2024年山东省济南市天桥区中考数学三模试卷（含解析）

这是一份2024年山东省济南市天桥区中考数学三模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列几何体放置在水平面上，其中俯视图是圆的几何体为( )
A. B. C. D.
2.据统计，2022年我市城乡居民人均生活消费支出为41500元，将41500用科学记数法表示为( )
A. 4.15×104B. 0.415×104C. 0.415×105D. 4.15×105
3.如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若∠2=35°，则∠1的度数为( )
A. 45° B. 55°C. 65°D. 75°
4.已知有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是( )
A. a>bB. ab<−1C. |a|>|b|D. −a>−b
5.如图四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
6.下列计算正确的是( )
A. a+2a2=3a2B. a10÷a2=a5C. a4⋅a2=a8D. (a3)2=a6
7.若点A(−1,y1)，B(2,y2)，C(3,y3)在反比例函数y=−6x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y1>y2>y3 B. y2>y3>y1 C. y1>y3>y2 D. y3>y2>y1
8.小明计划到周口市体验民俗文化，想从“沈丘回族文狮舞”、“传统戏剧越调”、“八音楼子”、“泥塑”四种民俗文化中任意选择两项，则小明选择体验“八音楼子”、“泥塑”的概率为( )
A. 13B. 14C. 34D. 16
9.如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF=8，AB=5，则AE的长为( )
A. 5
B. 6
C. 8
D. 12
10.对于一个各个数位上的数字均不相等且均不为零的三位自然数m，若m的十位数字分别小于m的百位数字与个位数字，则称m为“义渡数”，例如最小的“义渡数”是213.当三位自然数为义渡数”时，重新排列m各个数位上的数字可得到一个最大数m1和一个最小数m2，规定F(m)=m1−m299，例如：m=524，因为2<5，2<4，所以524是“义渡数”，且F(524)=542−24599；若三位自然数n=100x+10y+z是“义渡数”(其中1≤x≤9，1≤y≤9，1≤z≤9，x、y、z均为整数)，且n的个位数字小于百位数字，F(n)+2x=20，求满足条件的所有三位自然数n的最大值是( )
A. 977B. 978C. 979D. 867
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.分解因式：m2−n2=______．
12.关于x的一元二次方程x2−4x+2m=0的一个根x1=4，则m= ______．
13.当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动.如图，在边长为5cm的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.35左右，据此可以估计黑色部分的总面积为______cm2⋅
14.如图，图1是等边三角形铁丝框ABC，按图2方式变形成以A为圆心，AB长为半径的扇形(图形周长保持不变)，若所得扇形ABC的面积是2，则△ABC的面积为______．
15.如图，已知A地在B地正南方3千米处，甲乙两人同时分别从A，B两地向正北方向匀速直行，他们与A地的距离s(千米)与所行的时间t(小时)之间的函数关系图象用如图所示的AC和BD表示，当他们行走3小时后，他们之间的距离为______千米．
16.如图，正方形ABCD的边长是18，点E是AB边上的一个动点，点F是CD边上一点，CF=8，连接EF，把正方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在点A′，D′处，当点D′落在直线BC上时，线段AE的长为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.计算：(π−1)0+4sin45°− 8+|−3|．
四、解答题：本题共9小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
解不等式组：2+x≥7−4xx<4+x2并写出所有整数解．
19.(本小题6分)
