北京市第六十六中学2023-2024学年高二下学期4月期中质量检测数学试题(含答案)

这是一份北京市第六十六中学2023-2024学年高二下学期4月期中质量检测数学试题(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）已知数列满足，且，那么（ ）
A．8B．9C．10D．11
2．（4分）已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）投掷一枚质地均匀的骰子两次，记，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）已知某离散型随机变量服从的分布列如表，则随机变量的方差等于（ ）
A．B．C．D．
5．（4分）已知曲线的一条切线斜率是3，则切点的横坐标为（ ）
A．B．C．1D．2
6．（4分）等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则前6项的和为（ ）
A．B．C．3D．8
7．（4分）已知等比数列中，，且，那么的值是（ ）
A．15B．31C．63D．64
8．（4分）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
9．（4分）设是各项均为正数的等比数列，为其前项和．已知，，若存在使得，，，的乘积最大，则的一个可能值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
10．（4分）为评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为．甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示．给出下列四个结论：
①在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
②在时刻，甲、乙血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
③在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
④在，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③④C．②③D．①③
二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）
11．（5分）函数，则______．
12．（5分）设是等差数列，且，，则数列的前项和的最大值是______．
13．（5分）某一批种子的发芽率为．从中随机选择3颗种子进行播种，那么恰有2颗种子发芽的概率为______．
14．（5分）已知数列的首项，，则______，猜想其通项公式是______．
15．（5分）设随机变量的分布列如下：
①；
②当时，；
③若为等差数列，则；
④的通项公式可能为．
其由所有正确命题的序号是______．
三、解答题（本题共6小题，共85分）
16．（13分）已知是等比数列，，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若等差数列满足，，求的前项和．
17．（15分）某单位有，两家餐厅提供早餐与午餐服务，甲、乙两人每个工作日早餐和午餐都在单位用餐，近100个工作日选择餐厅用餐情况统计如下（单位：天）：
假设用频率估计概率，且甲、乙选择餐厅用餐相互独立．
（Ⅰ）估计一天中甲选择2个餐厅用餐的概率；
（Ⅱ）记为一天中甲用餐选择的餐厅的个数与乙用餐选择的餐厅的个数之和，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）判断甲、乙两人在早餐选择餐厅用餐的条件下，哪位更有可能在午餐选择餐厅用餐？说明理由．
18．（15分）已知函数．
（Ⅰ）求函数在区间上的平均变化率；
（Ⅱ）求函数在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
（Ⅲ）设，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求实数的值．
19．（15分）2023年4月18日至27日，第二十届上海国际汽车工业展览会在上海国家会展中心举行，本次展会以“拥抱汽车行业新时代”为主题在今年的展会中，社会各界不仅能看到中国市场的强大活力，也能近距离了解各国产汽车自主品牌在推动“智电化”和可持续发展进程中取得的最新成果，为了解参观者对参展的某款国产新能源汽车的满意度，调研组从这款新能源汽车的参观者中随机抽取了50名参观者作为样本进行问卷测评，记录他们的评分，问卷满分100分．问卷结束后，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如图频率分布直方图．
（1）求图中的的值；
（2）在样本中，从分数在60分以下的参观者中随机抽取3人，用表示分数在中的人数，求的分布列及数学期望；
（3）在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组参观者评分的平均数，估计本次车展所有参观者对这款新能源汽车评分的平均数为，若中位数的估计值为，写出与的大小关系．（直接写出结果）
20．（15分）已知数列的前项和为，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
（Ⅲ）数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？（结论不要求证明）．
21．（12分）已知是公差不为0的无穷等差数列．若对于中任意两项，，在中都存在一项，使得，则称数列具有性质．
（Ⅰ）已知，，判断数列，是否具有性质；
（Ⅱ）若数列具有性质，证明：的各项均为整数；
（Ⅲ）若，求具有性质的数列的个数．
