2024年湖南省衡阳市祁东县高考数学第三次联考试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年湖南省衡阳市祁东县高考数学第三次联考试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若集合A={x| x≤3}，B={x|x=3n−1,n∈N}，则A∩B=( )
A. ⌀B. {3,6,9}C. {2,5,8}D. {−1,2,5,8}
2.双曲线y24m−x22m=1的渐近线方程为( )
A. y=± 22xB. y=± 2xC. y=±2xD. y=±12x
3.已知cs(π5−α)=13，则sin(11π10+2α)=( )
A. 79B. −79C. 4 29D. −4 29
4.在研究变量x与y之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据(x1,y1)，(x2,y2)，…，(x5,y5)，(6,28)，(0,28)，利用此样本数据求得的经验回归方程为y =107x+1667，现发现数据(6,28)和(0,28)误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为y =4x+m，且i=15yi=140，则m=( )
A. 8B. 12C. 16D. 20
5.函数f(x)= 11csπx−2x+1零点的个数为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
6.如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数，隐函数的求导方法如下：在方程F(x,y)=0中，把y看成x的函数y=y(x)，则方程可看成关于x的恒等式F(x,y(x))=0，在等式两边同时对x求导，然后解出y′(x)即可，例如，求由方程x2+y2=1所确定的隐函数的导数y′，将方程x2+y2=1的两边同时对x求导，则2x+2y⋅y′=0(y=y(x)是中间变量，需要用复合函数的求导法则)，得y′=−xy(y≠0)，那么曲线xy+lny=2在点(2,1)处的切线方程为( )
A. x−3y+1=0B. x+3y−5=0C. 3x−y−5=0D. 2x+3y−7=0
7.如图，正四棱台ABCD−A1B1C1D1容器的的高为12cm，AB=10cm，A1B1=2cm，容器中水的高度为6cm，现将57个大小相同，质地均匀的小铁球放入容器中(57个小铁球均被淹没)，水位上升了3cm，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为( )
A. 31πcm
B. 32πcm
C. 33πcm
D. 34πcm
8.设F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点，若AF2⊥BF2，|AB|=5a3，则C的离心率为( )
A. 2 55B. 35C. 25D. 55
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数z，z1，z2均不为0，则下列说法正确的是( )
A. 若复数z满足z2∈R，且z2>0，则z∈R
B. 若复数z满足1z∈R，则z∈R
C. 若z1+z2∈R，则z1z2∈R
D. 若复数z1，z2满足z1z2−∈R，则z1−z2∈R
10.已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，O为△ABC的重心，csA=15，AO=2，则( )
A. AO=14AB+14ACB. AB⋅AC≤3
C. △ABC的面积的最大值为3 6D. a的最小值为2 5
11.已知函数f(x)和函数g(x)的定义域均为R，若f(2x−2)的图象关于直线x=1对称，g(x)=f(x+1)+x−1，g(x+1)+f(−x)=x+2，且f(0)=0，则下列说法正确的是( )
A. f(x)为偶函数
B. g(x+4)=g(x)
C. 若f(x)在区间(0,1)上的解析式为f(x)=lg2(x+1)，则f(x)在区间(2,3)上的解析式为f(x)=1−lg2(x−1)
D. i=120g(i)=210
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知a>0，过点A(a,a)恰好只有一条直线与圆E：x2+y2−4x+2y=0相切，则a=______，该直线的方程为______.
13.4名男生和2名女生随机站成一排，每名男生至少与另一名男生相邻，则不同的排法种数为______.
14.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=5，AD=3，AA1=4，平面α//平面A1ABB1，则α截四面体ACD1B1所得截面面积的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且{Sn+n2}也是等差数列.
(1)求数列{an}公差；
(2)若a1=−1，求数列{1anan+1}的前n项和Tn，
16.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面ABB1A1⊥平面ABC，平面CBB1C1⊥平面ABC.
(1)证明：BB1⊥平面ABC.
(2)若AB⊥BC，AB=BC=CC1，求直线BC与平面A1BC1所成角的正弦值.
17.(本小题15分)
小张参加某知识竞赛，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张回答A类题正确的概率为0.9，小张回答B类题正确的概率为0.45.已知题库中B类题的数量是A类题的两倍.
(1)求小张在题库中任选一题，回答正确的概率；
(2)已知题库中的题目数量足够多，该知识竞赛需要小张从题库中连续回答10个题目，若小张在这10个题目中恰好回答正确k个(k=0,1,2,…，10)的概率为Pk，则当k为何值时，Pk最大？
18.(本小题17分)
设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，已知点F到圆E：(x+3)2+y2=1上一点的距离的最大值为6.
(1)求抛物线C的方程.
(2)设O是坐标原点，点设抛物线P(2,4)，A，B是抛物线C上异于点P的两点，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点(异于点O)，且O是线段MN的中点，试判断直线AB是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ex−mx，g(x)=x−mlnx.
(1)是否存在实数m，使得f(x)和g(x)在(0,+∞)上的单调区间相同？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
(2)已知x1，x2是f(x)的零点，x2，x3是g(x)的零点.