如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F.求证：AE=CF．
20.(本小题8分)
如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE=BC=AB，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF=40cm，CE：CD=1：4，∠DCF=45°，∠CDF=37°．
请根据以上信息，解决下列问题：
(1)求滑竿DE的长度；
(2)求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离(结果精确到0.1).参考数据：sin37°≈35，cs37°≈45，tan37°≈34， 2≈1.414．
21.(本小题8分)
某中学在“世界读书日”知识竞赛活动，800名七年级学生全部参赛，从中随机抽取n名学生的竞赛成绩按以下五组进行整理(得分用x表示)：
A：50≤x<60；B：60≤x<70；C：70≤x<80；D：80≤x<90；E：90≤x≤100．
并绘制了七年级竞赛成绩频数分布直方图，部分信息如下：
已知C组的全部数据如下：71，73，70，75，76，78，76，77，76，77，79．
请根据以上信息，完成下列问题．
(1)n= ______，抽取的n名学生竞赛成绩的中位数是______；
(2)若将抽取的n名学生成绩绘制成扇形统计图，则D组所在扇形的圆心角为______°；
(3)学校将对80分以上(含80分)的学生授予“小书虫”称号，请根据以上统计信息估计该校七年级被授予“小书虫”称号的学生数．
22.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，点C为圆周上一点，OC的延长线交⊙O的切线BD于点D，AC的延长线交⊙O的切线BD于点E．
(1)若∠A=35°，求∠DBC的度数；
(2)若AB=8，sinD=23，求DE的长．
23.(本小题10分)
北京时间2023年12月18日23时59分，位于甘肃东南部的积石山发生6.2级地震，造成重大人员伤亡和财产损失，“一方有难，八方支援”，我县某中学决定捐款采购一批棉衣和棉被等物资支援灾区，已知棉衣的单价比棉被的单价贵50元，且用1000元购买棉衣的数量与用800元购买棉被的数量相同．
(1)求棉衣的单价；
(2)该中学准备购买棉衣、棉被共100件，且购买总费用不超过22000元，求最多可以购买多少件棉衣．
24.(本小题10分)
如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=k1x交于A(1,4)、B(4,m)两点，延长AO交反比例函图象于点C，连接OB．
(1)求一次函数与反比例函数表达式．
(2)求△AOB的面积．
(3)在x轴上是否存在点P，使得△PAC是直角三角形？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
25.(本小题12分)
(1)如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD=60°，请直接写出HD：GC：EB的结果(不必写计算过程)
(2)将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD：GC：EB；
(3)把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且AD：AB=AH：AE=1：2，此时HD：GC：EB的结果与(2)小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果(不必写计算过程)；若无变化，请说明理由．
26.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2−3ax+c与x轴分别交于A(−1,0)，B两点，与y轴交于点C(0,−2)．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，求DEAE的最大值；
(3)如图2，连接AC，BC，过点O作直线l/​/BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB.若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、俯视图是一个圆，故本选项符合题意；
B、俯视图是一个矩形，故本选项不符合题意；
C、俯视图是一个三角形，故本选项不符合题意；
D、俯视图是一个矩形，故本选项不符合题意．
故选：A．
俯视图是从上往下看得到的视图，分别判断出各选项的俯视图即可得出答案．
