2020年广东省惠州市惠城区中考一模数学试卷

这是一份2020年广东省惠州市惠城区中考一模数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 12 的相反数是
A. −12B. 12C. −2D. 2

2. 据报道，2019 年广东省的 GDP 接近 10.8 万亿，将 10.8 万亿用科学计数法表示为
A. 10.8×1012B. 10.8×1013C. 1.08×1012D. 1.08×1013

3. 实数 a，b，c，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是

A. aB. bC. cD. d

4. 下列计算正确的是
A. a3⋅a2=a6B. a32=a5C. ab3=a3b3D. a6÷a2=a3

5. 一元二次方程 x2−5x+6=0 的根的情况是
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法判断

6. 下列所示的几何体中，主视图、左视图和俯视图都是正方形的几何体是
A. 圆柱B. 圆锥C. 正方体D. 长方体

7. 下列交通标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

8. 如图，若 AB∥CD，∠2=134∘，则 ∠1 等于
A. 36∘B. 46∘C. 50∘D. 55∘

9. 若 △ABC∽△DEF，相似比为 2:1，则 △ABC 与 △DEF 的周长比为
A. 2:1B. 4:1C. 1:2D. 1:4

10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点 A 的坐标为 55,0，顶点 D 的坐标为 0,255，延长 CB 交 x 轴于点 A，作正方形 A1B1C1C，延长 C1B1 交 x 轴于点 A2，作正方形 A2B2C2C1，⋯，按这样的规律进行下去，第 2021 个正方形的周长为
A. 322020B. 322021C. 4×322020D. 4×322021

二、填空题（共7小题；共35分）
11. 分解因式：ab2−a= ．

12. 一个袋子里有 2 个红色球，3 个黄色球，4 个绿色球，这些球除了颜色不同外其他都相同，从袋子里随机摸出一个球是红色或绿色的概率是 ．

13. 计算：−12−2+1−2−3tan30∘= ．

14. 不等式 x−2<0,3−2x≥1 的解集为 ．

15. 在平面直角坐标系中，把点 A1,1 先向右平移 3 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，得到点，则点 B 的坐标为 ．

16. 如图，四边形 ABCD 和 AEFG 都是正方形，点 E，G 分别在 AB，AD 上，点 F 在扇形 ADB 的 DB 上，已知正方形 ABCD 的边长为 1，则图中阴影部分的面积为 ．

17. 如图，∠MON=90∘，动线段 AB 的端点 A，B 分别在射线 OM，ON 上，点 C 线段 AB 的中点，点 B 由点 O 开始沿 ON 方向运动，此时点 A 向点 O 运动，当点 A 到达 O 时，运动停止，若 AB=20 cm，则中点 C 所经过的路径长是 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
18. 先化简，再求值：2x+1−2x−3x2−1÷1x+1，其中 x=2+1．

19. 如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，∠A 是锐角，AC 是对角线．
（1）作 ∠AEB=∠B，且点 E 在 BC 上，并连接 DE（要求尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，求证：AC=DE．

20. 某校开展诵读“诗经、唐诗、宋词、四大名著”的活动，为了解学生对着四项诵读内容的喜爱程度，在全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查（在这四项诵读内容中，被调查的学生必须满足且只能选择一项）将收集的数据进行整理，并绘制了两幅不完整的统计图（如图）请跟进图中提供的信息，回答以下问题：
（1）本次调查中，随机抽取的学生有 人，其中喜爱诵读宋词的有 人．
（2）补全条形统计图；
（3）若该校有 2000 名学生，估计全校学生中约有多少人喜爱诵读宋词?

21. 如图将矩形纸片 ABCD 沿 AE 翻折，使点 B 落在线段 DC 上，对应的点为 F．
（1）求证：∠EFC=∠DAF；
（2）若 AE=55，tan∠EFC=34，求 AB 的长．

22. 某社区计划对面积为 3600 m2 的地区进行绿化，经投标，由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队 4 天能完成绿化面积等于乙队 8 天能完成绿化的面积，甲队 3 天能完成绿化面积比乙队 5 天能绿化的面积多 50 m2．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积；
（2）若甲队每天绿化费用为 1.2 万元，乙队每天绿化费用是 0.5 万元，要使这次绿化总费用不超过 40 万元，至少应安排乙工程队绿化多少天?

