人教版高中数学选择性必修第二册 等差数列的前n项和公式(第2课时)分层作业(含解析)

这是一份人教版高中数学选择性必修第二册 等差数列的前n项和公式(第2课时)分层作业(含解析)，共9页。

(60分钟 100分)
eq \f(基础对点练,基础考点 分组训练)
知识点1 求数列{|an|}的前n项和
1．(5分)设数列{an}的通项公式为an＝2n－7，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a15|＝( )
A．139 B．153
C．144 D．178
2.(5分)在等差数列{an}中，a1>0，a10·a11<0，若此数列前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值为________．
知识点2 等差数列前n项和的最值问题
3．(5分)已知数列{an}为等差数列，a2＝0，a4＝－2，则其前n项和Sn的最大值为( )
A．eq \f(9,8) B．eq \f(9,4)
C．1 D．0
4．(5分)已知数列{an}的通项公式为an＝26－2n，若使此数列的前n项和Sn最大，则n的值为( )
A．12 B．13
C．12或13 D．14
5.(5分)已知等差数列{an}，|a5|＝|a9|，公差d>0，则使得其前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是________．
知识点3 利用裂项相消法求数列的和
6．(5分)在数列{an}中，an＝eq \f(1,n＋1)＋eq \f(2,n＋1)＋…＋eq \f(n,n＋1)(n∈N*)．又bn＝eq \f(1,anan＋1)，则数列{bn}的前n项和Sn为(A)
A．eq \f(4n,n＋1) B．eq \f(2n,n＋1)
C．eq \f(n,2n－1) D．eq \f(2n,2n＋1)
7.(5分)设数列{an}满足对任意的n∈N*，Pn(n，an)满足PnPn＋1＝(1,2)，且a1＋a2＝4，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an·an＋1)))的前n项和Sn为________．
知识点4 等差数列前n项和性质的应用
8．(5分)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且eq \f(An,Bn)＝eq \f(5n＋3,n＋3)，则eq \f(a5,b5)的值为( )
A．2 B．eq \f(7,2)
C．4 D．5
9．(5分)已知等差数列的前n项和为Sn，若S13<0，S12>0，则此数列中绝对值最小的项为( )
A．第5项 B．第6项
C．第7项 D．第8项
eq \f(能力提升练,能力考点 拓展提升)
10.(5分)(多选)设{an}是等差数列，Sn是前n项的和，且S5S8，则( )
A．d>0
B．a7＝0
C．S9>S5
D．S6与S7均为Sn的最大值
11．(5分)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且eq \f(An,Bn)＝eq \f(7n＋45,n＋3)，则使得eq \f(an,bn)为整数的正整数n有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
12．(5分)(多选)已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使其前n项和Sn取得最大值的自然数n是( )
A．4 B．5
C．6 D．7
13.(5分)等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S19>0，S20<0，则使Sn取得最大值的n为________．
14.(5分)已知数列{an}的通项公式为an＝－2n－1，则数列{|an|}的前n项和为________．
15.(10分)已知数列{an}为等差数列，其中a2＋a3＝8，a5＝3a2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝eq \f(2,anan＋1)，设{bn}的前n项和为Sn，求最小的正整数n，使得Sn>eq \f(2 020,2 021).
16.(10分)设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，Sn是aeq \\al(2,n)和an的等差中项．
(1)证明数列{an}为等差数列，并求an.
(2)若bn＝－n＋5，求{an·bn}的最大值，并求出取最大值时n的值．
17.(10分)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝25，a4＝16.
(1)求n为何值时，Sn取得最大值；
(2)求a2＋a4＋a6＋a8＋…＋a20的值；
(3)求数列{|an|}的前n项和Tn.
人教版高中数学选择性必修第二册
等差数列的前n项和公式(第2课时)分层作业(解析版)
(60分钟 100分)
eq \f(基础对点练,基础考点 分组训练)
知识点1 求数列{|an|}的前n项和
1．(5分)设数列{an}的通项公式为an＝2n－7，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a15|＝( )
A．139 B．153
C．144 D．178
B 解析：∵an＝2n－7，∴a1＝－5，d＝2.∴Sn＝n2－6n.
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－a1－a2－a3＋a4＋…＋a15＝－S3＋(S15－S3)＝S15－2S3＝153.
2.(5分)在等差数列{an}中，a1>0，a10·a11<0，若此数列前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值为________．
60 解析：∵a1>0，a10·a11<0，
∴d<0，a10>0，a11<0，
∴T18＝a1＋a2＋…＋a10－(a11＋a12＋…＋a18)＝S10－(S18－S10)＝60.
