【专项练习】苏教版初二数学上册 《勾股定理》模型（8）——垂美四边形模型（含答案）学案

《勾股定理》模型（八）——垂美四边形模型

【定义】对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

【结论】如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，

则①AB²＋CD²＝AD²＋BC².  ②S四ABCD＝ AC·BD

【证明】①

② S四ABCD＝ BD·a＋ BD·c＝ BD(a＋c)＝ AC·BD

典例1 ☆☆☆☆☆

定义∶我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形

⑴概念理解;如图1，在四边形 ABCD中，如果 AB=AD，CB= CD，那么四边形 ABCD是垂美四边形吗? 请说明理由.

⑵性质探究：如图2，垂美四边形ABCD的两组对边AB，CD与 BC，AD之间有怎样的数量关系?写出你的猜想，并说明理由。

⑶问题解决∶如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形

ACFG和正方形ABDE，连接 CE，BG，GE①求证∶△GAB≌△CAE.

②若 AC=2，AB=5，则 GE=__________。

【解析】

（1）四边形 ABCD是垂美四边形，理由如下∶

∵AB=AD，∴点 A在线段 BD 的垂直平分线上，

∵CB=CD，∴点 C在线段BD 的垂直平分线上，

∴直线 AC是线段 BD 的垂直平分线，

∴AC⊥BD，即四边形 ABCD是垂美四边形.

（2）AB²＋CD²=BC²＋AD²，理由如下∶

如图，∵AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°.

由勾股定理得 AD²＋ BC²= AE²＋DE²＋BE²＋CE²,

AB²＋CD²=AE²＋BE²＋CE²＋DE²,

∴AB²＋CD²=BC²＋AD².

（3）如图，①连接 CG，BE.

∵∠CAG=∠BAE=90°,∴∠CAG＋∠BAC=∠BAE＋∠BAC,即∠GAB=∠CAE.

在△GAB 和△CAE 中，AG=AC,∠GAB=∠CAE,AB=AE,

    ∴△GAB≌△CAE(SAS).

②∵△GAB≌△CAE，∴∠ABG=∠AEC，

又∵∠AEC＋∠AME=90°，∠BMC=∠AME，∴∠ABG＋∠BMC=90°，

∴∠BNC=90°，即 CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，

∴CG²＋BE²=CB²+GE²

∵AC=2,AB=5,∴BC=,CG=2,BE=5,

∴GE²=CG²＋BE²-CB²=37，∴GE=.

典例2 ☆☆☆☆☆

如图，△AOB和△COD都是等边三角形，AO=BO=2，CO=DO=1

求AC²＋BD²

1.（★★★★★）数学活动∶图形的变化

问题情境∶如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90º，E是AC边上的一个动点(点E与A，C不重合），以CE为边在△ABC外作等腰直角△ECD，∠ECD=90°，连接 BE，AD.猜想线段 BE，AD 之间的关系.

（1）独立思考∶请直接写出线段 BE，AD 之间的关系.

（2）合作交流∶“希望”小组受上述问题的启发，将图1中的等腰直角△ECD绕着点C顺时针方向旋转至如图2的位置，BE交AC于点H,交AD于点O.

（1）中的结论是否仍然成立?请说明理由.

（3）拓展延伸∶“科技”小组将⑵中的等腰直角△ABC改为Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，将等腰直角△ECD改为 Rt△ECD，∠ECD=90°，CD=4，CE=3.试猜想 BD²＋AE²是否为定值，结合图3说明理由.

1.在四边形 ABCD 中，AC⊥BD，AB=7，CD=11，BC=13，则AD=_______.

勾股定理是计算的工具 ，识别环境和了解模型背后约结论至关重要，等腰直角三角形手拉手全等模型容易出现垂美四边形

答案：

小试牛刀

1. 解析 （1）BE=AD，BE⊥AD.

∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，

∴BC=AC,CE=CD,∠BCE=∠ACD= 90°,

∴△BCE≌△ACD,∴BE=AD,∠CEB= ∠CDA.

∴∠CBE ＋ ∠CEB = 90°,∴∠CBE＋∠CDA=90°, ∴BE⊥AD.

（2）（1）中的结论仍然成立，理由∶

∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB= 90°,∴AC=BC.

∵△CDE是等腰直角三角形，∠ECD= 90°,∴CD=CE,

∴∠ACB＋∠ACE=∠ECD+∠ACE, ∴∠BCE=∠ACD,

∴△BCE≌△ACD,∴BE=AD,∠CBE=∠CAD.

∵∠BHC=∠AHO,∠CBH＋∠BHC=90°,

∴∠CAD＋∠AHO=90°,∴∠AOH=90,

∴BE⊥AD.

（3）是定值，理由∶

∵∠ECD=90°,∠ACB=90°, ∴∠ACB=∠ECD,

∴∠ACB＋∠ACE=∠ECD＋∠ACE，

∴∠BCE=∠ACD.

∵AC=8,BC=6,CD=4,CE=3, ∴BC:AC=CE:CD=3:4,

∴△BCE∽△ACD,∴∠CBE=∠CAD.

∵∠BHC=∠AHO, ∠CBH＋∠BHC=90°，

∴∠CAD＋∠AHO=90°,∴∠AOH=90°,∴BE⊥AD,∴∠BOD=∠AQE=90°,

∴BD²=OB²＋OD²，AE²=OA²＋OE²， AB²=OA²+OB²，DE²=OE²+OD²，

∴BD²＋AE²=OB²＋OD²＋OA²＋OE²= AB²＋DE²,

在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6,∴AB²=100,

在 Rt△ECD中，∠ECD=90°，CD=4，CE= 3,∴DE=25,

∴BD²＋AE²=AB²＋DE²=125.

直击中考

1. 答案 1

解析∵AC⊥BD，∴四边形 ABCD是垂美四边形，

∴AB²＋CD²=AD²＋BC²，

∴AD=＝1.