附8 相似三角形的常见模型学案

这是一份附8 相似三角形的常见模型学案，共36页。学案主要包含了知识点睛等内容，欢迎下载使用。
1.了解相似三角形的性质定理与判定定理；
2.能利用相似三角形的性质定理和判定定理解决简单问题.
1.相似三角形的判定；
2.能构成相似三角形的常见模型.
《模型分析》
相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到相似三角形的问题就信心更足了．本专题重点讲解相似三角形的六大基本模型．
在添加辅助线时，所添加辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系．
相似基本模型专题探究之一线三等角
【知识点睛】
常见基本类型：
同侧型（通常以等腰三角形或者等边三角形为背景）
异侧型
模型性质应用：
一般地：当动点E运动到底边的中点时，CF有最大值
模型构造：
图中已存在“一线三等角”，则直接应用模型结论解题.
图中存在“一线两等角”，补上“一等角”，构造模型解题.
图中某直线上只存在1个角，补上“两等角”，构造模型解题.
如果直线上只有1个角，要补成“一线三等角”时，该角通常是特殊角（30°、45°、60°）
特征：构造特殊角的等角时，一般是在“定线”上做含特殊角的直角三角形。
“一线三等角”得到的相似，通常用外边的两等角的两边对应成比例求解长度.
相似常见模型之平行相似
【知识点睛】
A字图及其变型“斜A型”
当DE∥BC时
△ADE∽△ABC
性质：
当∠ADE=∠ACB时
△ADE∽△ACB
性质：
变型
☆：斜A型在圆中的应用：
如图可得：△PAB∽△PCD
☆：“A字图”最值应用
A字图中作动态矩形求最大面积时，通常当MN为△ABC中位线，
矩形面积达到最大值！
当∠A=∠C时
△AJB∽△CJD
性质：
当AB∥CD时
△AOB∽△DOC
性质：
8字图及其变型“蝴蝶型”
变型
☆：“蝴蝶型”常见应用
常出现在“圆”中，直接由相交弦得到，求角度相关此时注意“同弧所对圆周角相等”的应用
出现在“手拉手模型”中，用于证明“两直线垂直”或者“两直线成一固定已知角度”
☆：A字图与8字图相似模型均是由“平行”直接得到的，∴有“∥”，多想此两种模型
常见“∥”的引入方式：
直接给出平行的已知条件
平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等几何图形中自带的平行
由很多中点构造的“中位线”的平行
根据线段成比例的条件或结论自己构造平行辅助线
知识点睛
一、相似的有关概念
1．相似形
具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换．
2．相似图形的特性
两个相似图形的对应边成比例，对应角相等．
3．相似比
两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．
二、相似三角形的概念
1．相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．
如图，与相似，记作，符号读作“相似于”．
2．相似比
相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．
三、相似三角形的性质
1．相似三角形的对应角相等
如图，与相似，则有．
2．相似三角形的对应边成比例
如图，与相似，则有（为相似比）．
3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．
如图1，与相似，是中边上的中线，是中边上的中线，则有（为相似比）．
图1
如图2，与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，则有（为相似比）．
图2
如图3，与相似，是中的角平分线，是中的角平分线，则有（为相似比）．
图3
4．相似三角形周长的比等于相似比．
如图4，与相似，则有（为相似比）．应用比例的等比性质有．
图4
5．相似三角形面积的比等于相似比的平方．
如图5，与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，则有（为相似比）．进而可得．
图5
四、相似三角形的判定
1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．
3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．
5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）
7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．
五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式
证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”．
1．横向定型法
欲证，横向观察，比例式中的分子的两条线段是和，三个字母恰为的顶点；分母的两条线段是和，三个字母恰为的三个顶点．因此只需证．
2．纵向定型法
欲证，纵向观察，比例式左边的比和中的三个字母恰为的顶点；右边的比两条线段是和中的三个字母恰为的三个顶点．因此只需证．
3．中间比法
由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．
比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。这类问题的典型模型是射影定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解．
倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值和的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之．
复合式的证明比较复杂．通常需要进行等线代换（对线段进行等量代换），等比代换，等积代换，将复合式转化为基本的比例式或等积式，然后进行证明．
六、相似证明中常见辅助线的作法
在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合等量代换得到要证明的结论．常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等．
如图：平分交于，求证：．
证法一：过作，交的延长线于．
∴，．
∵，∴．∴．
∵，∴．
点评：做平行线构造成比例线段，利用了“A”型图的基本模型．
证法二；过作的平行线，交的延长线于．
∴，∴．
∵，∴．
点评：做平行线构造成比例线段，利用了“X”型图的基本模型．
七、相似证明中的面积法
面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题．
常用的面积法基本模型如下：
如图：．
如图：．
如图：．
八、相似证明中的基本模型
“A”字型
1.图①字型DE//BC，结论：，
2.图②反字型∠ADE=∠B，结论：
3.图③双字型DE//BC，结论：，
4.图④内含正方形字形，结论（为正方形边长）
图① 图② 图③ 图④
例1. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC，＝，DE＝6，则BC的长为（ ）
A．8B．9C．10D．12
【分析】根据相似三角形的性质可得＝，再根据＝，DE＝6，即可得出＝，进而得到BC长．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
又∵＝，DE＝6，
∴＝，
∴BC＝10，
故选：C．
根据平行线和公共角对应角相等，导出三角形相似.