23. 如图，直线 y=k1x+b 与双曲线 y=k2x 交于 C4,m，D 两点，与 x，y 轴分别交于 A3,0，B 两点，且 OA=33OB．
（1）求一次函数和反比例函数解析式；
（2）若点 E 与点 B 关于 x 轴对称，连接 DE，EC，求 △CDE 的面积．

24. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，以 AC 为直径的 ⊙O 与 AB 相交于点 E，连接 CE．
（1）求证：△ABC∽△ACE；
（2）如果 ∠BAC=45∘，△ACE 的面积为 3，求 △ABC 的面积．
（3）如 ∠ABC 图的角平分线 BD 交 AC 于点 D，CF⊥BD 于点 G 交 ⊙O 于点 F，连接 OF，求证：OF∥CE．

25. 如图，抛物线 y=ax2+2x+c 与 x 轴交于 A，B 两点，于 y 轴交于 C 点，连接 BC，已知 A1,0，B−3,0．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 P 是线段 BC 上一动点，过点 P 作 PD⊥x 轴，交抛物线于点 D，求 PD 的长的最大值；
（3）若点 E 是 y 轴上一点，以 E，B，C 为顶点的三角形是腰三角形，求点 E 的坐标．
答案
第一部分
1. A
2. D
3. A
4. C
5. B
6. C
7. D
8. B
9. A
10. C
第二部分
11. ab+1b−1
12. 23
13. 2+2
14. x≤1
15. 4,−2
16. 32−π4
17. 5π cm
第三部分
18. 原式=2x−1−2x−3x+1x−1⋅x+11=2x−2−2x+3x−1=1x−1.
当 x=2+1 时，原式=12+1−1=22．
19. （1） 如图所示，∠AEB 即为所求．
（2） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠ADC，AD∥BC .
∴∠DAE=∠AEB．
由（1）知 ∠AEB=∠B，
∴AE=AB，∠B=∠AEB=∠DAE=∠ADC．
∴AE=CD，∠DAE=∠ADC .
又 AD=DA，
∴△ADC≌△DAESAS .
∴AC=DE．
20. （1） 200；20
（2） 补全条形统计图，如图所示：
（3） 20200×2000=200（人）．
答：全校学生中约有 200 人喜欢诵读“宋词”．
21. （1） ∵△AFE 是 △ABE 沿 AE 翻折而成，
∴∠AFE=∠B=90∘．
∴∠AFD+∠EFC=90∘．
∵∠AFD+∠DAF=90∘，
∴∠EFC=∠DAF．
（2） 在 Rt△EFC 中，∠C=90∘，tan∠EFC=34，
∴tan∠EFC=ECFC=34．
设 EC=3k，FC=4k，其中 k>0，
根据勾股定理，得 EF=EC2+FC2=9k2+16k2=5k．
∴AD=BC=BE+EC=EF+EC=5k+3k=8k．
由（1），得 ∠EFC=∠DAF．
∴tan∠DAF=DFAD=tan∠EFC=34．
∴DF=34AD=34×8k=6k．
∴DC=DF+FC=6k+4k=10k．
∴AB=DC=10k．
在 Rt△AEB 中，AB2+BE2=AE2，
∴10k2+5k2=552．
∴k=1．
∴AB=10k=10×1=10．
22. （1） 设乙工程队每天能完成绿化的面积为 x m2，则甲工程队每天能完成绿化的面积为 2x m2．
根据题意，得
3×2x−5x=50.
解得
x=50.
所以 2x=100．
答：甲工程队每天能完成绿化的面积为 100 m2，乙工程队每天能完成绿化的面积为 50 m2．
（2） 设安排乙工程队绿化 m 天，则安排甲工程队绿化 3600−50m100 天．
根据题意，得
1.2×3600−50m100+0.5m≤40.
解得
m≥32.
答：至少应安排乙工程队绿化 32 天．
23. （1） ∵A3,0，
∴OA=3，
∵OA=33OB，
∴OB=33，
∴B0,−33，
