2023年广东省惠州市惠城区中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年广东省惠州市惠城区中考数学一模试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省惠州市惠城区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 2023的相反数是(    )
A. 12023 B. −12023 C. 2023 D. −2023
2. 搭载神舟十五号载人飞船的长征二号火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，该火箭的起飞推力约600000kg，目前，神舟十五号航天员乘组状态良好，计划于2023年6月返回地面.将“600000”用科学记数法表示为(    )
A. 0.6×106 B. 60×104 C. 6×105 D. 6×106
3. 如图，直线a，b被直线c所截，a//b，若∠1=80°，则∠2=(    )
A. 10°
B. 80°
C. 100°
D. 120°
4. 一组数据3，6，1，5的中位数是(    )
A. 6 B. 4 C. 3.5 D. 1
5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，若CD=3，则AB=(    )
A. 1
B. 3.5
C. 4
D. 6
6. 下列计算正确的是(    )
A. (a2)3=a8 B. (ab)3=ab3 C. a3+a3=a6 D. a3⋅a2=a5
7. 如图，将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中，其中点A的坐标为(−1,2)，点D的坐标为(2,2)，则点C的坐标为(    )
A. (−1,2)
B. (2,1)
C. (2,−1)
D. (−1,−1)
8. 下列数值不是不等式组2x+4>0−x≥−1的整数解的是(    )
A. −2 B. −1 C. 0 D. 1
9. 关于二次函数y=(x−3)2−1，以下说法错误的是(    )
A. 开口向上 B. 对称轴为直线x=−3
C. 有最小值−1 D. 与y轴交点为(0,8)
10. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E.若AE=2EC，则BCAC=(    )


A. 34 B. 5−12 C. 12 D. 512
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 计算：m−2(m−n)= ______ ．
12. 已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是______ ．
13. 小明同学在“测高”综合实践活动中发现：在一个阳光明媚的午后，身高1.7m的自己在阳光下的影长是0.34m，在同一时刻，阳光下旗杆的影长是4m，则旗杆高为______ ．
14. 若(a−3)2+|b+1|=0，则ab= ______ ．
15. 如图，四边形ABCD为矩形,AB=2,AD=2 3，E为平面内一点，且∠AED=30°，连接BE，则BE的最大值是______ ．


三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(x2−4x2+4x+4+1)÷x，其中x=3．
17. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，D为BC上一点，且AB=AC=DC，AD=BD，求∠B的度数．

18. (本小题8.0分)
为配合国家“全面推进乡村振兴重点工作”的政策，某农户在线上平台开设了网店销售荔枝和龙眼两种水果.如下表是两种水果的销售信息：(荔枝2kg/箱，龙眼2.5kg/箱)
商品
荔枝
龙眼
成本(元/箱)
30
40
售价(元/箱)
48
60
开始线上销售一个星期后，网店销售荔枝和龙眼共1150kg，获利9600元，这个星期网店销售荔枝和龙眼各多少箱？
19. (本小题9.0分)
已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求该品牌电动车电池的电压；
(2)该物理小组通过询问经销商得知该电动车以最高速度行驶时，工作电压为电池的电压，工作电流在7.2A−8A的范围，请你帮该小组确定这时电阻值的范围．

20. (本小题9.0分)
“双减”政策要求全面压减作业总量和时长，减轻学生过重作业负担.某初中为七年级学生规划了各科书面作业时间，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.请根据统计图所提供的信息，解答下列问题：

(1)七年级学生各科书面作业的时间总长为______ 分钟，其中历史科目在扇形统计图中的圆心角度数为______ 度；
(2)请将图1补充完整；
(3)现准备对707班和708班进行关于B数学或C英语科目的实际书面作业时长的调研，请用树状图或列表法求出两个班恰好都被抽中B数学科目调研的概率．
21. (本小题9.0分)
如图，BD为▱ABCD的对角线，EF垂直平分BD，分别交AD，BD，BC于点E，M，F，连接BE，DF．
(1)求证：四边形BFDE为菱形；
(2)若BD=24，EF=12，求四边形BFDE的周长．
22. (本小题12.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若CE=6，AE=2．
①求BC的长；
②点P为BC上一点，连接PA，PA+12PB是否有最小值？若有，请直接写出这个最小值；若没有，请说明理由．

23. (本小题12.0分)
如图，抛物线y=−x2+2x+3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，连接AC，BC．
(1)求△ABC的面积；
(2)点M为y轴上一点，是否存在点M，使得△MBC与△ABC相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点P为抛物线上一点(点P与点B不重合)，且使得△PAC中有一个角是45°，请直接写出点P的坐标．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：2023的相反数是−2023．
故选：D．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．