例2.如图，、是的边、上的点，且，
求证：.
【答案】∵
∴
∵
∴∽
∴
【解析】由边乘积导出对应边成比例.
反A字型需要注意对应边和对应角的识别.
例3. 如图，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．求证：DPBQ=PEQC .
【答案】证明：在△ABQ和△ADP中，
∵DP∥BQ，
∴△ADP∽△ABQ，
∴DPBQ = APAQ，
同理在△ACQ和△APE中，PEQC = APAQ，
∴DPBQ=PEQC .
【解析】可证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出DPBQ=PEQC.
以上两个题目为双A字模型，注意相同比例的等量代换.
例4. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，矩形DEFG的顶点位于△ABC的边上，设EF＝x，S四边形DEFG＝y．
（1）填空：自变量x的取值范围是 0＜x＜12 ；
（2）求出y与x的函数表达式；
（3）请描述y随x的变化而变化的情况．
【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）利用勾股定理和等腰三角形的三线合一求得BN、AN，再利用△ADG∽△ABC，得出比例线段，利用x表示出MN，进一步利用矩形的面积求的函数解析式；列表取值，描点画出图象；
（3）根据以上三种表示方式回答问题即可．
【解答】解：（1）0＜x＜12；
故答案为：0＜x＜12；
（2）如图，过点A作AN⊥BC于点N，交DG于点M，
∵AB＝AC＝10，BC＝12，AN⊥BC，
∴BN＝CN＝6，AN＝＝8，
∵DG∥BC，
∴∠ADG＝∠ABC，∠AGD＝∠ACB，
∴△ADG∽△ABC，
，即，
∴MN＝8﹣x．
∴y＝EF•MN＝x（8﹣x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣6）2+24；
（3）当0＜x＜6时，y随x的增大而增大；
当x＝6时，y的值达到最大值24，
当6＜x＜12时，y随x的增大而减小．
练习1. 如图，在一块三角形区域ABC中，∠C＝60°，AD是△ABC的高，BC＝10米，AD＝8米．现要在这个三角形区域内建造一个矩形水池EFHG，如图的方案是点G，H在BC边上，点E在AB边上，点F在AC边上．
（1）设 EG＝x，当x取何值时，水池EFHG的面积为15米2？
（2）该水池的面积能不能为25米2？
（3）实际施工时，发现在BC上距C点3米处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？在或不在，请说明理由．
【分析】（1）根据矩形的对边平行可得EF∥BC，然后求出△AEF和△ABC相似，再利用相似三角形对应高的比等于相似比列式表示出EF，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解；
（2）根据面积等于25列出方程，利用根的判别式判断即可；
（3）根据二次函数的最值问题求出面积最大时的x的值，再利用∠C的正切值求出CH的长度，然后与3米比较即可判断．
【解答】解：（1）∵四边形EFHG是矩形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得EF＝，
∴水池EFHG的面积＝x•＝，
当面积为15米2时，＝15，
整理得，x2﹣8x+12＝0，
解得x1＝2，x2＝6，
答：x＝2米或6米时，水池EFHG的面积为15米2；
（2）假设水池的面积能为25米2，
则＝25，
整理得，x2﹣8x+20＝0，
∵△＝b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×1×20＝64﹣80＝﹣16＜0，
∴方程没有实数解，
故水池的面积不能为25米2；
（3）∵水池EFHG的面积＝＝﹣（x2﹣8x）＝﹣（x﹣4）2+20，
∴当x＝4时，水池的面积最大，
∵∠C＝60°，
∴CH＝x÷tan60°＝4÷＝＜3，
∴大树能位于最大矩形水池的边GH上．
本题难度稍微大一点，综合性比较强，涉及到二次函数的内容，学生需要计算功底比较扎实.