本题考查了俯视图的知识，注意俯视图是从上往下看得到的视图．
2.【答案】A
【解析】解：41500=4.15×104．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】B
【解析】解：如图，作EF/​/AB，
∵AB/​/CD，
∴AB//EF//CD，
∴∠2=∠AEF=35°，∠1=∠FEC，
∵∠AEC=90°，
∴∠1=90°−35°=55°，
故选B．
根据平行线的性质和直角的定义解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得出∠2=∠AEF=35°，∠1=∠FEC．
4.【答案】D
【解析】解：由数轴可得：a<0∵a与原点距离小于b与原点距离，
∴|a|<|b|，故C错误，
∵−b∴−a>−b，
故选：D．
由数轴可得：a<0−1；根据数轴和相反数的概念得知：−b本题以数轴为背景，考查了绝对值的几何意义从而比较出大小，难度较小，解决问题的关键是求出a，−a，b，−b的大小．
5.【答案】A
【解析】解：A、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、原式=a+3a2，不符合题意；
B、原式=a8，不符合题意；
C、原式=a6，不符合题意；
D、原式=a6，符合题意；
故选：D．
A、不能合并同类项；
B、用同底数幂的除法法则计算；
C、用同底数幂的乘法法则计算；
D、用幂的乘方法则计算．
本题考查了同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方，掌握这几个知识点的综合应用是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵点A(−1,y1)、B(2,y2)、C(3,y3)在反比例函数y=−6x的图象上，
∴y1=−6−1=6，y2=−62=−3，y3=−63=−2，
又∵−3<−2<6，
∴y1>y3>y2．
故选：C．
根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：把“沈丘回族文狮舞”、“传统戏剧越调”、“八音楼子”、“泥塑”四种民俗文化分别记为A、B、C、D，
画树状图人：
共有12种等可能的结果，其中小明选择体验“八音楼子”、“泥塑”的结果有2种，
∴小明选择体验“八音楼子”、“泥塑”的概率为212=16，
故选：D．
画树状图，共有12种等可能的结果，其中小明选择体验“八音楼子”、“泥塑”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9.【答案】B
【解析】解：如图，
∵∠BAD的平分线AG交BC于点E
∴∠FAE=∠BAE
由作图可知：
AF=AB
AO=AO
∴△FAO≌△BAO(SAS)
∴∠AOF=∠AOB=90°
FO=BO=4
AB=5
∴AO=3
在平行四边形ABCD中
AD//BC
∴∠DAG=∠AEB
∠FAE=∠BAE
∴∠AEB=∠BAE
∴AB=BE
∴AO=EO=3
∴AE=6．
故选：B．
根据作图过程证明△FAO≌△BAO，可得∠AOF=∠AOB=90°，FO=BO=4，根据勾股定理得AO=3，再根据平行四边形的性质得AD//BC，从而∠DAG=∠AEB，再根据等腰三角形的性质即可求得AO=EO=3，进而得AE的长．
本题考查了作图−基本作图、角平分线的性质、平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质．
10.【答案】B
【解析】解：A.977不满足义渡数的定义，故选项A错误；
B.因为F(978)=987−78999=2，F(978)+2×9=20，满足条件，故选项B正确；
C.979不满足义渡数的定义，故选项C错误；
D.因为F(867)=876−67899=2，F(867)+2×8=18，不满足条件，故选项D错误；
故选：B．
根据义渡数的定义，排除选项A、C；然后先验证选项B是否满足条件，若不满足再验证选项D即可．
本题考查了因式分解的应用，关键在于理解义渡数的定义．
11.【答案】(m+n)(m−n)
【解析】解：m2−n2=(m+n)(m−n)，
故答案为：(m+n)(m−n)．
直接利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了平方差公式分解因式，熟记公式a2−b2=(a+b)(a−b)是解题关键．
12.【答案】0
【解析】解：由题意得：
把x1=4代入方程42−4×4+2m=0得：
m=0，
故答案为：0．