2.【答案】C 
【解析】解：600000=6×105．
故选：C．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|−2，
由②得：x≤1，
∴不等式组的解集为−20，
∴CD=4 3，
∴BC=2CD=8 3，
即BC的长为8 3；
②点P为BC上一点，连接PA，PA+12PB有最小值，
在Rt△ABD中，BD=CD=4 3，
cos∠BAC=BDBA=4 38= 32，
∴∠ABC=30°，
∴AD=12AB=4，∠BAD=60°，
过点P作PG⊥AB于点G，则PG=12PB，
延长AD到点F，使FD=AD=4，则BC上任意一点P到点A与点F的距离都相等，即总有PF=PA，
由两点之间，线段最短可知：当点F在直线PG上时，PF+PG的长最小，从而PA+12PB的长最小，最小值为线段FG的长，

此时，在Rt△AFG中，AF=AD+DF=8，
FG=AF⋅sin∠BAD=8× 32=4 3，
即PA+12PB的最小值为4 3． 
【解析】(1)连接OD、AD，由“直径所对的圆周角是直角”得∠ADB=90°，即有AD⊥BC，由已知、根据“等腰三角形三线合一”得BD=CD，从而得出：OD是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得OD//AC，由已知、“一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条得DE⊥OD，根据切线的判定定理得证；
(2)①由题意证明△DEC∽△ADC，求出CD，从而得出结论；
②在Rt△ABD中，由边角关系可以求出∠ABC=30°，从而得出：AD=12AB=4，∠BAD=60°，过点P作PG⊥AB于点G，则由“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”得PG=12PB，延长AD到点F，使FD=AD=4，则由线段垂直平分线的性质可知：BO上任意一点P到点A与点F的距离都相等，即总有PF=PA，由“两点之间，线段最短”可知：当点F在直线PG上时，PF+PG的长最小，从而PA+12PB的长最小，最小值为线段FG的长，此时，在Rt△AFG中，由边角关系即可求出最小值．
本题考查与圆的性质概念，与圆有关的位置关系，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质并正确作出辅助线是解题关键．

23.【答案】解：(1)对于y=−x2+2x+3，当x=0时，y=3，
令y=−x2+2x+3=0，则x=−1或3，
即点A、B、C的坐标分别为：(−1,0)、(3,0)、(0,3)，
则△ABC的面积=12×AB×OC=12×4×3=6；

(2)存在，理由：
由点A、C、B的坐标得，AC= 10，AB=4，BC=3 2，
如图1，当MBC与△ABC相似时，则△BCA∽△CMB，

则BCCM=ABBC，即3 2CM=43 2，
则CM=92，
则OM=92−3=32，
则点M(0,−32)；

(3)点P与点B不重合，则∠APC不为45°，
当∠PAC为45°时，如图2，

设AP交y轴于点H，过点H作HN⊥AC于点N，
由点A、C的坐标知，tan∠ACO=AOCO=13，AC= 10，
故设HN=NA=t，则CN=3t，则AH= 2t，
则AC=4t= 10，则t= 104，
则AH= 2t= 52，而OA=1，
则OH= AH2−OA2=12，
则点H(0,12)，
由点A、H的坐标得，直线AH的表达式为：y=12x+12，
联立上式和抛物线的表达式得：12x+12=−x2+2x+3，
解得：x=−1(舍去)或52，
则点P的坐标为：(52,74)；
当∠ACP=45°时，如图3，
即∠ACP=∠ACO+∠OCP=45°=∠OCP+∠BCP，
即∠BCP=∠ACO，
则tan∠BCP=tan∠ACO=13，
设直线CP交x轴于点T，过点T作TK⊥BC于点K，
在△BTC中，∠CBT=45°，tan∠BCP=13，CB=3 2，
故设KT=KB=t，则CK=3t，BT= 2t，
则BC=3t+t=3 2，则t=3 24，
则BT= 2t=32，
则点T(32,0)，
由点C、T的坐标得，直线CT的表达式为：y=−2x+3，
联立上式和抛物线的表达式得：−2x+3=−x2+2x+3，
解得：x=0(舍去)或4，
则点P的坐标为：(4,−5)；
综上，点P的坐标为：(52,74)或(4,−5)． 
【解析】(1)由△ABC的面积=12×AB×OC，即可求解；
(2)当MBC与△ABC相似时，则△BCA∽△CMB，得到BCCM=ABBC，即3 2CM=43 2，进而求解；
(3)当∠PAC为45°时，利用解直角三角形的方法求出OH，进而求解；当∠ACP=45°时，同理可解．
此题是二次函数的综合题，是中考的压轴题，难度较大，计算量也大，主要考查了待定系数法求解析式，还考查了解直角三角形和三角形相似等，分类求解是解决问题的关键．