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北京市2023-2024学年高二下学期6月月考质量检测 数学试题（含解析）
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这是一份北京市2023-2024学年高二下学期6月月考质量检测 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了本试卷共三道大题，共6页.，已知函数为的导函数，则等内容，欢迎下载使用。
高二数学
试卷说明：
1．本试卷共三道大题，共6页.
2．卷面满分120分，考试时间90分钟.
3．试题答案一律在答题纸上作答，在试卷上作答无效.
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．函数在处的瞬时变化率为（ ）
A．2B．C．D．1
2．若、、成等差数列，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知直线是曲线的切线，则切点坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．已知某一离散型随机变量的分布列，且，则的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
5．已知函数为的导函数，则（ ）
A．B．
C．D．
6．等差数列中，设前项和为，，则等于（ ）
A．80B．85C．90D．95
7．某人射击一次击中目标的概率是，经过3次射击，此人有2次击中目标的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
9．函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知等比数列的公比为q，则“”是“为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
11．在等比数列中，，则 ．
12．为了解学生的体能情况，抽取某学校一、二年级部分学生进行跳绳测试，将所得的数据整理后画出频率分布直方图（如图），设一年级跳绳次数为，二年级跳绳次数为，则 ．（填“”或“”）
13．函数的单调递增区间是 ．
14．函数（其中，e为自然常数）．关于函数有四个结论：
①，函数总存在零点．
②，函数在定义域内单调递增．
③，使函数存在2个零点．
④，使得直线为函数的一条切线．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本题共5小题，共60分）
15．设函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
16．据世界田联官方网站消息，原定于2023年5月日在中国广州举办的世界田联接力赛延期至2025年4月至5月举行.据了解，甲､乙､丙三支队伍将会参加2025年4月至5月在广州举行的米接力的角逐.接力赛分为预赛､半决赛和决赛，只有预赛､半决赛都获胜才能进入决赛.已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和.
(1)甲､乙､丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；
(2)设甲､乙､丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列.
17．设为等差数列的前n项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求；
(3)若，，成等比数列，求m的值．
18．随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争，吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务，在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如下图所示.
（1）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率；
（2）现有2名大学毕业生在这15座城市中各随机选择一座城市就业，且2人的选择相互独立，记X为选中月平均收入薪资高于8500元的城市的人数，求X的分布列和数学期望E（X）；
（3）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为，月平均期望薪资对应数据的方差为，判断与的大小（只需写出结论）
19．已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)证明：当时，．
1．B
【解析】函数在某点处的瞬时变化率即为函数在改点的导数值，求导得解
【详解】，
所以函数在处的瞬时变化率为
故选：B
【点睛】本题考查函数在某点处的导数值，属于基础题.
2．A
【分析】利用等差中项的性质可求得的值.
【详解】因为、、成等差数列，则.
故选：A.
3．A
【分析】设切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，代入已知点求出，即可求出切点坐标.
【详解】直线过点，
设是曲线上的切点，
，所以在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，
即，将代入上式得，
所以切点为.
故选：A
4．B
【分析】根据分布列的性质及期望公式得到方程组，解得即可.
【详解】依题意可得，解得.
故选：B
5．C
【分析】根据导数的运算法则以及基本初等函数的求导公式，即可得答案.
【详解】由可得，，
故选：C
6．B
【分析】由等差数列的前项和公式和等差中项的性质计算即可.
【详解】由题意可得，
故选：B.
7．B
【分析】根据独立重复试验的概率公式即可求解.
【详解】由题意可得：此人有2次击中目标的概率为：
.
故选：B.
8．A
【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.
【详解】∵为等比数列的前n项和，
∴，，成等比数列
∴，
∴，
∴.
故选：A.
9．D
【详解】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．
【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．
10．D
【分析】举例即可说明，充分条件性以及必要条件均不成立，即可得出答案.
【详解】取，，此时数列前几项为，显然该数列不是递减数列，
故由“”不能推出“为递减数列”；
取数列，
显然有，即，
所以，为递减数列，但，
故由“为递减数列”也不能推出“”．
故“”是“为递减数列”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
11．##
【分析】根据题意，设等比数列{an}的公比为，由于，求出的值，由此计算可得答案．
【详解】根据题意，设等比数列的公比为，
若，则＝，
又，解可得．
故答案为：．
12．
【分析】根据两个年级的跳绳次数的集中程度判断.