把x1=4代入方程x2−4x+2m=0中得：42−4×4+2m=0，然后进行计算即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．
13.【答案】8.75
【解析】解：可以估计黑色部分的总面积为5×5×0.35=8.75(cm2)，
故答案为：8.75．
用正方形的面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
14.【答案】 3
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，BC=AB，即BC=AB，
∵扇形ABC的面积是2，
∴AB=2，
过A作AD⊥BC，交BC于点D，
，
∴AD=AB⋅sin∠B= 3，
∴S△ABC=12×BC×AD= 3，
故答案为： 3．
直接根据扇形的面积公式S扇形=12lR，求得等边三角形ABC的边长，可得△ABC的面积．
本题考查了扇形面积的计算．掌握扇形的面积公式是解题的关键．
15.【答案】32
【解析】解：由题，图可知甲走的是C路线，乙走的是D路线，
设s=kt+b①，
因为C过(0,0)，(2,4)点，
所以代入①得：k=2，b=0，
所以sC=2t．
因为D过(2,4)，(0,3)点，
代入①中得：k=12，b=3，
所以sD=12t+3，
当t=3时，sC−sD=6−92=32．
故答案为：32
根据图分别求出甲乙两人行走时的路程与时间的关系一次函数，设s=kt+b，甲走的是C路线，乙走的是D路线，C、D线均过(2,4)点，且分别过(0,0)，(0,3)，很容易求得，要求他们三小时后的距离即是求当t=3时，sC与sD的差．
本题考查的是一元函数在实际生活中的应用，数形结合，求其解析式，可根据题意解出符合题意的解，中档题很常见的题型．
16.【答案】4或16
【解析】解：分两种情况：
①当D′落在线段BC上时，连接ED、ED′、DD′，如图1所示：
由折叠可得，D，D′关于EF对称，即EF垂直平分DD′，
∴DE=D′E，
∵正方形ABCD的边长是18，
∴AB=BC=CD=AD=18，
∵CF=8，
∴DF=D′F=CD−CF=10，
∴CD′= D′F2−CF2=6，
∴BD′=BC−CD′=12，
设AE=x，则BE=18−x，
在Rt△AED和Rt△BED′中，由勾股定理得：DE2=AD2+AE2=182+x2，D′E2=BE2+BD′2=(18−x)2+122，
∴182+x2=(18−x)2+122，
解得：x=4，
即AE=4；
②当D′落在线段BC延长线上时，连接ED、ED′、DD′，如图2所示：
由折叠可得，D，D′关于EF对称，即EF垂直平分DD′，
∴DE=D′E，
∵正方形ABCD的边长是18，
∴AB=BC=CD=AD=18，
∵CF=8，
∴DF=D′F=CD−CF=10，CD′= D′F2−CF2=6，
∴BD′=BC+CD′=24，
设AE=x，则BE=18−x，
在Rt△AED和Rt△BED′中，由勾股定理得：DE2=AD2+AE2=182+x2，D′E2=BE2+BD′2=(18−x)2+242，
∴182+x2=(18−x)2+242，
解得：x=16，
即AE=16；
综上所述，线段AE的长为4或16；
故答案为：4或16．
分两种情况：①D′落在线段BC上，②D′落在线段BC延长线上，分别连接ED、ED′、DD′，利用折叠的性质以及勾股定理，即可得到线段AE的长．
本题考查了正方形的性质、折叠变换的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键，注意分类讨论．
17.【答案】解：原式=1+4× 22−2 2+3
=1+2 2−2 2+3
=4．
【解析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：由2+x≥7−4x得：x≥1，
由x<4+x2得：x<4，
则不等式组的解集为1≤x<4，
所以不等式组的整数解为1、2、3．
【解析】分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】证明：四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠EDO=∠FBO，
∵点O为BD的中点，
∴OB=OD，
在△EDO和△FBO中，
∠EDO=∠FDOOD=OB∠EOD=∠FOB，
∴△EDO≌△FBO(ASA)，
∴DE=BF，
∴AD−DE=BC−BF，
∴AE=CF．
【解析】根据矩形的性质和全等三角形的判定与性质，可以求得DE=BF，然后根据AD=BC，即可得到AE=CF．
本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
