高中数学高考第5讲 数列通项公式与前n项和（解析版）

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第5讲 数列通项公式与前n项和高考预测一：等差等比公式法求和 1．已知等比数列满足：，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．【解析】解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，则由已知可得解得故．（Ⅱ）若，则，故是首项为，公比为的等比数列，从而．若，则是首项为，公比为的等比数列，从而故．综上，对任何正整数，总有．故不存在正整数，使得成立．2．记为等差数列的前项和．已知．（1）若，求的通项公式；（2）若，求使得的的取值范围．【解析】解：（1）根据题意，等差数列中，设其公差为，若，则，变形可得，即，若，则，则，（2）若，则，当时，不等式成立，当时，有，变形可得，又由，即，则有，即，则有，又由，则有，则有，综合可得：的取值范围是，．高考预测二：裂项相消求和3．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，．（Ⅰ）若等差数列满足，求，的通项公式；（Ⅱ）若＝______，求数列的前项和．在①；②；③这三个条件中任选一个补充到第（Ⅱ）问中，并对其求解．【解析】解：（Ⅰ）设数列的公比为，则．，，①，，解得（舍负），代入①得，，；则，，②设数列的公差为，，则；（Ⅱ）选择①：，，则，．选择②：，，则，，；选择③：由（Ⅰ）知；．．．4．为数列的前项和，已知，．（1）求通项公式；（2）设，数列的前项和，若，求整数值．【解析】解：（1），，，，，两式相减，得．，，．数列为常数列，，所以．（2）由（1）可得，令，则，，，数列的前项和，，，若，且为整数，当为奇数时，，，由，可得，当为偶数时，，，由，可得，．5．记为数列的前项和．已知，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【解析】解：（1）由题意，当时，，整理，得，解得，或（舍去）．当时，由，可得：，两式相减，可得，整理，得，，．数列是首项为4，公差为3的等差数列．数列的通项公式为，．（2）由（1）知，．故．6．已知数列为各项非零的等差数列，其前项和为，满足．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前项和．【解析】解：由题设可得：，，；由（Ⅰ）可得：，当为偶数时，，当为奇数时，，综上，．7．已知数列满足，，数列满足，．（1）证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和．【解析】（1）证明：，，又，，数列为首项、公比均为2的等比数列，，；（2）解：由（1）可得：，即，又，当时，，又当时，也适合上式，，，．高考预测三：错位相减求和8．已知数列满足为实数，且，，，且，，成等差数列．（Ⅰ）求的值和的通项公式；（Ⅱ）设，，求数列的前项和．【解析】解：（Ⅰ）数列满足为实数，且，，，且，，成等差数列，所以，即．所以，由于，所以，解得．①当时，，②当时，．所以数列的通项公式为：．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，所以①，则，②①②得，整理得．9．设等差数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和．【解析】解：（1）设等差数列 的首项为，公差为，由， 得解得，．因此．（2）由题意知：所以，       ，两式相减得整理得，所以数列 的前 项和．10．设等差数列的公差为前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．（1）求数列，的通项公式；（2）当时，记，求数列的前项和．【解析】解：（1）由题设知：，解得：或，当时，，；当时，，．（2）当时，由（1）可得，，，则，，又，两式相减可得：，整理得：．高考预测四：分组求和11．已知等差数列前10项的和是120，前20项的和是440．（1）求的通项公式；（2）若等比数列的第2项和第5项分别是6和162，求数列的前项和．【解析】解：（1）设等差数列的公差为，由题设条件知：，解得：，，；（2）设等比数列的公比为，由题设条件知：，解得：，，，，所以其前项和为．12．已知为数列的前项和，且，，2，（1）求证：数列为等比数列：（2）设，求数列的前项和．【解析】证明：当时，，整理得，，，，，是以1为首项，以2为公比的等比数列．解：由得，．当为偶数时，；当为奇数时，可得．综上，，为奇数），为偶数）．13．设是等差数列，是等比数列．已知，，，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，其中．求数列的通项公式；求【解析】解：（Ⅰ）设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．由，，，，可得，，解得，，则，；（Ⅱ）由数列满足，其中．；所以，数列的通项公式为：；原式．