2022-2023学年新疆乌鲁木齐市第六十一中学高二下学期期中数学试题含答案

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考试时间：100分钟；满分100分
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（每题4分，共计40分）
1. 已知{}是等差数列，且，则=（ ）
A. 2B. 0C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，由，即，解得.
所以，所以.
故选：B
2. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算作答.
【详解】因为，，所以.
故选：C
3. 已知定义在［0，3］上的函数的图像如图，则不等式＜0的解集为（ ）
A. (0，1)B. (1，2)
C. (2，3)D. (0，1)(2，3)
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的导数与函数的单调性的关系即得结论．
【详解】由图象知在上是减函数，所以的解集是．
故选：B．
4. 某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为（ ）
A. 120种B. 84种
C. 52种D. 48种
【答案】C
【解析】
【分析】利用间接法，先求出8人中任选3人的方案，再求出没有女生的方案，即可求解.
【详解】8人中任选3人的组队方案有种，
没有女生的方案有种，
所以符合要求的组队方案有种.
故选：C.
5. 若的展开式中的系数是80，则实数a的值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】直接代入二项式展开式的通项公式，令的指数为3即可求解.
【详解】依题意，
的展开式的通项公式：，令r＝3，
则的系数是，解得a＝2．
故选：B．
6. 设等比数列的前项和为，若，且成等差数列，则（ ）
A. 63B. 31C. -63D. -31
【答案】A
【解析】
【分析】设出公比，根据成等差数列列出方程，求出公比，利用等比求和公式求出答案.
【详解】设公比为，
因为成等差数列，所以，
则，解得：或0（舍去）.
因为，所以，故.
故选：A.
7. 九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，在某种玩法中，用表示解下个圆环所需要移动的最少次数，数列满足，且则（ ）
A. 1B. 4C. 7D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用数列通项的递推公式求出结果.
【详解】.
故选：C.
8. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数的几何意义求出函数在处的导数，从而求出切线的斜率，再根据两直线垂直建立等式关系，解之即可．
【详解】
曲线在点处的切线方程是，即
因直线与直线垂直
，即2．
故选：B
9. 函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数与函数的单调性的关系列不等式求的取值范围.
【详解】因为函数在区间上单调递减，
所以在区间上恒成立，
所以在区间上恒成立，
所以，其中，
又函数在上单调递减，
所以当时，函数，取最大值，最大值为，
所以，
即的取值范围为.
故选：B.
10. 我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根x叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“躺平点”新定义，可解得,，利用零点存在定理可得,即可得出结论.
【详解】根据“躺平点”定义可得，又；
所以，解得；
同理，即；
令，则，即为上的单调递增函数，
又，所以在有唯一零点，即；
易知，即，解得；
因此可得.
故选：B
第II卷（非选择题）
二、填空题（每题5分，共计20分）
11. 函数的单调递减区间为______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用导数求得的单调递减区间.
【详解】函数的定义域为，∵，
令得，
∴函数的单调递减区间是．
故答案为：
12. 函数在取得极值，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】由在取得极值，得，求出导数，代入求解，再检验即可．
【详解】因为，
所以，
因为在取得极值，
所以，
解得，
所以，
当时，，当时，，
所以时取得极大值，
故答案：．
13. 若的展开式的二项式系数之和为，则的展开式中的系数为 ______
【答案】
【解析】
【分析】根据二项式系数之和求出n，再利用二项式展开式的通项公式，即可求出的展开式中的系数．
【详解】的展开式的二项式系数之和为，，
的展开式中的系数为．
故答案为：．
14. 2023年春节期间，电影院上映《满江红》《流浪地球2》《熊出没·伴我“熊芯”》等多部电影，这些电影涵盖了悬疑、科幻、动画等多类型题材，为不同年龄段、不同圈层的观众提供了较为丰富的观影选择.某居委会有6张不同的电影票，奖励给甲、乙、丙三户“五好文明家庭”，其中一户1张，一户2张，一户3张，则共有______种不同的分法.
【答案】360
【解析】
【分析】根据分步乘法计数原理结合排列组合即可求解.
【详解】从6张电影票中任选1张，有种选法；从余下的5张中任选2张，有种选法；最后余下3张全选，有种选法.由于甲、乙、丙是不同的三户“五好文明家庭”，因此共有种不同的分法.
故答案为:360
三、解答题（每题10分，共计40分）
15. 已知函数．
（1）求的极值；
（2）求在区间上的最大值与最小值.
【答案】（1）极大值是，极小值是
（2）最大值为2，最小值为
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；
（2）根据函数的单调性以及极值，结合，的值，求出函数的最值即可.
【小问1详解】
∵，
∴，
故的极大值是，极小值是；
【小问2详解】
由（1）知：
即函数在区间,上的最大值为2，最小值为.
16. 某机构对某品牌机电产品进行了质量调查，下面是消费者关于质量投诉的数据：
（1）如果该品牌机电产品收到一个消费者投诉，那么投诉的原因不是凹痕的概率是多少？
（2）已知投诉发生在保质期后，投诉的原因是产品外观的概率是多少？
（3）若事件：投诉的原因是产品外观，事件：投诉发生在保质期内，则和是独立事件吗？
【答案】（1）
（2）
（3）不相互独立
【解析】
【分析】（1）（2）根据条件概率公式直接计算；
（3）由独立事件概率乘法公式直接判断.
【小问1详解】
由已知得投诉的原因不是凹痕的概率为；
【小问2详解】
投诉发生在保质期后，投诉的原因是产品外观的概率为；
【小问3详解】
由已知得，，，所以不相互独立
17. 已知等差数列满足，，公比不为等比数列满足，.
（1）求与的通项公式；
（2）设，求的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件列出方程组，分别求出等差数列和等比数列的首项、公差或公比，根据定义写出通项公式即可.
（2）由错位相减法结合等比数列求和公式法进行运算即可求解.
【小问1详解】
由题意不妨设等差数列、等比数列的公差、公比分别为，
所以有和，
注意到，所以分别解得和，
因此由定义可知与的通项公式分别为.
【小问2详解】
由（1）可知，
所以由题意有，
当时，有，
所以有，
以上两式作差得
，
当时，有，
综上所述：的前项和为.
18. 已知函数，（其中）．
（1）讨论的单调性；
（2）对于任意，都有成立，求a的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出，再讨论，，和时导数的正负及函数的单调性；
（2）由对于任意，都有成立等价于对于任意，，构造，其中，由导数求出的最大值，即可得出的取值范围．
【小问1详解】
因为函数，其中，
所以，
令，得或，
当时，，故函数在单调递增，
当时，当时，，当时，，
故函数在和上单调递增，在上单调递减，
当，即时，当时，，当时，，
故函数在和上单调递增，在上单调递减，
当，即时，当时，，当时，，
故函数在上单调递增，在上单调递减；
综上所述，
当时，函数在单调递增，
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减．
【小问2详解】
对于任意，都有成立对于任意，，
即对于任意，对于任意，，
设，其中，
则，
因为，
所以，
所以，
所以在单调递增，
所以，
所以，
即．
x
1
3
+
0
-
0
+
单调递增
极大值2
单调递减
极小值
单调递增
x
1
2
+
0
-
单调递增
极大值2
单调递减
擦伤
凹痕
外观
合计
保质期内
18%
13%
32%
保质期后
12%
22%
3%
37%
合计
30%
35%
35%
100%