把 A3,0，B0,−33 分别代入 y=k1x+b，得 3k1+b=0,b=−33.
解得 k1=3,b=−33.
∴ 一次函数的解析式为 y=3x−33，
把 C4,m 代入 y=3x−33，得 m=3，
∴C4,3．
把 C4,3 代入 y=k2x，得 k2=43，
∴ 反比例函数的解析式为 y=43x．
（2） ∵ 点 E 与点 B 关于 x 轴对称，由（1）知 B0,−33，
∴E0,33，
∴BE=33−−33=63，
解方程组 y=3x−33,y=43x 得 x1=4,y1=3, x2=−1,y2=−43.
∵C4,3，
∴D−1,−43，
∵S△CDE=S△DBE+S△CBE，
∴S△CDE=12BE⋅xD+12BE⋅xC=12×63×1+12×63×4=153.
24. （1） ∵AC 为 ⊙O 的直径，
∴∠AEC=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACB=∠AEC，
又 ∵∠BAC=∠CAE，
∴△ABC∽△ACE．
（2） 解法一：
∵∠ACB=90∘，∠BAC=45∘，
∴∠B=45∘，
∴∠B=∠BAC，
∴AC=BC，
在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得 AB=2AC，
∴ABAC=2，
∵△ABC∽△ACE，
∴S△ABCS△ACE=ABAC2=22=2，
∵S△ACE=3，
∴S△ABC=6，即 △ABC 的面积等于 6．
【解析】解法二：
∵∠ACB=90∘，∠BAC=45∘，
∴∠B=45∘，
∴∠B=∠BAC，
∴AC=BC，
∵∠AEC=90∘，
∴CE⊥AB，
∴ 点 E 是 AB 的中点，
∴S△ABC=2S△ACE，
∵S△ACE=3，
∴S△ABC=6，即 △ABC 的面积等于 6．
（3） 设 BD 与 CE 交于点 M（如答图）．
∵BD 平分 ∠ABC，
∴∠CBD=∠DBA，
∵∠ACB=∠AEC=90∘，
∴∠CBD+∠CDB=90∘，∠DBA+∠BME=90∘，
∴∠CDB=∠BME，
∵∠CMG=∠BME，
∴∠CDB=∠CMG，
∴CM=CD，
∵CG⊥BD，
∴CG 平分 ∠MCD，
∴∠ECF=∠FCA，
∵OC=OF，
∴∠OFC=∠FCA，
∴∠ECF=∠OFC，
∴OF∥CE．
25. （1） 把 A1,0，B−3,0 分别代入 y=ax2+2x+c，
得 a+2+c=0,9a−6+c=0, 解得 a=1,c=−3.
∴ 抛物线的解析式为 y=x2+2x−3．
（2） 由（1）知，抛物线的解析式为 y=x2+2x−3．
当 x=0 时，y=−3．
∴C0,−3．
设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，
把 B−3,0，C0,−3 分别代入 y=kx+b，
得 −3k+b=0,b=−3, 解得 k=−1,b=−3,
∴ 直线 BC 的解析式为 y=−x−3．
∵ 点 P 在线段 BC 上，点 D 在抛物线上，PD⊥x 轴，
∴ 设 Pm,−m−3，则 Dm,m2+2m−3，
∴PD=−m−3−m2+2m−3=−m+322+94．
∴ 当 m=−32，即 P−32,−32 时，PD 的长的值最大，
PD 的长的最大值为 94．
（3） 在 Rt△BCO 中，OB=OC=3，
根据勾股定理，得 BC=OB2+OC2=32．
①若 EB=EC，则点 E 是 BC 的垂直平分线与 y 轴的交点，
点 E 与原点 O 重合，
∴E10,0；
②若 BE=BC，则 OE=OC=3，点 E 与点 C 关于原点对称，
∴E20,3；
③若 CE=CB=32，则 OE+OC=32 或 OE−OC=32．
设点 E0,n，则 CE=−3−n=32．
∴n=−3±32．
∴E30,−3+32，E40,−3−32．
综上所述，以 E，B，C 为顶点的三角形是等腰三角形时，点 E 的坐标为 0,0 或 0,3 或 0,−3+32 或 0,−3−32．