2025高考数学一轮复习-10.7-离散型随机变量及其分布列和数字特征【课件】

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ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有_______________与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称________________________P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.3.离散型随机变量的分布列的性质①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②______________________＝1.
X取每一个值xi的概率
若离散型随机变量X的分布列为
4.离散型随机变量的均值与方差
5.均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝________________.(2)D(aX＋b)＝______________ (a，b为常数).
随机变量的线性关系若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量.
(1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.(　　)(2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　　)(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.(　　)(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.(　　)
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
解析　对于(2)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故不正确.
解析　选项A，B表述的都是随机事件；选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0，1，2.
2.(易错题)袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是(　　)A.至少取到1个白球B.至多取到1个白球C.取到白球的个数D.取到球的个数
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　)A.(－∞，2] B.[1，2]C.(1，2] D.(1，2)
3.(易错题)若随机变量X的分布列为
解析　由随机变量X的分布列知P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1，2].
A.p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4B.p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3D.p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
A选项的方差D(X)＝0.65；B选项的方差D(X)＝1.85；C选项的方差D(X)＝1.05；D选项的方差D(X)＝1.45.可知选项B的情形对应样本的标准差最大.
则P(|X－3|＝1)＝________.
5.设随机变量X的概率分布列为
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________.
例1 (1)随机变量X的分布列如下：
解析　因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.
①求2X＋1的分布列；②求随机变量η＝|X－1|的分布列.解　①由分布列的性质知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.列表为
(2)设离散型随机变量X的分布列为
②由①知m＝0.3，列表为
从而2X＋1的分布列为
所以P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3，故η＝|X－1|的分布列为
(2)(多选)设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：
解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4.
例2 有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入座编号为1，2，3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法.(1)求n的值；
(2)求随机变量X的分布列.解　因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，由题意可知X的可能取值是0，2，3，4，
解　随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.
∴随机变量X的分布列为
角度1　期望、方差的计算
则两人所付费用相同的概率为
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ).解　ξ的所有可能取值为0，40，80，120，160，
若按“项目二”投资，设获利X2万元，X2的所有可能取值为500，－300，0.则X2的分布列为：
解　若按“项目一”投资，设获利为X1万元，X1的所有可能取值为300，－150.则X1的分布列为
所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)