“8”字型
1.图①“8”字型AB//CD，结论：，
2.图②“反8”字型∠A=∠C，结论：、四点共圆
3.图③“双8”字型AB//CD，结论：，
4.图④“、8”字型AB//CD//EF，结论：
5.图⑤，结论：、

图① 图② 图③ 图④
图⑤
例1. 如图，▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F．证明：△ABF∽△CEB．
【分析】根据平行四边形对角相等可得∠A＝∠C，对边平行可得AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等得到∠ABF＝∠E，然后利用两角对应相等，两三角形相似即可证明．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠E，
在△ABF和△CEB中，∠A＝∠C，∠ABF＝∠E，
∴△ABF∽△CEB．
练习1. 如图，△ABC中，AD、BE是两条中线，则S△EDC：S△ABC＝（ ）
A．1：2B．2：3C．1：3D．1：4
【分析】在△ABC中，AD、BE是两条中线，可得DE是△ABC的中位线，即可证得△EDC∽△ABC，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
【解答】解：∵△ABC中，AD、BE是两条中线，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DE＝AB，
∴△EDC∽△ABC，
∴S△EDC：S△ABC＝（）2＝．
故选：D．
此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
例2. 如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F．
（1）求证：AB＝AF；
（2）当AB＝3，BC＝5时，求的值．
【分析】（1）由在▱ABCD中，AD∥BC，利用平行线的性质，可求得∠2＝∠3，又由BF是∠ABC的平分线，易证得∠1＝∠3，利用等角对等边的知识，即可证得AB＝AF；
（2）易证得△AEF∽△CEB，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得的值．
【解答】解：（1）如图，在▱ABCD中，AD∥BC．
∴∠2＝∠3，
∵BF是∠ABC的平分线，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB＝AF；
（2）∵∠AEF＝∠CEB，∠2＝∠3，
∴△AEF∽△CEB，
∵AF＝AB＝3，
∴＝＝，
∴＝．
练习1.如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF于O点，假设正方形的边长1，CF＝x．
（1）试求四边形ADOE的面积；
（2）当F是BC的中点时，求四边形ADOE的面积的值．
【分析】（1）先得△CBE≌△DCF，则S△CBE＝S△DCF＝x，再由△COF∽△CBE求得S△COF，则S四边形ADOE＝1﹣S△CBE﹣S△DCF﹣S△COF．
（2）当F是BC的中点时，x＝，代入（1）中所求的表达式求得四边形ADOE的面积的值．
【解答】解：（1）易知△CBE≌△DCF，
得BE＝CF＝x，EC2＝1+x2，．
又△COF∽△CBE，
所以S△CBE：S△COF＝CE2：FC2＝（1+x2）：x2，
得．
所以．
（2）当F是BC的中点时，，
此时．
以上两个题目是A字型和8字型的综合题目，需要将两种模型的特点结合使用，题目分析思路相对比较复杂.