知识点2 等差数列前n项和的最值问题
3．(5分)已知数列{an}为等差数列，a2＝0，a4＝－2，则其前n项和Sn的最大值为( )
A．eq \f(9,8) B．eq \f(9,4)
C．1 D．0
C 解析：∵a2＝0，a4＝－2，∴d＝－1，
∴an＝2－n.
∴Sn的最大值为S1＝S2＝1.
4．(5分)已知数列{an}的通项公式为an＝26－2n，若使此数列的前n项和Sn最大，则n的值为( )
A．12 B．13
C．12或13 D．14
C 解析：由an≥0，得n≤13，∴S13＝S12最大.
5.(5分)已知等差数列{an}，|a5|＝|a9|，公差d>0，则使得其前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是________．
6或7 解析：∵d>0，∴|a5|＝|a9|可化为－a5＝a9.
即a5＋a9＝2a7＝0.∴a7＝0，∴a6<0，a8>0.
∴S6＝S7最小．
知识点3 利用裂项相消法求数列的和
6．(5分)在数列{an}中，an＝eq \f(1,n＋1)＋eq \f(2,n＋1)＋…＋eq \f(n,n＋1)(n∈N*)．又bn＝eq \f(1,anan＋1)，则数列{bn}的前n项和Sn为(A)
A．eq \f(4n,n＋1) B．eq \f(2n,n＋1)
C．eq \f(n,2n－1) D．eq \f(2n,2n＋1)
7.(5分)设数列{an}满足对任意的n∈N*，Pn(n，an)满足PnPn＋1＝(1,2)，且a1＋a2＝4，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an·an＋1)))的前n项和Sn为________．
eq \f(n,2n＋1) 解析：∵Pn(n，an)，Pn＋1(n＋1，an＋1)，
∴PnPn＋1＝(1，an＋1－an)＝(1,2)，∴an＋1－an＝2.
∴{an}为等差数列，d＝2.
∵a1＋a2＝2a1＋d＝4，∴a1＝1.∴an＝2n－1.
∵eq \f(1,an·an＋1)＝eq \f(1,2n－1·2n＋1)＝
eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))，
∴Sn＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,5)＋…＋\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))
＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2n＋1)))＝eq \f(n,2n＋1).
知识点4 等差数列前n项和性质的应用
8．(5分)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且eq \f(An,Bn)＝eq \f(5n＋3,n＋3)，则eq \f(a5,b5)的值为( )
A．2 B．eq \f(7,2)
C．4 D．5
C 解析：∵两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且eq \f(An,Bn)＝eq \f(5n＋3,n＋3)，
∴eq \f(a5,b5)＝eq \f(2a5,2b5)＝eq \f(a1＋a9,b1＋b9)＝eq \f(\f(9,2)a1＋a9,\f(9,2)b1＋b9)＝eq \f(A9,B9)＝eq \f(5×9＋3,9＋3)＝4.故选C．
9．(5分)已知等差数列的前n项和为Sn，若S13<0，S12>0，则此数列中绝对值最小的项为( )
A．第5项 B．第6项
C．第7项 D．第8项
C 解析：∵S13<0，S12>0，∴d<0.
∵S13＝eq \f(13a1＋a13,2)＝13a7<0，∴a7<0.
∵S12＝eq \f(12a1＋a12,2)＝6(a6＋a7)>0，
∴a6>0且|a6|>|a7|.
∴a7的绝对值最小.
eq \f(能力提升练,能力考点 拓展提升)
10.(5分)(多选)设{an}是等差数列，Sn是前n项的和，且S5S8，则( )
A．d>0
B．a7＝0
C．S9>S5
D．S6与S7均为Sn的最大值
BD 解析：由S5∴a6>0.
又S6＝S7，∴a1＋a2＋…＋a6＝a1＋a2＋…＋a6＋a7，∴a7＝0.
同理由S7>S8可得a8<0.若S9>S5，则a6＋a7＋a8＋a9>0，
∴2(a7＋a8)>0.
由题设a7＝0，a8<0，显然A，C项是错误的．
11．(5分)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且eq \f(An,Bn)＝eq \f(7n＋45,n＋3)，则使得eq \f(an,bn)为整数的正整数n有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
D 解析：∵eq \f(an,bn)＝eq \f(A2n－1,B2n－1)＝eq \f(72n－1＋45,2n－1＋3)＝eq \f(14n＋38,2n＋2)＝eq \f(7n＋19,n＋1)＝7＋eq \f(12,n＋1).
