1812=32，得出ABAC=ACCD，再由AB/​/CD，得出∠BAC=∠ACD，进而得出结论；
(2)利用相似三角形的面积比等于相似比的平方得出答案即可．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
19.【答案】解：(1)如图，点D即为所求；

(2)结论：BD=DC．
理由：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=12(180°-36°)=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=12∠ABC=36°，
∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=72°，
∴∠C=∠BDC，
∴BD=DC．
【解析】(1)作BD平分∠ABC交AC于点D；
(2)结论：BD=DC.证明∠C=∠BDC即可．
本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20.【答案】25
【解析】解：(1)调查的总人数是(2+2)÷16%=25(名)，
故答案为：25；
(2)C类的人数是：25×24%=6(人)，
则C类的女生是6-3=3(人)，
D类的人数是：25×(1-16%-48%-24%)=3(人)，
则D类男生的人数是3-1=2(人)．
补全条形统计图如下：
(3)3000×(1-16%-48%-24%)=360(名)，
答：估计学习状态为D类的学生人数为360名．
(1)根据A类的人数是40，所占的百分比是16%，据此即可求得调查的总人数；
(2)分别求出C和D类的女生和男生的人数，即可补全条形统计图；
(3)利用总人数3000乘以对应的百分比即可求解．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21.【答案】(1)证明：连接OC，

∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=30°，
∵AC=CD，
∴∠ADC=∠OAC=30°，
在△ACD中，由三角形内角和得：
∠OCD=180°-∠CAD-∠ACO-∠ADC=180°-30°-30°-30°=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)解：由(1)得OC⊥CD，
∴△OCD为直角三角形，
∵OC=4，∠ADC=30°，
∴OD=8，CD=4 3，∠COD=60°，
∴BD=OD-OB=8-4=4，
∵BE⊥ED，∠ADC=30°，
∴BE=2，ED=2 3，
S阴影=S△OCD-S△BED-S酶形OBC
=4×4 32-2×2 32-60×π×42360
=6 3-83π，
∴图中阴影部分的面积为6 3-83π．
【解析】(1)连接OC，利用等边对等角求得∠OCA=30°，∠D=30°，利用三角形内角和定理求得∠OCD=90°，即可证明CD是⊙O的切线；
(2)证明BE是△OCD的中位线，利用S阴影=S梯形OBEC-S扇形OBC，根据扇形面积公式即可求解．
此题主要考查了切线的判定和性质，扇形面积的计算，勾股定理的应用等知识点，解答此题的关键是理解过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线．
22.【答案】解：任务1．
设BD的长为x cm，则AC的长为(60-x)cm，根据题意得：
12x(60-x)=400．
解得：x1=20，x2=40．
∵AC>BD，
∴BD=20cm，AC=40 cm．
任务2．
∵AO：OC=3：5，AC=40 cm，
∴AO=15 cm，OC=25 cm．
∴点A的坐标为(0,15)，B(-10,0)，D(10,0)．
由题意得：点E的坐标为(0,20)，F(-12,0)，G(12,0)．
设抛物线的函数表达式为：y=ax2+20(a≠0)．
∵经过点F，
∴144a+20=0．
解得：a=-536．
∴抛物线的函数表达式为：y=-536x2+20；
任务3．
∵FH/​/BC，
∴OBOF=OCOH．
∴1012=25OH．
解得：OH=30．
由题意得：OE=20，
∴EH=50．
∵FG=12-(-12)=24．
∴长方形纸片的面积=FG⋅EH=24×50=1200(cm2).