例3.如图，点E在矩形ABCD的边AD上，且∠EBC＝∠ECB．
（1）求证：AE＝ED；
（2）连接BD交CB于点F，求△BCF和△DEF的面积之比．
【分析】（1）根据HL证明Rt△ABE≌Rt△DCE即可．
（2）利用相似三角形的性质即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠A＝∠CDE＝90°，
∵∠EBC＝∠ECB，
∴EB＝EC，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），
∴AE＝ED．
（2）解：∵BC＝AD，AE＝ED，
∴BC＝2DE，
∵DE∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴＝（）2＝．
练习1.如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，对角线AC平分∠BAD，AC2＝AB•AD．
（1）求证：AC⊥CD；
（2）若点E是AD的中点，连接CE，∠AEC＝134°，求∠BCD的度数．
【分析】（1）只要证明△BAC∽△CAD，看到∠B＝∠ACD＝90°解决问题；
（2）首先证明∠D＝∠ECD＝67°，再利用相似三角形的性质推出∠ACB＝∠D＝67°即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵AC2＝AB•AD，
∴＝，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠CAD，
∴△BAC∽△CAD，
∴∠B＝∠ACD＝90°，
∴AC⊥CD．
（2）∵∠ACD＝90°，AE＝ED，
∴EC＝EA＝ED，
∴∠D＝∠ECD，
∵∠AEC＝∠D+∠ECD＝134°，
∴∠ECD＝∠D＝67°，
∵△ABC∽△ACD，
∴∠ACB＝∠D＝67°，
∴∠BCD＝67°+90°＝157°．
练习2.如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，对角线AC⊥BD，垂足为E，AD=BD，过点E作EF∥AB交AD于F，求证：（1）AF=BE；（2）AF2=AE•EC．
【答案】证明：（1）∵EF∥AB，
∴△DFE∽△DAB．
∴ ．
又∵DA=DB，∴DF=DE．
∴DA-DF=DB-DE，即AF=BE．
（2）∵AB⊥BC，
∴△ABC为直角三角形．
又∵AC⊥BD，
∴△BCE∽△ABE．
∴ ，即EB2=AE•EC．
又∵AF=EB，∴AF2=AE•EC．
【解析】（1）根据平行构造相似三角形，利用相似三角形的性质解答；（2）因为AB⊥BC，所以△ABC为直角三角形，又因为AC⊥BD，所以可知△BCE∽△ABE，利用相似三角形的性质即可解答．
以上题目为在梯形当中三角形相似问题的典型考查.
一线三等角型
结论：出现两个相似三角形
图① 图② 图③ 图④
例1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D在BC所在的直线上运动，作∠ADE＝45°（A，D，E按逆时针方向）．若点D在线段BC上运动，DE交AC于E．
①求证：△ABD∽△DCE；
②当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
【分析】①由∠ADB+∠BAD＝135°，∠ADB+∠CDE＝135°，得出∠BAD＝∠CDE，推出△ABD∽△DCE；
②分三种情况讨论，（1）当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝45°时，得到∠DAE＝90°，点D、E分别与B、C重合；（2）当AD＝DE时，由①知△ABD∽△DCE；（3）当AE＝DE时，有∠EAD＝∠ADE＝45°＝∠C，得到∠ADC＝∠AED＝90°，于是得到DE＝AE＝AC＝1．
【解答】①证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠BAD+∠ADB＝135°，
∵∠ADE＝45°，
∴∠ADB+∠EDC＝135°，
∴∠BAD＝∠EDC，
∴△ABD∽△DCE；
②分三种情况：
（1）当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝45°时，
∴∠DAE＝90°，点D、E分别与B、C重合，
∴AE＝AC＝2；
（2）当AD＝DE时，由①知△ABD∽△DCE，
∵AD＝DE，△ABD≌△DCE，
∴AB＝CD＝2，
∴BD＝CE＝，
∴AE＝AC﹣CE＝4﹣；
（3）当AE＝DE时，有∠EAD＝∠ADE＝45°＝∠C，