【详解】由两个年级的跳绳次数的频率分布直方图可知，一年级的跳绳次数相对比较集中，二年级的跳绳次数相对比较分散，
所以
故答案为：.
13．
【分析】求定义域，求导，利用导函数大于0解不等式，求出递增区间.
【详解】的定义域为，
，
令，解得：或，
因为定义域为，
所以单调递增区间为.
故答案为：
14．②③④
【分析】对①，举出反例判断即可；
对②，求导分析单调性即可；
对③，令，参变分离得到，再根据函数的图象数形结合分析即可
对④，设切点，再根据切点在函数、切线上，结合导数的几何意义分析即可
【详解】对①，当时，，不存在零点，故①错误；
对②，当时，在定义域上恒成立，故函数在定义域内单调递增，故②正确；
对③，显然不为零点，令，即，设函数，则，令可得，易得为增函数，且，，故存在使得成立，又当时，当时，故当时，，单调递减；当时，，单调递减；当时，，单调递增.故当时有极小值，故当时有两个零点.
故③正确；
对④，若，使得直线为函数的一条切线，则设切点为，因为，故，即，故，当时，当时，故存在使得成立，故有解，此时满足条件，故④正确
故答案为：②③④
【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的零点、单调性问题，同时也考查了根据导数的几何意义分析切线的问题，属于难题
15．(1)
(2)最大值为，最小值为.
【分析】(1)求导，利用导数的几何意义可求得切线方程；
(2) 利用导数确定函数在区间上的单调性，进而可得最值.
【详解】（1）由题意知，，即切点为，
由已知，则，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故在点处的切线方程为：
（2）令，即得或，
令，则得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值点为，，因为
,,
故在区间上的最大值为，最小值为.
16．(1)乙进入决赛的可能性最大
(2)答案见解析
【分析】（1）根据相互独立事件同时发生的概率公式计算得解；
（2）根据（1）及相互独立事件同时发生的概率公式计算，列出分布列.
【详解】（1）甲队进入决赛的概率为，
乙队进入决赛的概率为，
丙队进入决赛的概率为，
显然乙队进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大．
（2）由（1）可知：甲､乙､丙三队进入决赛的概率分别为，
的可能取值为，
，
，
，
，
所以的分布列为：
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解；
（2）结合等差数列的求和公式即可求解；
（3）结合等差数列的性质及等差数列的求和公式即可求解.
【详解】（1）∵为等差数列的前n项和，，．
∴，
解得，
∴数列的通项公式为．
（2）由（1）知，．
（3）∵，，成等比数列，∴，
即，即，又因为， 解得.
18．（1）；（2）分布列见解析，；（3）
【分析】（1）根据图表得到高于8500元的城市有6座，得到答案.
（2）的可能取值为，计算概率得到分布列，再计算期望得到答案.
（3）根据数据的波动性得到答案.
【详解】（1）根据图表知：月平均收入薪资高于8500元的城市有6座，故
（2）的可能取值为，则
；；
分布列为：
（3）根据图像知月平均收入薪资对应数据波动更大，故
【点睛】本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，方差，意在考查学生的综合应用能力.
19．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）先求解出，然后求解出，根据直线的点斜式方程求解出切线方程；
（2）采用分类讨论的方法进行分析：、、、，分析每种情况下的单调性并确定最大值，注意结合分析，由此可完成证明.
【详解】（1）因为，所以，
所以在处的切线方程为：，即；
（2）当时，，所以在上单调递增，
又因为，所以恒成立；
当时，，此时，
若单调递增，
若单调递减，
若单调递增，
且，，所以恒成立；
当时，，，
若，单调递减，
若，单调递增，
且时，，所以恒成立；
当时，，此时，
若单调递减，
若单调递增，
且，又时，，
所以时，，所以恒成立；
综上可知：当时，．
【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的证明问题的关键在于分类讨论方法的使用，通过分类讨论分析每种情况下的单调性以及取值特点，同时注意结合的值以及的取值正负进行分析判断.