答：至少选择面积为1200cm2的长方形纸片．
【解析】任务1.设BD的长为xcm，则AC的长为(60-x)cm，根据四边形ABCD的面积为400cm2列出方程求解后进而根据AC>BD得到AC和BD合适的解；
任务2.根据AO：OC=3：5可得AO和OC的长度，根据AC垂直平分BD可得OB和OD的长度，即可判断出点A、B、D的坐标，进而可得点F、F、G的坐标，那么可设抛物线的函数表达式为：y=ax2+20(a≠0)，把点F的坐标代入可得a的值，即可求得抛物线的函数表达式；
任务3.根据平行线分线段成比例定理可得OH的长度，加上OE的长度即为EH的长度，易得FG的长度，那么长方形的面积=FG⋅EH，把相关数值代入计算即可．
本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：对角线互相垂直的四边形的面积=12对角线的积；抛物线的对称轴为y轴，一次项系数b为0．
23.【答案】45° 2
【解析】解：(1)①将△ABC绕点A逆时针旋转90°得△ADE，
∴∠CAE=90°，AC=AE，
∴△CAE为等腰直角三角形，
∴∠ACE=45°；
②∵△CAE为等腰直角三角形，∠ACE=45°，
∴CA= 22CE= 22×2= 2，
故答案为：①45°；② 2；
(2)将△ABE绕点A逆时针旋转90°得△ADG，如图，
由旋转的性质可得∠1=∠4，AE=AG，BE=DG=1，∠ABE=∠ADG=90°，
∵∠ADC+∠ADG=180°，
∴G，D，C共线，
∴∠EAF=45°，
∴∠1+∠3=∠4+∠3=∠FAG=45°=∠EAF，
∵AF=AF，∠FAG=∠EAF，AE=AG，
∴△GAF≌△EAF(SAS)，
∴GF=EF，
∵GF=GD+DF=1+2=3，
∴EF=3，
设正方形边长为x，则CE=x-1，CF=x-2，
在Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2，
即(x-1)2+(x-2)2=32，
解得x=3+ 172或x=3- 172(负值舍去)，
∴正方形ABCD的边长为3+ 172；
(3)如图，将△ADC绕C逆时针旋转至△CBE，连接AE，
由旋转的性质可得AD=BE，CA=CE，∠ACD=∠ECB，∠ADC=∠EBC，
∴∠BCD=∠ACE，
又∵CD=CB，
∴CDCA=CBCE，
∴△DCB∽△ACE，
∴BDAE=CDCA=23，
∴BD=23AE，
∵∠BAD+∠BCD=90°，
∴∠ABC+∠ADC=270°，
∵∠ADC=∠EBC，
∴∠ABC+∠EBC=270°，
∴∠ABE=90°，
∴AE= AB2+BE2=5，
∴BD=23AE=103．
(1)①根据旋转的性质易得△CAE为等腰直角三角形，结合等腰三角形的性质求解即可；
②结合等腰三角形的性质求解即可；
(2)将△ABE绕点A逆时针旋转90°得△ADG，求证△GAF≌△EAF，由全等三角形的性质可得GF=EF，易得EF=3，设正方形边长为x，则CE=x-1，CF=x-2，在Rt△CEF中由勾股定理可得CE2+CF2=EF2，代入求解即可获得答案；
(3)将△ADC绕C逆时针旋转至△CBE，连接AE，首先证明△DCB∽△ACE，由相似三角形的性质可得BDAE=CDCA=23，再证明∠ABE=90°，由勾股定理可得AE= AB2+BE2=5，结合BD=23AE即可获得答案．
本题考查四边形的综合应用，主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，解题关键是熟练运用旋转的性质求解．如何制作简易风筝？
素材1
图1是简易“筝形”风筝的结构图，现以两条线段AC，BD作为骨架，AC垂直平分BD且AC>BD，并按AO：OC=3：5的比例固定骨架，骨架AC与BD共消耗竹条60cm，四边形ABCD的面积为400cm2．
素材2
考虑到实际需要，蒙面(风筝面)边缘离骨架的端点要留出一定距离.如图2，现BD以上部分的蒙面设计为抛物线形状，过距离A，B，D三点分别为5cm，2cm，2cm的E，F，G三点绘制抛物线(建立如图的直角坐标系).BD以下部分的蒙面设计为△FGH，点H在OC延长线上且FH/​/BC．
素材3
从一张长方形纸片中裁剪无拼接的风筝蒙面(包括BD以上抛物线部分及BD以下三角形部分)，长方形各边均与骨架平行(或垂直)．
问题解决
任务1
确定骨架长度
求骨架AC和BD的长度．
任务2
确定蒙面形状
求抛物线的函数表达式．
任务3
选择纸张大小
至少选择面积为多少的长方形纸片？