∴∠ADC＝∠AED＝90°，
∴AE＝DE＝AC＝1．
练习1. 一般来说，依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做“分类”的思想；将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论”法，请你依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题：
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D在BC所在的直线上运动，作∠ADE＝45°（A、D、E按逆时针方向），
（1）如图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E
①求证：△ABD∽△DCE；
②当△ADE是等腰三角形时，求AE的长；
（2）如图2，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC延长线相交于点E′，是否存在点D，使得△ADE′是等腰三角形？若存在，求出CD与AE′的长；若不存在，请简要说明理由．
【分析】（1）①由∠ADB+∠BAD＝135°，∠ADB+∠CDE＝135°，得出∠BAD＝∠CDE，推出△ABD∽△DCE．
②（ⅰ）当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝45°时，得到∠DAE＝90°，点D、E分别与B、C重合；
（ⅱ）当AD＝DE时，由①知△ABD∽△DCE；
（ⅲ）当AE＝DE时，有∠EAD＝∠ADE＝45°＝∠C，
故∠ADC＝∠AED＝90°．三种情况讨论．
（2）存在，可证△ADC∽△AE′D，得到CD＝AC＝2，进而得出AE′的长．
【解答】解：（1）①由∠BAC＝90°，AB＝AC，推出∠B＝∠C＝45°．
由∠BAD+∠ADB＝135°，∠ADB+∠EDC＝135°得到∠BAD＝∠EDC．
推出△ABD∽△DCE．
②分三种情况：
（ⅰ）当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝45°时，得到∠DAE＝90°，点D、E分别与B、C重合，所以AE＝AC＝2．
（ⅱ）当AD＝DE时，由①知△ABD∽△DCE，
又∵AD＝DE，知△ABD≌△DCE．
所以AB＝CD＝2，故BD＝CE＝2﹣2，
所以AE＝AC﹣CE＝4﹣2．
（ⅲ）当AE＝DE时，有∠EAD＝∠ADE＝45°＝∠C，
故∠ADC＝∠AED＝90°．
所以AE＝DE＝AC＝1．
故AE的长为1；
（2）存在（只有一种情况）．
由∠ACB＝45°推出∠CAD+∠ADC＝45°．
由∠ADE＝45°推出∠DAC+∠DE′A＝45°．
从而推出∠ADC＝∠DE′A．证得△ADC∽△AE′D．
所以＝，
又∵AD＝DE′，
∴CD＝AC＝2．
∵△ADC∽△AE′D，
∴＝，
∴AD2＝AC•AE′，
过点A做AH⊥BC于点H，
则AH＝，DH＝2+，
则AD2＝AH2+DH2，
∴（）2+（2+）2＝2AE′，
∴AE′＝4+2．
注意角的转化，一线三等角模型的辨别.
例2.如图，在△ABC和△CDE中，∠B=∠D=90°，C为线段BD上一点，且AC⊥CE．AB=3，DE=2，BC=6．求CD的长．
【答案】解：∵在△ABC中，∠B=90°，
∴∠A+∠ACB=90°．
∵AC⊥CE，∴∠ACB+∠ECD=90°．
∴∠A=∠ECD．
∵在△ABC和△CDE中，∠A=∠ECD，∠B=∠D=90°，
∴△ABC∽△CDE，∴ABCD=BCDE．
∵AB=3，DE=2，BC=6，∴CD=1．
【解析】根据直角三角形的性质，可得∠A+∠ACB，∠ACB+∠ECD，再根据余角的性质，可得∠A=∠ECD根据相似三角形的判定与性质，可得ABCD=BCDE，根据比例的性质，即可得出答案．
练习1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．点P从点D出发沿折线DE﹣EF﹣FC﹣CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC﹣CA于点G．点P，Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）D，F两点间的距离是 25 ；
（2）射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出t的值；若不能，说明理由；
（3）当点P运动到折线EF﹣FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值；