20.【答案】解：(1)过点F作FG⊥CD，垂足为G，

在Rt△DFG中，∠CDF=37°.DF=40cm，
∴FG=DF⋅sin37°≈40×35=24(cm)，
DG=DF⋅cs37°≈40×45=32(cm)，
在Rt△CFG中，∠DCF=45°，
∴CG=FGtan45∘=24(cm)，
∴DC=CG+DG=24+32=56(cm)，
∵CE：CD=1：4，
∴CE=14CD=14(cm)，
∴DE=CE+CD=70(cm)，
∴滑竿DE的长度约为70cm；
(2)过点A作AH⊥CD，交CD的延长线于点H，

∵DE=BC=AB=70cm，
∴AC=AB+BC=140(cm)，
在Rt△ACH中，∠ACH=45°，
∴AH=AC⋅sin45°=140× 22=70 2≈99.0(cm)，
∴拉杆端点A到水平滑杆ED的距离约为99.0cm．
【解析】(1)过点F作FG⊥CD，垂足为G，在Rt△DFG中，利用锐角三角函数的定义求出FG，DG的长，再在Rt△CFG中，利用锐角三角函数的定义求出CG的长，从而求出CD的长，然后根据已知CE：CD=1：4，求出CE的长，最后利用线段的和差关系求出DE的长，即可解答；
(2)过点A作AH⊥CD，交CD的延长线于点H，利用(1)的结论和已知可得AC=140cm，然后在Rt△ACH中，利用锐角三角函数的定义求出CH的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】50 77.5 108
【解析】解：(1)n=6+10+11+15+8=50，
将这50名学生的成绩从小到大排列，处在第25、26位的两个数的平均数为77+782=77.5(分)，因此中位数是77.5，
故答案为：50；77.5；
(2)360°×1550=108°，
故答案为：108；
(3)800×15+850=368(名)，
答：该校七年级300名被授予“小书虫”称号的学生数大约为368名．
(1)根据“各组频数之和等于样本容量”即可求出n的值，根据中位数的定义进行计算即可；
(2)求出D组人数占抽查人数的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；
(3)求出样本中获得“小书虫”称号的学生人数占抽查人数的百分比，进而求出总体中获得“小书虫”的学生人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，掌握频率=频数总数以及中位数的定义和计算方法是正确解答的前提．
22.【答案】解：(1)∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=35°，
∴∠ABC=90°−35°=55°，
∵BD与⊙O相切于点B，
∴BD⊥AB，
∴∠ABD=90°，
∴∠DBC=90°−∠ABC=35°；
(2)∵AB=8，
∴OC=OB=12AB=4，
∵OBOD=sinD=23，
∴OD=32OB=32×4=6，
∴DC=OD−OC=6−4=2，
∴DB= OD2−OB2= 62−42=2 5，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵∠ACO=∠DCE，
∴∠DCE=∠A=∠DBC，
∵∠D=∠D，
∴△DCE∽△DBC，
∴DCDB=DEDC，
∴DE=DC2DB=42 5=2 55．
【解析】(1)根据圆周角定理和切线的性质证明即可；
(2)先根据已知条件得OD=32OB=6，然后证明△DCE∽△DBC，对应边成比例即可解决问题．
本题考查切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，解直角三角形，解决本题的关键是得到△DCE∽△DBC．
23.【答案】解：(1)设棉衣的单价是x元，则棉被的单价是(x−50)元，
根据题意得：1000x=800x−50，
解得：x=250，
经检验，x=250是所列方程的解，且符合题意．
答：棉衣的单价是250元；
(2)设该中学购买m件棉衣，则购买(100−m)件棉被，
根据题意得：250m+(250−50)(100−m)≤22000，
解得：m≤40，
∴m的最大值为40．
答：最多可以购买40件棉衣．
【解析】(1)设棉衣的单价是x元，则棉被的单价是(x−50)元，利用数量=总价÷单价，结合用1000元购买棉衣的数量与用800元购买棉被的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
(2)设该中学购买m件棉衣，则购买(100−m)件棉被，利用总价=单价×数量，结合总价不超过22000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】解：(1)将A(1,4)代入y=k1x的得k1=4，