(i)证明：m>e.
(ii)证明：10，
所以a=1，
则A(1,1)，
圆E：x2+y2−4x+2y=0可化为(x−2)2+(y+1)2=5，
圆心E(2,−1)，kAE=−1−12−1=−2，
此时切线方程为：y−1=12(x−1)，即x−2y+1=0，
∴所求的切线方程为x−2y+1=0.
故答案为：1；x−2y+1=0.
由题意可得A点在圆上，故满足圆的方程，则易求A点坐标，然后代入圆的切线方程，整理即可得到答案．
本题考查圆的方程和运用，考查直线和圆相切的条件，考查运算能力，属于基础题．
13.【答案】288
【解析】解：根据题意，分2步进行分析：
①4名男生先排，共有A44=24种，
②男生排好后，有最左边，中间，最右边的3个空位可用，
若两名女生不相邻，有A32=6种情况，
若两名女生相邻，有3A22=6种情况，
则女生有6+6=12种安排方法，
则有24×12=288种排法．
故答案为：288.
根据题意，分2步进行分析：①4名男生先排，②男生排好后，有最左边，中间，最右边的3个空位可用，分情况讨论两名女生的排法，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
14.【答案】10
【解析】解：平面α截四面体ACD1B1的截面如图所示，
设B1TB1C1=λ，则TRTW=TMTU=VNVU=VSVW=λ，
所以四边形NSRM为平行四边形，
且MR//UW，MN//TV，
在矩形UVWT中，UV=4，VW=5，TM=5λ，MU=5(1−λ)，
TR=4λ，RW=4(1−λ)，
则S平行四边形NSRM=S平行四边形UVWT−2S△NVS−2S△SWR=20−20[λ2+(1−λ)2]，
∵00，
由韦达定理得y1+y2=8t，y1y2=−8m，
易知直线PA的方程为y−4=y1−4x1−2(x−2)，
令x=0，
解得yM=4x1−2y1x1−2，
同理得yN=4x2−2y2x2−2，
因为O是线段MN的中点，
所以4x1−2y1x1−2+4x2−2y2x2−2=0，
整理得8x1x2−8(x1+x2)−2(x1y2+x2y1)+4(y1+y2)=0，
即(y1y2)28−(y1+y2)2+2y1y2−14y1y2(y1+y2)+4(y1+y2)=0，
因为y1+y2=8t，y1y2=−8m，
所以m2−8t2−2m+2tm+4t=0，
整理得(m−2t)(m+4t−2)=0，
若m+4t−2=0，
此时直线AB经过点P，不符合题意；
若m−2t=0，
此时直线AB的方程为x=ty+2t，经过定点(0,−2).
【解析】(1)由题意，根据题目所给信息列出等式求出p的值，进而可得抛物线的方程；
(2)设出直线AB的方程和A，B两点的坐标，将直线AB的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得到y1+y2=8t，y1y2=−8m，推出直线PA的方程，令x=0，求出点M的纵坐标，同理得点N的纵坐标，根据O是线段MN的中点，列出等式再进行求解即可．
本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
19.【答案】(1)解：函数f(x)=ex−mx，g(x)=x−mlnx，
则f′(x)=ex−m，g′(x)=1−mx=x−mx.
当m≤0时，f′(x)≥0，g′(x)≥0，
∴f(x)和g(x)都在(0,+∞)上单调递增，符合题意．
当m>0时，若f(x)和g(x)都在(0,+∞)上的单调区间相同，
则f(x)和g(x)有相同的极值点，
由f′(x)=0，可得x=lnm，由g′(x)=0，可得x=m，
∴lnm=m.
令h(m)=lnm−m，则h′(m)=1m−1=1−mm，
∴h(m)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
则h(m)≤h(1)=−1，∴lnm=m无解．
综上，存在m，使得f(x)和g(x)在(0,+∞)上的单调区间相同，
m的取值范围是(−∞,0].
(2)证明：(i)由题意，f(x)有两个零点，f′(x)=ex−m.
若m≤0，则f′(x)≥0，∴f(x)在R上单调递增，不符合题意．
若m>0，当x0，
所以f(x)在(−∞,lnm)上单调递减，在(lnm,+∞)上单调递增，
且当x→−∞时，f(x)→−∞，当x→+∞时，f(x)→+∞，
∴f(lnm)=m−mlnme，得证．
(ii)令f(x)=0，g(x)=0，得ex=mx，x=mlnx，
即exx=m>0，xlnx=m>0.令m(x)=exx(x>0)，n(x)=xlnx(x>1)，
则m′(x)=ex(x−1)x2，n′(x)=lnx−1(lnx)2.
当x∈(0,1)时，m′(x)0，m(x)单调递增．
当x∈(1,e)时，n′(x)0，n(x)单调递增．
在同一坐标平面内作出函数m(x)=exx(x>0)与函数n(x)=xlnx(x>1)的图象，
它们有公共点A(x2,y2)，如图，
故0