（4）连接PG，当PG∥AB时，请直接写出t的值．
【分析】（1）由中位线定理即可求出DF的长；
（2）连接DF，过点F作FH⊥AB于点H，由四边形CDEF为矩形，QK把矩形CDEF分为面积相等的两部分，根据△HBF∽△CBA，对应边的比相等，就可以求得t的值；
（3）①当点P在EF上（2≤t≤5时根据△PQE∽△BCA，根据相似三角形的对应边的比相等，可以求出t的值；
②当点P在FC上（5≤t≤7）时，PB＝PF+BF就可以得到；
（4）当PG∥AB时四边形PHQG是矩形，由此可以直接写出t．
【解答】解：（1）Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，
∵D，F是AC，BC的中点，
∴DF为△ABC的中位线，
∴DF＝AB＝25
故答案为：25．
（2）能．
如图1，连接DF，过点F作FH⊥AB于点H，
∵D，F是AC，BC的中点，
∴DE∥BC，EF∥AC，四边形CDEF为矩形，
∴QK过DF的中点O时，即过矩形CDEF的中点，QK把矩形CDEF分为面积相等的两部分
此时QH＝OF＝12.5．由BF＝20，△HBF∽△CBA，得HB＝16．
故t＝＝．
（3）①当点P在EF上（2≤t≤5）时，
如图2，QB＝4t，DE+EP＝7t，
由△PQE∽△BCA，得．
∴t＝4；
②当点P在FC上（5≤t≤7）时，
如图3，已知QB＝4t，从而PB＝＝＝5t，
由PF＝7t﹣35，BF＝20，得5t＝7t﹣35+20．
解得t＝7；
（4）如图4，t＝1；如图5，t＝7．
（注：判断PG∥AB可分为以下几种情形：当0＜t≤2时，点P下行，点G上行，可知其中存在PG∥AB的时刻，
如图4；此后，点G继续上行到点F时，t＝4，而点P却在下行到点E再沿EF上行，发现点P在EF上运动时不存在PG∥AB；5≤t≤7当时，点P，G均在FC上，也不存在PG∥AB；由于点P比点G先到达点C并继续沿CD下行，所以在7＜t＜8中存在PG∥AB的时刻，如图5当8≤t≤10时，点P，G均在CD上，不存在PG∥AB）
以上两个题目为同一个题目的变形考察，学生注意熟练掌握.本模型是一线三等角的特殊模型——垂直型.
母子型
1.图①内角分线型，结论：；图②外角分线型，结论：
2.图③斜射影定理型，结论：，
3.图④射影定理型，结论：（1），
（2），
（3）
图① 图② 图③ 图④
例1. 阅读理解：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，求证：ABBD = ACCD．
小明在证明此题时，想通过证明三角形相似来解决，但发现图中无相似三角形，于是过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E，构造△ACD∽△EBD，则ABBD = ACCD．
于是小明得出结论：在△ABC中，AD平分∠BAC，则ABBD = ACCD．
请完成小明的证明过程．
【答案】解：过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，
∵BE∥AC，
∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD，
∴△BDE∽△CDA，∴BDDC=BEAC，
又∵AD是角平分线，∴∠E=∠DAC=∠BAD，
∴BE=AB，∴ABBD = ACCD．
【解析】先过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，由于BE∥AC，利用平行线分线段成比例定理的推论、平行线的性质，可得△BDE∽△CDA，∠E=∠DAC，再利用相似三角形的性质可有BDDC=BEAC，而利用AD时角平分线又知∠E=∠DAC=∠BAD，于是BE=AB，等量代换即可证．
练习1.如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，若△ABC的面积为m，则△ACD的面积为 m ．
【分析】首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，因为△ABC的面积为m，进而求出△ACD的面积．
【解答】解：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∵AB＝4，AD＝2，
∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，
∵△ABC的面积为m，
∴△ACD的面积为m，
故答案为：m．
注意画辅助线构造相似三角形，一般在利用角平分线构造相似时，常会优先考虑利用平行来构造.
