【专项练习】苏教版初二数学上册 《勾股定理》模型（2）——矩形翻折模型（含答案）学案

《勾股定理》模型（二）——矩形翻折模型

一、折在外

【结论1】如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B和点D重合 ，

则（1）∠1=∠2=∠3（2）DE=DF=BE，（3）FC=FH

【证明】如图，将矩形ABCD沿EF折叠，点B与点D重合，

∴∠1=∠2，DE＝BE, FC＝FH

∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠2＝∠3，

∴∠1=∠2=∠3 ，∴DE=DF，

∴DE=DF=BE

【结论2】如图，矩形ABCD，将△ACD沿对角线AC折叠，D点对应点为F

则（1）△AFE≌△CBE（2）AE=CE（3）∠EAC=∠ECA

【证明】如图，△ACF由△ACD沿AC折叠而得，

            ∴∠F＝∠D＝90º，AF=AD，

            ∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠F＝∠D＝90º，CB＝AD＝AF，AB∥CD，

在△AFE和△CBE中，∠F＝∠B＝90º，AF＝CB，∠FEA＝∠BEC，

∴△AFE≌△CBE

∴AE=CE ，∴∠EAC=∠ECA

二、折在里

【结论3】如图，矩形ABCD，将△AFD沿AF折叠，使点D的落点（E）在对角线AC上，则CE=AC－AD，CF=CD－EF

【证明】∵△AFD沿AF折叠得△AFE，∴△AFD≌△AFE

        ∴AE＝AD，EF＝DF，

        ∴CE=AC－AD＝AC－AE，CF=CD－DF＝CD－EF

【结论4】如图，将矩形ABCD对折，折痕EF，再将△ADH沿AH折叠，使点G落在EF

上，则（1）AG=2AE（2）∠1=∠2=∠3=30°

【证明】∵△ADH沿AH折叠得△AGH，E是AD的中点，

∴AG＝AD＝2AE，∠1＝∠2，

在Rt△AEG中，AG＝2AE，∴Rt△AEG是含30º角的直角三角形

∴∠3＝∠1＝∠2＝30º.

典例1☆☆☆☆☆

如图所示，沿着AE折叠长方形，使点D落在边BC上的点F处，已知AB=8cm，

BC=10cm，则 EC的长为（）

A.3 cmB. 4 cmC.5 cm D.6 cm

【答案】A

【解析】根据折叠的性质得△ADE≌△AFE，∴AF=AD=10 cm,EF=DE,

∴BF＝＝6（cm）. ∴CF＝BC－BF＝10-6＝4(cm).

设EC＝x cm，则 EF＝（8-x）cm.

在Rt△EFC中，CF²＋CE2＝EF2，即42＋x2=（8-x）2

解得 x＝3.∴EC的长为 3 cm.故选 A.

典例2  ☆☆☆☆☆

如图所示，在矩形纸片ABCD中，AB= 6 cm，BC=8 cm，现将其沿 EF对折，使得点C与点A重合，则 AF 的长为（ ）.

     A.cm         B.cm        C.cmD.8 cm

【答案】B

【解析】设 AF＝x cm，则 DF＝（8-x）cm.

在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8 cm，将其沿EF折叠后，点C与点A 重合，DF=D´F.

在 Rt△AD´F 中，AF2=AD´2＋D´F2，

即 2²＝6²＋（8－x）2，解得 x＝,∴AF＝cm,

故选B

典例3  ☆☆☆☆☆

如图，将矩形纸片 ABCD 沿直线 EF 折叠，使点 C落在 AD 边的中点 C´处，

点 B落在点B´处，其中 AB=9，BC=6，则 FC´的长为（)

A.B.4 C.4.5D.5

【答案】D

【解析】由题意，设 FC＝FC´＝x，则 FD＝9－x.

∵BC＝6，四边形 ABCD为矩形，点 C´为AD的中点，

∴AD=BC=6,C´D=3.

在 Rt△FC´D中，FC´2＝FD2＋C´D2，即x2=（9-x）2+32，解得 x=5.

故 FC´的长为 5.故选 D.

1.（★★★☆☆）如图，已知矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点

C落在C´处，BC´交AD于点E，AD=8，AB=4，则 DE的长为(    ).

A.3 B.4 C.5D.6

2.（★★★☆☆）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点 D与点B

重合.已知 AB=3，AD=9，则折痕 EF 的长为（ ）.

A.3B.C.5D.4

1.如图，将长方形 ABCD沿EF 折叠，使顶点 C恰好落在 AB 边的中点 C´上.

若 AB=6，BC=9，则 BF 的长为（     )

A.4B.3C.4.5D.5

2. 如图，在矩形 ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接 BE，将△BCE

沿 BE 折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为_________.

矩形的折叠，注意折叠前后的边角对应关系，计算时联想到利用勾股定理对新形成的直角三角形进行求解。

答案：

小试牛刀

1. 答案 C

解析∵Rt△DC´B 由 Rt△DCB 翻折而成，

∴ CD=C´D=AB=4,∠C=∠C´=90°.

设DE=x，则 AE=8－x.

在△ABE 与△C´DE 中， ∠A=∠C´=90º, AB=C´D, ∠AEB=∠C´ED,

∴△ABE≌△C´DE(AAS).

∴BE=DE=x.

在 Rt△ABE中，AB2＋AE2=BE2， ∴42＋(8-x)2=x2，解得 ,x=5.

∴DE 的长为5.故选 C.

2.答案B

解析由折叠的性质可得 DE = BE， ∠DEF=∠BEF.

∵AD∥BC,∴∠DEF=∠BFE, ∴∠BFE=∠BEF，∴BE=BF=DE.

设 BE=x，则 BF= DE=x，AE=AD－DE= 9－x.

在 Rt△ABE中，AB2＋AE2=BE2，即 32＋（9－x）2=x2，解得 x=5.

∴BF=BE=5,AE=4.

作EM⊥BC于点M，则 EM=AB=3，BM=AE=4， ∴MF=BF－BM=1，

EF== =.故选 B.

直击中考

1. 答案A

解析∵点 C´是AB 边的中点，AB=6， ∴BC´=3.

由图形折叠性质知 C´F＝CF＝BC－BF＝9－BF.

在 Rt△C´BF中，BF2＋BC´2=C´F²，即 BF2＋9＝(9—BF)2，解得 BF=4.故选 A.

2.答案

解析设 CE=x，

∵四边形 ABCD是矩形，∴AD= BC=5,CD= AB=3,∠A=∠D=90°.

∵将△BCE沿 BE 折叠，点 C恰好落在 AD边上的点 F处，

∴BF=BC=5,EF=CE=x,DE=CD－CE=3－x.

在Rt△ABF中，由勾股定理得AF ==4,

∴DF=AD－AF=5－4=1.

在Rt△DEF中，由勾股定理得,EF2=DE2＋DF2,

即 x2=（3－x）2＋12，解得x＝