当n＋1＝2,3,4,6,12，即n＝1,2,3,5,11时，eq \f(an,bn)是整数．
12．(5分)(多选)已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使其前n项和Sn取得最大值的自然数n是( )
A．4 B．5
C．6 D．7
BC 解析：∵在等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，∴a3＋a9＝0，∴a6＝0.又d<0，∴a5>0，a7<0，
∴使其前n项和Sn取得最大值的自然数n是5或6.
13.(5分)等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S19>0，S20<0，则使Sn取得最大值的n为________．
10 解析：由S19>0，S20<0，可知{an}为递减的等差数列．设其公差为d，则d<0.由S19＝eq \f(19×a1＋a19,2)>0，S20＝eq \f(20×a1＋a20,2)<0，得a1＋a19＝2a10>0，a1＋a20＝a10＋a11<0，所以a10>0，a11<0.所以使Sn取得最大值的n为10.
14.(5分)已知数列{an}的通项公式为an＝－2n－1，则数列{|an|}的前n项和为________．
n2＋2n 解析：由题可知数列{an}的各项均为负值，设数列{|an|}的前n项和为Sn，则有Sn＝－a1－a2－…－an＝3＋5＋7＋…＋(2n＋1)＝eq \f(n3＋2n＋1,2)＝n2＋2n.
15.(10分)已知数列{an}为等差数列，其中a2＋a3＝8，a5＝3a2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝eq \f(2,anan＋1)，设{bn}的前n项和为Sn，求最小的正整数n，使得Sn>eq \f(2 020,2 021).
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a1＋3d＝8，,a1＋4d＝3a1＋3d，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,d＝2，))
从而{an}的通项公式为an＝2n－1.
(2)因为bn＝eq \f(2,anan＋1)＝eq \f(1,2n－1)－eq \f(1,2n＋1)，
所以Sn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1)－\f(1,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))＝1－eq \f(1,2n＋1).
令1－eq \f(1,2n＋1)>eq \f(2 020,2 021)，解得n>1 010，故取n＝1 011.
16.(10分)设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，Sn是aeq \\al(2,n)和an的等差中项．
(1)证明数列{an}为等差数列，并求an.
(2)若bn＝－n＋5，求{an·bn}的最大值，并求出取最大值时n的值．
解：(1)由已知，得2Sn＝aeq \\al(2,n)＋an，且an>0.
当n＝1时，2a1＝aeq \\al(2,1)＋a1，解得a1＝1.
当n≥2时，2Sn－1＝aeq \\al(2,n－1)＋an－1.
所以2Sn－2Sn－1＝aeq \\al(2,n)－aeq \\al(2,n－1)＋an－an－1，即2an＝aeq \\al(2,n)－aeq \\al(2,n－1)＋an－an－1，
即(an＋an－1)(an－an－1)＝an＋an－1.
因为an＋an－1>0，所以an－an－1＝1(n≥2)．
故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
且an＝n.
(2)由(1)可知an＝n.设cn＝an·bn，
则cn＝n(－n＋5)＝－n2＋5n＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(5,2)))2＋eq \f(25,4).
∵n∈N*，∴当n＝2或n＝3时，{cn}的最大项为6.
故{an·bn}的最大值为6，此时n＝2或n＝3.
17.(10分)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝25，a4＝16.
(1)求n为何值时，Sn取得最大值；
(2)求a2＋a4＋a6＋a8＋…＋a20的值；
(3)求数列{|an|}的前n项和Tn.
解：(1)在等差数列{an}中，a1＝25，a4＝16，
∴公差d＝eq \f(a4－a1,4－1)＝－3.∴an＝－3n＋28.
令an＝－3n＋28≥0且n∈N*，得n≤9.
∴当n≤9时，an>0；当n>9时，an<0.
∴当n＝9时，Sn取得最大值．
(2)∵数列{an}是等差数列，
∴a2＋a4＋a6＋a8＋…＋a20＝eq \f(10a2＋a20,2)＝10a11＝10×(－3×11＋28)＝－50.
(3)由(1)得，当n≤9时，an>0；当n>9时，an<0.
∴当n≤9时，Tn＝a1＋a2＋…＋an
＝25n＋eq \f(nn－1,2)×(－3)＝－eq \f(3,2)n2＋eq \f(53,2)n.
当n>9时，Tn＝a1＋a2＋…＋a9－(a10＋a11＋…＋an)＝2S9－Sn＝2×(9×25－36×3)－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(25n－\f(3,2)nn－1))＝eq \f(3,2)n2－eq \f(53,2)n＋234.
所以Tn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)n2＋\f(53,2)n，n≤9，,\f(3,2)n2－\f(53,2)n＋234，n>9.))