4
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2
3
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高二数学
试卷说明：
1．本试卷共三道大题，共6页.
2．卷面满分120分，考试时间90分钟.
3．试题答案一律在答题纸上作答，在试卷上作答无效.
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．函数在处的瞬时变化率为（ ）
A．2B．C．D．1
2．若、、成等差数列，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知直线是曲线的切线，则切点坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．已知某一离散型随机变量的分布列，且，则的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
5．已知函数为的导函数，则（ ）
A．B．
C．D．
6．等差数列中，设前项和为，，则等于（ ）
A．80B．85C．90D．95
7．某人射击一次击中目标的概率是，经过3次射击，此人有2次击中目标的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
9．函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知等比数列的公比为q，则“”是“为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
11．在等比数列中，，则 ．
12．为了解学生的体能情况，抽取某学校一、二年级部分学生进行跳绳测试，将所得的数据整理后画出频率分布直方图（如图），设一年级跳绳次数为，二年级跳绳次数为，则 ．（填“”或“”）
13．函数的单调递增区间是 ．
14．函数（其中，e为自然常数）．关于函数有四个结论：
①，函数总存在零点．
②，函数在定义域内单调递增．
③，使函数存在2个零点．
④，使得直线为函数的一条切线．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本题共5小题，共60分）
15．设函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
16．据世界田联官方网站消息，原定于2023年5月日在中国广州举办的世界田联接力赛延期至2025年4月至5月举行.据了解，甲､乙､丙三支队伍将会参加2025年4月至5月在广州举行的米接力的角逐.接力赛分为预赛､半决赛和决赛，只有预赛､半决赛都获胜才能进入决赛.已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和.
(1)甲､乙､丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；
(2)设甲､乙､丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列.
17．设为等差数列的前n项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求；
(3)若，，成等比数列，求m的值．
18．随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争，吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务，在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如下图所示.
（1）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率；
（2）现有2名大学毕业生在这15座城市中各随机选择一座城市就业，且2人的选择相互独立，记X为选中月平均收入薪资高于8500元的城市的人数，求X的分布列和数学期望E（X）；
（3）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为，月平均期望薪资对应数据的方差为，判断与的大小（只需写出结论）
19．已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)证明：当时，．
1．B
【解析】函数在某点处的瞬时变化率即为函数在改点的导数值，求导得解
【详解】，
所以函数在处的瞬时变化率为
故选：B
【点睛】本题考查函数在某点处的导数值，属于基础题.
2．A
【分析】利用等差中项的性质可求得的值.
【详解】因为、、成等差数列，则.
故选：A.
3．A
【分析】设切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，代入已知点求出，即可求出切点坐标.
【详解】直线过点，
设是曲线上的切点，
，所以在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，
即，将代入上式得，
所以切点为.
故选：A
4．B
【分析】根据分布列的性质及期望公式得到方程组，解得即可.
【详解】依题意可得，解得.
故选：B
5．C
【分析】根据导数的运算法则以及基本初等函数的求导公式，即可得答案.
【详解】由可得，，
故选：C
6．B
【分析】由等差数列的前项和公式和等差中项的性质计算即可.
【详解】由题意可得，
故选：B.
7．B
【分析】根据独立重复试验的概率公式即可求解.
【详解】由题意可得：此人有2次击中目标的概率为：
.
故选：B.
8．A
【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.
【详解】∵为等比数列的前n项和，
∴，，成等比数列
∴，
∴，
∴.
故选：A.
9．D
【详解】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．
【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．
10．D
【分析】举例即可说明，充分条件性以及必要条件均不成立，即可得出答案.
【详解】取，，此时数列前几项为，显然该数列不是递减数列，
故由“”不能推出“为递减数列”；
取数列，
显然有，即，
所以，为递减数列，但，
故由“为递减数列”也不能推出“”．
故“”是“为递减数列”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
11．##
【分析】根据题意，设等比数列{an}的公比为，由于，求出的值，由此计算可得答案．
【详解】根据题意，设等比数列的公比为，
若，则＝，
又，解可得．
故答案为：．
12．
【分析】根据两个年级的跳绳次数的集中程度判断.