2023-2024学年北京六十六中高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．【答案】
【解答】解：，且，数列是等差数列，公差为2，首项为2．那么
．故选：．
2．【答案】
【解答】解：，．故选：．
3．【答案】
【解答】解：由题意记事件，包含的基本事件数是，，，共3个基本事件，
在发生的条件下，事件：，包含的基本事件数是，，共2个基本事件，
所以．故选：．
4．【答案】
【解答】解：由题意可得：，所以，所以，
所以．故选：．
5．【答案】
【解答】解：由导数的几何意义可知，曲线的切线斜率即对应的函数在切点处的导数值．令导数，曲线的一条切线斜率是3，可得，故切点的横坐标为2，
故选：．
6．【答案】
【解答】解：等差数列的首项为1，公差不为0．，，成等比数列，
，，且，，解得，
前6项的和为．
故选：．
7．【答案】
【解答】解：设公比为，，且，
，，，
故选：．
8．【答案】
【解答】解：因为数列是公差不为0的无穷等差数列，当为递增数列时，公差，
令，解得，表示取整函数，所以存在正整数
，当时，，充分性成立；
当时，，，则，必要性成立；
是充分必要条件．故选：．
9．【答案】
【解答】解：等比数列中，公比；
由，所以，
又，所以，解得：，或，
若时，可得，可得，，，的值为2，4，8，，不会存在使得，，，的乘积最大（舍去），
若时，可得，可得，，，的值为8，4，2，1，，，观察可知存在，使得的乘积最大，
综上，可得的一个可能是4．故选：．
10．【答案】
【解答】解：①在时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故①正确；
②甲、乙两人在时刻的切线的斜率不相等，即两人的不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故②不正确；
③根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是，故③正确；
④在时间段，甲的平均变化率是，在时间段，甲的平均变化率是，显然不相等，故④错误．
故选：．
二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）
11．【答案】见试题解答内容
【解答】解：，，，
故答案为：
12．【答案】4．
【解答】解：是等差数列，且，，
数列是首项为3，公差为的等差数列，
，
时，数列的前项和取最大值4．
故答案为：4．
13．【答案】．
【解答】解：设事件表示“恰有2颗种子发芽”，
则．故答案为：．
14．【答案】见试题解答内容
【解答】解：数列的首项，，
，同理可得：，．
猜想其通项公式是．故答案为：，．
15．【答案】①②③．
【解答】解：对于①，，
，
，故①正确；
对于②，当时，，故②正确；
对于③，若为等差数列，则，，故③正确；
对于④，当的通项公式为时，
，故④错误．
故答案为：①②③．
三、解答题（本题共6小题，共85分）
16．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解答】解：（Ⅰ）在等比数列，由，，得，；
（Ⅱ），，
则等差数列的公差，
．
的前项和．
17．【答案】（Ⅰ）0.6；
（Ⅱ）分布列见解析，期望为3；
（Ⅲ）乙更有可能在午餐选择餐厅用餐．
【解答】解：（Ⅰ）由统计图表，一天中甲选择2个餐厅用餐的天数为60，概率为；
（Ⅱ）易知的可能值是2，3，4，
，
，
，
的分布列为
．
（Ⅲ）甲在早餐选择餐厅用餐的条件下午餐选择餐厅用餐的概率为，
乙在早餐选择餐厅用餐的条件下午餐选择餐厅用餐的概率为，
所以乙更有可能在午餐选择餐厅用餐．
18．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）；（Ⅲ）．
【解答】解：（Ⅰ）在上的平均变化率为；
（Ⅱ）因为，，，
所以函数在点处的切线方程为，即，令，则，令，则，
则切线与两坐标轴围成的三角形面积；
（Ⅲ），，由题意得，，即．
19．【答案】（1）0.018；
（2）的分布列为：
；
（3）．
【解答】解：（1）由题意可得，，
解得；
（2）由题意可得，分数在60（分）以下的参观者人数为人，
因为，所以在中人数有2人，在中人数有6人，故随机变量的所有可能取值为1，2，3，
，，，
所以的分布列为：
故；
（3）平均数，
因为，，
所以中位数，所以，
解得，故．
20．【答案】（Ⅰ）3，9，21；（Ⅱ）证明见解答，；（Ⅲ）数列中不存在三项，它们可以构成等差数列．
【解答】解：（Ⅰ）由，可得，解得，时，
，即，解得，时，，即，解得；
（Ⅱ）证明：当时，由，可得，两式相减可得
，化为，即有，
则数列是首项为6，公比为2的等比数列，
可得，即；
（Ⅲ）假设数列中存在三项，它们可以构成等差数列，
设，，成等差数列，且，，，，
即有，即为，
化为，可得，
上式左边为偶数，右边为奇数，显然不成立．
故数列中不存在三项，它们可以构成等差数列．
21．【答案】（Ⅰ）数列具有性质，数列不具有性质；
（Ⅱ）证明见解析；
（Ⅲ）12个．
【解答】（Ⅰ）解：因为，所以，
所以对于中任意两项，，在中都存在一项，使得，
所以数列具有性质，
因为，所以取，，则，
因为，所以不存在一项，所以数列不具有性质；
（Ⅱ）证明：设数列的公差为，
因为数列具有性质，所以存在使得，同理，存在使得，
两式相减，得，即，
因为，所以，所以的各项均为整数．
（Ⅲ）解：由题意结合（Ⅱ）知的各项均为整数，所以为整数，
首先证明为正整数，否则假设为负整数，则为递减数列，所以中各项的最大值为，由题设，中存在某项，且，所以，
从而对任意正整数，，这与具有性质矛盾；
其次证明为的约数，
由得，，
所以，
所以为整数，即为的约数，
由为正整数，所以为的正约数，
因为，所以的正约数共有个，
对于首项为20，的正约数为公差的等差数列，易知其满足性质，
所以具有性质的数列共有12个．
0
1
1
2
3
4
5
选择餐厅（早餐，午餐）
甲
30
20
40
10
乙
20
25
15
40
2
3
4
0.24
0.52
0.24
1
2
3
1
2
3