高考数学一轮复习第九章第八讲离散型随机变量的数字特征课件

这是一份高考数学一轮复习第九章第八讲离散型随机变量的数字特征课件，共46页。PPT课件主要包含了1A2，答案B，答案C等内容，欢迎下载使用。
1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.2.会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随
机变量的均值、方差解决一些简单实际问题.
1.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量 X 的分布列为
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X).(a，b 为常数)
3.两点分布、二项分布与超几何分布的数字特征(1)若 X 服从两点分布，则 E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).(2)若 X～B(n，p)，则 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
(3)若 X 为从包含 M 件次品的 N 件产品中，不放回地随机抽取
【名师点睛】均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b 为常数).
均值与方差的四个常用性质
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中 k 为常数.(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2).(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
(4)若 X1，X2 相互独立，则 E(X1X2)＝E(X1)·E(X2).
考点一 离散型随机变量的均值与方差[例1](1)(2022 年石河子校级月考)“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，在中国思想史上产生过深远影响.为弘扬中华优秀传统文化，某校计划开展“四书”诵读比赛活动，某班有 4 名同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这 4 本书中选取 1本进行准备，且各自选取的书均不相同.比赛时，若这 4 名同学从这 4 本书中随机抽取 1 本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书
的学生人数的数学期望为( 　　)
解析：记抽到自己准备的书的学生人数为 Y，则 Y 所有可能取值为 0，1，2，4，
(2)(2023 年武汉市月考)冰壶比赛是 2022 年 2 月 4 日至 2 月 20 日在中国举行的第 24 届冬季奥运会的比赛项目之一.冰壶比赛的场地如图 9-8-1 所示，其中左端(投掷线 MN 的左侧)有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线 MN 将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时到营垒区圆心 O 的距离大小决定胜负.甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆 O 中，得 3 分；冰壶的重心落在圆环 A 中，得 2 分；冰壶的重心落在圆环 B 中，得 1 分；其余情况均得 0
①求甲、乙两人所得分数相同的概率；
②甲投掷冰壶 10 次，每次掷冰壶的结果互不影响，求甲得分
②设甲掷冰壶一次的得分为 X，则 X 可能取值为 0，1，2，3，
所以随机变量 X 的分布列为：
所以甲投掷冰壶 10 次的得分的期望值为E(10X)＝10E(X)＝20.
【题后反思】求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部取值.(2)求ξ取每个值的概率.(3)写出ξ的分布列.
(4)由均值、方差的定义求 E(ξ)，D(ξ).
1.(一题两空)(2022 年浙江卷)现有 7 张卡片，分别写上数字 1，2，2，3，4，5，6.从这 7 张卡片中随机抽取 3 张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则 P(ξ＝2)＝________，E(ξ)＝________.
解析：根据题意可得ξ的取值可为 1，2，3，4，
2.(2023 年新余市月考)一袋子中有除颜色外完全相同的 3 个白球和 4 个黑球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放
回，取球 7 次，设取得的白球数为 X，则 D(X)＝(
作答.假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是 且每
考点二 均值与方差在决策问题中的应用
[例 2]为了进一步宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动.活动规定初赛需要从 8 道备选题中随机抽取 4 道题目进行
道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中 6 道题且另外 2道题不能完成.
(1)求小明至少正确完成其中 3 道题的概率；
(2)设随机变量 X 表示小宇正确完成题目的个数，求 X 的分布
(3)现规定至少完成其中 3 道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛(活动规则不变)会更好，并说明理由.
解：(1)记“小明至少正确完成其中 3 道题”为事件 A，
因为 P(B)＞P(A)，故小宇进决赛的可能性更大，所以应选择小宇去参加比赛.
【题后反思】离散型随机变量的期望和方差应用问题的解题
实际问题中，若两个随机变量ξ1，ξ2，有 E(ξ1)＝E(ξ2)或 E(ξ1)与 E(ξ2)较为接近时，就需要用 D(ξ1)与 D(ξ2)来比较两个随机变量的稳定程度.一般将期望最大(或最小)的方案作为最优方案.若各方案的期望相同，则选择方差最小(或最大)的方案作为最优方案.
(2023 年广东月考)某企业拥有甲、乙两条零件生产线，为了解零件质量情况，采用随机抽样方法从两条生产线共抽取 180 个零件，测量其尺寸(单位：mm)得到如表统计表，其中尺寸位于[55，58)的零件为一等品，位于[54，55)和[58，59)的零件为二等品，否则零件为三等品.