例2. 如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：
（1）△ACP∽△PDB，
（2）CD2＝AC•BD．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，于是推出∠ACP＝∠PDB＝120°，等量代换得到∠BPD＝∠CAP，根据相似三角形的性质得到结论；
（2）由相似三角形的性质得到，根据等边三角形的性质得到PC＝PD＝CD，等量代换得到，即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，
∴∠ACP＝∠PDB＝120°，
∵∠APB＝120°，
∴∠APC+∠BPD＝60°，
∵∠CAP+∠APC＝60°
∴∠BPD＝∠CAP，
∴△ACP∽△PDB；
（2）由（1）得△ACP∽△PDB，
∴，
∵△PCD是等边三角形，
∴PC＝PD＝CD，
∴，
∴CD2＝AC•BD．
练习1.如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，对角线AC平分∠BAD，AC2＝AB•AD．
（1）求证：AC⊥CD；
（2）若点E是AD的中点，连接CE，∠AEC＝134°，求∠BCD的度数．
【分析】（1）只要证明△BAC∽△CAD，看到∠B＝∠ACD＝90°解决问题；
（2）首先证明∠D＝∠ECD＝67°，再利用相似三角形的性质推出∠ACB＝∠D＝67°即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵AC2＝AB•AD，
∴＝，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠CAD，
∴△BAC∽△CAD，
∴∠B＝∠ACD＝90°，
∴AC⊥CD．
（2）∵∠ACD＝90°，AE＝ED，
∴EC＝EA＝ED，
∴∠D＝∠ECD，
∵∠AEC＝∠D+∠ECD＝134°，
∴∠ECD＝∠D＝67°，
∵△ABC∽△ACD，
∴∠ACB＝∠D＝67°，
∴∠BCD＝67°+90°＝157°．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，用到的知识点为：①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（简叙为两角对应相等，两三角形相似）；②相似三角形的对应边成比例．
例3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．
(1)求证：△BDE∽△CAD．
(2)若AB=13，BC=10，求线段DE的长．
【答案】(1)解：∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，∠B=∠C，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=∠ADC，
∴△BDE∽△CAD．
(2)解：∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
在Rt△ADB中，AD=AB2-BD2=132-52=12，
由(1)得BDAC=DEAD，∴513=DE12，
∴DE=6013．
练习1. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，求证：AD2=CD•BD．
【答案】证明：∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
而∠BAD=∠DAC=90°，
∴∠B=∠DAC，
∴Rt△ADB∽Rt△CDA，
∴AD：CD=BD：AD，
∴AD2=CD•BD．
【解析】利用等角的余角相等得到∠B=∠DAC，则可判断Rt△ADB∽Rt△CDA，所以AD：CD=BD：AD，然后根据比例的性质即可得到结论．
以上例题为射影定理的考察，射影定理是利用相似计算线段长度的非常典型的模型.
梅涅劳斯型常用辅助线（选讲）
该模型需要注意识别未添加辅助线的原始图形，是一个不全等也不相似的“8字型”，需要通过平行来构造标准的“8字型”相似或者“A字型”相似来进行相关的线段长度的计算.
例1.如图，在的边上取一点，在取一点，使，直线和的延长线相交于，求证：.
【答案】过作交于，
∵，∴，∴，
∵，∴，
又∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴.
练习1.如图，、为边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交、和的延长线于点、和.求证：.
【答案】过，分别作的平行线交于，两点，交于，
∵，∴，
易知，，
∴，即，
又∵，∴，即.
练习2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．在边AB上取点D，在边AC取点E，AD=AE=1，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P．
（1）当∠B=30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；
（2）若CE=2，BD=BC，求BP的长．
【答案】解：（1）∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴∠BAC=60°，
∵AD=AE，∴∠AED=60°=∠CEP，
∴∠EPC=30°，∴△BDP为等腰三角形，
∵△AEP与△BDP相似，
∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°，
∴AE=EP=1，
在Rt△ECP中，；
（2）过点D作DF⊥AC于点F，如图，且设BD=BC=x
，
∵∠ACB=90°，∴AB2=AC2+BC2，
而AD=AE=1，EC=2，∴（1+x）2=32+x2，解得x=4，即BD=BC=4，∴AB=5，
∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，
∴，即，
∴，，∴，
∵△EDF∽△EPC，∴，即，
∴CP=4，∴BP=4+4=8．
【解析】（1）由∠B=30°∠ACB=90°得∠BAC=60°而AD=AE，所以∠AED=60°=∠CEP，则∠EPC=30°，于是可判断△BDP为等腰三角形，由于△AEP与△BDP相似，则∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°，得到AE=EP=1，所以 ；（2）过点D作DF⊥AC于点F，且设BD=BC=，根据勾股定理得到（1+x）2=32+x2，解得x=4，即BD=BC=4，AB=5，证明△ADF∽△ABC，利用相似比计算出，，则，然后证明△EDF∽△EPC，利用相似比计算出CP=4，即可得到BP=8．
对该模型的原始图的识别是添加辅助线的突破点，对辅助线添加技巧的基本原理的理解是处理此类问题的关键

本节课给出了常见的相似三角形的模型，包含A字型、8字型、一线三等角型以及母子型.其中母子型涵盖范围稍微广一些，包含射影定理，斜射影定理，角分线定理.构造相似三角形需要做适当的辅助线，一般做某一条线段的平行线。注意模型的把握，以及线段成比例的熟练运用.