【详解】由两个年级的跳绳次数的频率分布直方图可知，一年级的跳绳次数相对比较集中，二年级的跳绳次数相对比较分散，
所以
故答案为：.
13．
【分析】求定义域，求导，利用导函数大于0解不等式，求出递增区间.
【详解】的定义域为，
，
令，解得：或，
因为定义域为，
所以单调递增区间为.
故答案为：
14．②③④
【分析】对①，举出反例判断即可；
对②，求导分析单调性即可；
对③，令，参变分离得到，再根据函数的图象数形结合分析即可
对④，设切点，再根据切点在函数、切线上，结合导数的几何意义分析即可
【详解】对①，当时，，不存在零点，故①错误；
对②，当时，在定义域上恒成立，故函数在定义域内单调递增，故②正确；
对③，显然不为零点，令，即，设函数，则，令可得，易得为增函数，且，，故存在使得成立，又当时，当时，故当时，，单调递减；当时，，单调递减；当时，，单调递增.故当时有极小值，故当时有两个零点.
故③正确；
对④，若，使得直线为函数的一条切线，则设切点为，因为，故，即，故，当时，当时，故存在使得成立，故有解，此时满足条件，故④正确
故答案为：②③④
【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的零点、单调性问题，同时也考查了根据导数的几何意义分析切线的问题，属于难题
15．(1)
(2)最大值为，最小值为.
【分析】(1)求导，利用导数的几何意义可求得切线方程；
(2) 利用导数确定函数在区间上的单调性，进而可得最值.
【详解】（1）由题意知，，即切点为，
由已知，则，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故在点处的切线方程为：
（2）令，即得或，
令，则得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值点为，，因为
,,
故在区间上的最大值为，最小值为.
16．(1)乙进入决赛的可能性最大
(2)答案见解析
【分析】（1）根据相互独立事件同时发生的概率公式计算得解；
（2）根据（1）及相互独立事件同时发生的概率公式计算，列出分布列.
【详解】（1）甲队进入决赛的概率为，
乙队进入决赛的概率为，
丙队进入决赛的概率为，
显然乙队进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大．
（2）由（1）可知：甲､乙､丙三队进入决赛的概率分别为，
的可能取值为，
，
，
，
，
所以的分布列为：
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解；
（2）结合等差数列的求和公式即可求解；
（3）结合等差数列的性质及等差数列的求和公式即可求解.
【详解】（1）∵为等差数列的前n项和，，．
∴，
解得，
∴数列的通项公式为．
（2）由（1）知，．
（3）∵，，成等比数列，∴，
即，即，又因为， 解得.
18．（1）；（2）分布列见解析，；（3）
【分析】（1）根据图表得到高于8500元的城市有6座，得到答案.
（2）的可能取值为，计算概率得到分布列，再计算期望得到答案.
（3）根据数据的波动性得到答案.
【详解】（1）根据图表知：月平均收入薪资高于8500元的城市有6座，故
（2）的可能取值为，则
；；
分布列为：
（3）根据图像知月平均收入薪资对应数据波动更大，故
【点睛】本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，方差，意在考查学生的综合应用能力.
19．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）先求解出，然后求解出，根据直线的点斜式方程求解出切线方程；
（2）采用分类讨论的方法进行分析：、、、，分析每种情况下的单调性并确定最大值，注意结合分析，由此可完成证明.
【详解】（1）因为，所以，
所以在处的切线方程为：，即；
（2）当时，，所以在上单调递增，
又因为，所以恒成立；
当时，，此时，
若单调递增，
若单调递减，
若单调递增，
且，，所以恒成立；
当时，，，
若，单调递减，
若，单调递增，
且时，，所以恒成立；
当时，，此时，
若单调递减，
若单调递增，
且，又时，，
所以时，，所以恒成立；
综上可知：当时，．
【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的证明问题的关键在于分类讨论方法的使用，通过分类讨论分析每种情况下的单调性以及取值特点，同时注意结合的值以及的取值正负进行分析判断.
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