(1)完成 2×2 列联表，依据α＝0.05 的独立性检验，能否认为
零件是否为一等品与生产线有关联？
(2)将样本频率视为概率，从甲、乙两条生产线中分别随机抽取 1 个零件，每次抽取零件互不影响，以ξ表示这 2 个零件中一等品的数量，求ξ的分布列和数学期望 E(ξ)；
(3)已知该企业生产的零件随机装箱出售，每箱 60 个.产品出厂前，该企业可自愿选择是否对每箱零件进行检验.若执行检验，则每个零件的检验费用为 5 元，并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不执行检验，则对每个卖出的三等品零件支付 120 元赔偿费用.现对一箱零件随机检验了 20 个，检出了 1 个三等品.将从两条生产线抽取的所有样本数据的频率视为概率，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望作为决策依据，是否需要对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.
解：(1)由题意得列联表如下：
零假设为 H0：零件是否为一等品与生产线无关.根据列联表中的数据，经计算得到
4.621＞3.841＝x0.05.依据小概率值α＝0.05 的独立性检验，推断 H0 不成立，可以认为零件是否为一等品与生产线有关联.
若不对余下的所有零件进行检验，设检验费用与赔偿费用之和为 Y，则 Y＝20×5＋120X，所以 E(Y)＝100＋120×E(X)＝100＋240＝340.若对余下的所有零件进行检测，则检验费用为 60×5＝300(元).∵340＞300，∴应对剩下零件进行检验.
的生产线.据统计，每条生产线每月出现故障的概率为　，且至多
⊙利用分类讨论思想求数学期望
[例 3](2021 年佛山市调研)某企业拥有三条相同的且相互独立
(1)求该企业每月有且只有 1 条生产线出现故障的概率；
(2)在正常生产的情况下，每条生产线每月的利润是 12 万元；如果一条生产线出现故障能及时维修，还能创造 8 万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线就没有利润.为提高生产效益，企业决定安排维修工人对出现故障的生产线进行维修.如果一名维修工人每月只能及时维修一条生产线，且一名工人每月所需费用为 1 万元，以该企业每月实际利润的期望值为决策依据，你选择安排几名维修工？(实际利润＝生产线创造利润－维修工人费用)
解：(1)设 3 条生产线中出现故障的条数为 X，
(2)①安排一名维修工时，设该企业每月的实际获利为 Y1 万元.若 X＝0，则 Y1＝12×3－1＝35；
若 X＝1，则 Y1＝12×2＋8×1－1＝31；
若 X＝2，则 Y1＝12×1＋8×1＋0×1－1＝19；若 X＝3，则 Y1＝12×0＋8×1＋0×2－1＝7；
②安排两名维修工时，设该企业每月的实际获利为 Y2 万元.若 X＝0，则 Y2＝12×3－2＝34；
若 X＝1，则 Y2＝12×2＋8×1－2＝30；若 X＝2，则 Y2＝12×1＋8×2－2＝26；
若 X＝3，则 Y2＝12×0＋8×2＋0×1－2＝14；
④安排三名维修工时，设该企业每月的实际获利为 Y3 万元.若 X＝0，则 Y3＝12×3－3＝33；若 X＝1，则 Y3＝12×2＋8×1－3＝29；若 X＝2，则 Y3＝12×1＋8×2－3＝25；若 X＝3，则 Y3＝12×0＋8×3＋0×1－3＝21；
依据，故选择安排两名维修工时实际利润最大.
(2022 年肥城市模拟)“学习强国”学习平台的答题竞赛包括三项活动，分别为“四人赛”“双人对战”和“挑战答题”.在一天内参与“四人赛”活动，每局第一名积 3 分，第二、第三名各积 2 分，第四名积 1分，每局比赛相互独立.在一天内参与“双人对战”活动，每局比赛有积分，获胜者得 2 分，失败者得 1 分，每局比赛相互独立.已知甲参加“四
分的概率互不影响，均为　，记乙进到n阶的概率为Pn，求P12.
(1)记甲在一天中参加“四人赛”和“双人对战”两项活动(两项活动均只参加一局)的总得分为 X，求 X 的分布列与数学期望；(2)“挑战答题”比赛规则如下：每位参赛者每次连续回答 5 道题，在答对的情况下可以持续答题，若第一次答错时，答题结束，积分为 0 分，只有全部答对 5 道题可以获得 5 个积分.某市某部门为了吸引更多职工参与答题，设置了一个“得积分进阶”活动，从 1阶到 n(n≥10)阶，规定每轮答题获得 5 个积分进 2 阶，没有获得积分进 1 阶，按照获得的阶级给予相应的奖品，记乙每次获得 5 个积
解：(1)甲参加“四人赛”时，每局比赛获得第三名的概率为
所以 X 的分布列如表所示