∴反比例函数的解析式为y=4x，
将B(4,m)代入y=得m=1，
∴B(4,1)，
将A(1,4)，B(4,1)代入y=kx+b得k+b=44k+b=1，
解得k=−1b=5，
∴一次函数的解析式为y=−x+5；
(2)过A作AM⊥x轴于M点，过B作BN⊥x轴于N点
∴AM=4，BN=1，MN=4−1=3，S△AOM=S△BON=4，
∵△AOB的面积=四边形AONB的面积−△BON的面积，梯形ABNM的面积=四边形AONB的面积−△AOM的面积=(1+4)×32=152，
∴△AOB的面积=梯形ABNM的面积=152；
(3)解：∵延长AO交反比例函图象于点C，
∴点A与点C关于原点对称，
∴C(−1,−4)，
设P(m,0)，
∴AC2=(1+1)2+(4+4)2=68，AP2=(1−m)2+42，PC2=(−1−m)2+(−4)2，
①当∠APC=90°时，AC2=AP2+PB2，
∴68=(1−m)2+42+(−1−m)2+(−4)2，
解得m=± 17，
∴P(− 17,0)或( 17,0)；
②当∠PAC=90°时，PC2=AP2+AC2，
∴(−1−m)2+(−4)2=(1−m)2+42+68，
解得m=17，
∴P(17,0)；
③当∠PCA=90°时，AP2=PC2+AC2，
∴(1−m)2+42=(−1−m)2+(−4)2+68，
解得m=−17，
∴P(−17,0)，
综上所述，P(− 17,0)或( 17,0)或(17,0)或(−17,0)．
【解析】(1)将A(1,4)代入y=k1x的得k1=4，于是得到反比例函数的解析式为y=4x，将A(1,4)，B(4,1)代入y=kx+b解方程组即可得到结论；
(2)过A作AM⊥x轴于M点，过B作BN⊥x轴于N点，得到S△AOM=S△BON=4，于是得到结论；
(3)根据点A与点C关于原点对称，得到C(−1,−4)，设P(m,0)，①当∠APC=90°时，②当∠PAC=90°时，③当∠PCA=90°时，根据勾股定理即可得到结论．
本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积的计算，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
25.【答案】(1)HD：GC：EB=1： 3：1．
(2)如图2，连接AG，AC，
∵△ADC和△AHG都是等腰三角形，
∴AD：AC=AH：AG=1： 3，∠DAC=∠HAG=30°，
∴∠DAH=∠CAG，
∴△DAH∽△CAG，
∴HD：GC=AD：AC=1： 3，
∵∠DAB=∠HAE=60°，
∴∠DAH=∠BAE，
在△DAH和△BAE中，
AD=AB∠DAH=∠BAEAH=AE
∴△DAH≌△BAE(SAS)
∴HD=EB，
∴HD：GC：EB=1： 3：1．
(3)有变化．HD：GC：EB=1： 5：2
【解析】(1)连接AG，
∵菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD=60°，
∴∠GAE=∠CAB=30°，AE=AH，AB=AD，
∴A，G，C共线，AB−AE=AD−AH，
∴HD=EB，
延长HG交BC于点M，延长EG交DC于点N，连接MN，交GC于点O，则GMCN也为菱形，
∴GC⊥MN，∠NGO=∠AGE=30°，
∴OGGN =cs30°= 32，
∵GC=2OG，
∴GNGC=1 3，
∵HGND为平行四边形，
∴HD=GN，
∴HD：GC：EB=1： 3：1．
(3)有变化．
如图3，连接AG，AC，
∵AD：AB=AH：AE=1：2，∠ADC=∠AHG=90°，
∴△ADC∽△AHG，
∴AD：AC=AH：AG=1： 5，
∵∠DAC=∠HAG，
∴∠DAH=∠CAG，
∴△DAH∽△CAG，
∴HD：GC=AD：AC=1： 5，
∵∠DAB=∠HAE=90°，
∴∠DAH=∠BAE，
∵DA：AB=HA：AE=1：2，
∴△ADH∽△ABE，
∴DH：BE=AD：AB=1：2，
∴HD：GC：EB=1： 5：2
(1)连接AG，由菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD=60°，易得A，G，C共线，延长HG交BC于点M，延长EG交DC于点N，连接MN，交GC于点O，则GMCN也为菱形，利用菱形对角线互相垂直，结合三角函数可得结论；
(2)连接AG，AC，由△ADC和△AHG都是等腰三角形，易证△DAH∽△CAG与△DAH≌△BAE，利用相似三角形的性质及菱形的性质可得结论；
(3)连接AG，AC，易证△ADC∽△AHG和△ADH∽△ABE，利用相似三角形的性质可得结论．
本题是菱形与相似三角形，全等三角形，三角函数等知识点的综合运用，难度较大．
26.【答案】解：(1)把A(−1,0)，C(0,−2)代入y=ax2−3ax+c得：
0=a+3a+c−2=c，
解得：a=12c=−2，
∴抛物线的解析式为y=12x2−32x−2；
(2)过点D作DG⊥x轴于点G，交BC于点F，过点A作AK⊥x轴交BC的延长线于点K，

∴AK/​/DG，
∴△AKE∽△DFE，
∴DFAK=DEAE．
在y=12x2−32x−2中，令y=0，则0=12x2−32x−2，
解得：x1=−1，x2=4，
∴B(4,0)；
设直线BC的解析式为y=kx+b1，代入得：
∴4k+b1=0b1=−2，
解得k=12b1=−2，
∴直线BC的解析式为y=12x−2，
∵A(−1,0)，
∴y=−12−2=−52，
∴AK=52，
设D(m,12m2−32m−2)，则F(m,12m−2)，
∴DF=12m−2−12m2+32m+2=−12m2+2m．
∴DEAE=−12m2+2m52=−15(m−2)2+45．
∴当m=2时，DEAE有最大值，最大值是45；
(3)在第一象限存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB；符合条件的点P的坐标为(689,349)或(6+2 415,3+ 415).理由如下：
∵l/​/BC，
∴直线l的解析式为y=12x，
①当点P在直线BQ右侧时，如图2.1，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥直线PN于点M，
设P(a1,a12)，

∵A(−1,0)，C(0,−2)，B(4,0)，
∴AC= 5，AB=5，BC=2 5，
∵AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∵△PQB∽△CAB，
∴PQPB=ACBC=12，
∵∠QMP=∠BNP=90°，
∴∠MQP+∠MPQ=90°，∠MPQ+∠BPN=90°，
∴∠MQP=∠BPN，
∴△QPM∽△PBN，
∴QMPN=PMBN=PQPB=12，
∴QM=a14，PM=12(a1−4)=12a1−2，
∴MN=a1−2，ON−QM=a1−a14=34a1，
∴Q(34a1,a1−2)，
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得12×(34a1)2−32×34a1−2=a1−2，
解得a1=0(舍去)或a1=689．
∴P(689,349).
②当点P在直线BQ左侧时，如图2，

作PN⊥x轴于点N，QM⊥PN交NP的延长线于点M，N(m,0)，
∵△PQB∽△CAB，
∴∠BPQ=∠BCA=90°，QPAC=BPBC，
∴QPBP=ACBC= 52 5=12，
∵∠M=∠PNB=90°，
∴∠MPQ=90°−∠BPN=∠NBP，
∴△MPQ∽△NBP，
∴QMPN=PMBN=PQPB=12，
∴QM=12PN=12×12m=14m，PM=12BN=12(4−m)，
∴xQ=m+14m=54m，yQ=12m+12(4−m)=2，
∴Q(54m,2)，
把Q(54m,2)代入y=12x2−32x−2得：
2=12(54m)2−32×(54m)−2，
整理得：25m2−60m−128=0，
解得m1=6+2 415，m2=6−2 415(不合题意，舍去)，
∴此时点P的坐标为(6+2 415,3+ 415).
综上所述，符合条件的点P的坐标是(689,349)或(6+2 415,3+ 415).
【解析】(1)A(−1,0)，C(0,−2)代入y=ax2−3ax+c，解方程即可得到抛物线的解析式；
(2)过点D作DG⊥x轴于点G，交BC于点F，过点A作AK⊥x轴交BC的延长线于点K，证明△AKE∽△DFE，得出DFAK=DEAE，求出直线BC的解析式为y=12x−2，设D(m,12m2−32m−2)，则F(m,12m−2)，可得出DEAE的关系式，由二次函数的性质可得出结论；
(3)①设P(a1,a12)，当点P在直线BQ右侧时，如图2，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥直线PN于点M，得出Q(34a1,a1−2)，将点Q的坐标代入抛物线的解析式求得a的值即可，②当点P在直线BQ左侧时，由①的方法同理可得点Q的坐标为(54m,2)，代入抛物线的解析可得出答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，二次函数的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．