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2023—2024学年下学期初中数学人教新版七年级期中必刷常考题之实数
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这是一份2023—2024学年下学期初中数学人教新版七年级期中必刷常考题之实数，共17页。试卷主要包含了在实数，的相反数是，比较两数的大小，比较大小等内容，欢迎下载使用。
1．a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A．﹣b＜﹣a＜a＜bB．﹣b＜a＜﹣a＜bC．﹣a＜﹣b＜a＜bD．﹣b＜b＜﹣a＜a
2．在实数：3.14159，1.010010001…，4，π，中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．如图，点A，C都是数轴上的点，AB＝AC，则数轴上点C所表示的数为（ ）
A．B．C．D．
4．的相反数是（ ）
A．B．±C．﹣5D．5
5．已知实数a，b在数轴上的位置如图，下列结论错误的是（ ）
A．a＜1＜bB．1＜﹣a＜bC．1＜a＜bD．﹣b＜a＜﹣1
二．填空题（共5小题）
6．比较两数的大小：2 3．（填“＜”或“＞”）
7．比较大小： ．
8．如图，在数轴上点A表示的实数是 ．
9．实数1的相反数是 ．
10．若ab，且a、b是两个连续的整数，则（﹣b）a的值为 ．
三．解答题（共5小题）
11．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
12．材料：∵4＜6＜9，∴，即23，∴的整数部分是2，小数部分为．
问题：已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求的小数部分；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
13．计算：
（1）（﹣1）2023|﹣5|；
（2）（）31．
14．阅读下面的文字，解答问题：
我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用1来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？
事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分．
例如：∵，即23，
∴的整数部分为2，小数部分为 ．
请解答：（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）已知x是8的整数部分，y是8的小数部分，求x﹣y的值
15．（图1）是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线AB，BC将它剪开后，重新拼成一个大正方形ABCD．
（1）在图（1）中，拼成的大正方形ABCD的面积为 ，边AD的长为 ；
知识运用：
（2）现将图（1）水平放置在如图（2）所示的数轴上，使得大正方形的顶点B与数轴上表示﹣1的点重合，若以点B为圆心，BC边的长为半径画圆，与数轴交于点E，求点E表示的数．
2023—2024学年下学期初中数学人教新版七年级期中必刷常考题之实数
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A．﹣b＜﹣a＜a＜bB．﹣b＜a＜﹣a＜bC．﹣a＜﹣b＜a＜bD．﹣b＜b＜﹣a＜a
【考点】实数大小比较；数轴．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】根据图示，可得：a＜0＜b，且﹣a＜b，据此把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列即可．
【解答】解：∵a＜0＜b，且﹣a＜b，
∴﹣a＞0，﹣b＜0，
∵﹣a＜b，
∴﹣b＜a，
∴﹣b＜a＜﹣a＜b．
故选：B．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．
2．在实数：3.14159，1.010010001…，4，π，中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】无理数．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数或开方开不尽的数为无理数，即可解答．
【解答】解：在实数：3.14159，1.010010001…，4，π，中，无理数1.010010001…，π，共2个．、
∴排除A、C、D，
故选：B．
【点评】本题考查了无理数的定义，熟练掌握和运用无理数的定义是解决本题的关键．
3．如图，点A，C都是数轴上的点，AB＝AC，则数轴上点C所表示的数为（ ）
A．B．C．D．
【考点】实数与数轴．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】A
【分析】勾股定理得出AB，由AB＝AC，即可得数轴上点C所表示的数．
【解答】解：A、B、﹣2处的点构成了直角三角形，
∴AB，
∵AB＝AC，
∴AC，
∴C点所表示的数为1，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，注意观察A点的位置，得出数轴上点C所表示的数．
4．的相反数是（ ）
A．B．±C．﹣5D．5
【考点】实数的性质；平方根；算术平方根．
【专题】实数；数感．
【答案】A
【分析】根据相反数的意义求解即可．
【解答】解：的相反数是，
故选：A．
【点评】本题考查相反数，正确记忆在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数是解题关键．
5．已知实数a，b在数轴上的位置如图，下列结论错误的是（ ）
A．a＜1＜bB．1＜﹣a＜bC．1＜a＜bD．﹣b＜a＜﹣1
【考点】实数与数轴．
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】根据实数a，b在数轴上的位置结合绝对值表示该点到原点的距离即可得出答案．
【解答】解：根据实数a，b在数轴上的位置结合绝对值表示该点到原点的距离得出a＜﹣1＜0＜1＜b，且|a|＜|b|，
即a＜1＜b，A选项正确，不符合题意，C选项错误，符合题意；
1＜﹣a＜b，B选项正确，不符合题意；
﹣b＜a＜﹣1，D选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了实数与数轴上的点一一对应的关系，熟练掌握正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．比较两数的大小：2 ＞ 3．（填“＜”或“＞”）
【考点】实数大小比较；算术平方根．
【专题】实数；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先分别求出两个实数的平方的值，比较出它们的大小关系；然后根据：两个正实数，平方大的，这个正实数也大，判断出2、3的大小关系即可．
【解答】解：12，32＝9，
∵12＞9，
∴23．
故答案为：＞．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个正实数，平方大的，这个正实数也大．
7．比较大小： ＜ ．
【考点】实数大小比较．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出，根据5得出0，再得出答案即可．
【解答】解：
，
∵5，
∴0，
∴，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了估算无理数的范围和实数的大小比较，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
8．如图，在数轴上点A表示的实数是 ．
【考点】实数与数轴．
【专题】常规题型；数感．
【答案】
【分析】利用勾股定理求出三角形斜边长，再求出OA即可．
【解答】解：∵三角的直角边分别是1和2，
∴斜边长，
∴OA，
点A表示的实数是．
故答案为：．
【点评】本题考查李用数轴表示无理数的知识点，利用画弧的方法找点是解题关键．
9．实数1的相反数是 1 ．
【考点】实数的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【解答】解：1的相反数是1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
10．若ab，且a、b是两个连续的整数，则（﹣b）a的值为 ﹣64 ．
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；二次根式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】估算出的值，得到a，b的值，代入代数式计算即可．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴34，
∴a＝3，b＝4，
∴（﹣b）a＝（﹣4）3＝﹣64，
故答案为：﹣64．
【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
【考点】估算无理数的大小．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值；
（2）将a、b、c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
【解答】解：（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，
∴a＝5，b＝2，
∵c是的整数部分，
∴c＝3．
（2）将a＝5，b＝2，c＝3代入得：3a﹣b+c＝16，
∴3a﹣b+c的平方根是±4．
【点评】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．
12．材料：∵4＜6＜9，∴，即23，∴的整数部分是2，小数部分为．
问题：已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求的小数部分；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
【考点】估算无理数的大小；平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）3；（2）±4．
【分析】（1）估算出的范围，即可得到的小数部分；
（2）根据5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分求出a，b，c的值，然后求出3a﹣b+c的值，再求它的平方根．
【解答】解：（1）∵9＜15＜16，
∴34，
∴的整数部分是3，小数部分是3；
（2）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分，
∴5a+2＝33＝27，3a+b﹣1＝42＝16，c＝3，
∴a＝5，b＝2，c＝3，
∴3a﹣b+c＝15﹣2+3＝16，
∴3a﹣b+c的平方根是±4．
【点评】本题考查了无理数的估算，立方根，平方根的定义，注意一个正数的平方根有两个，不要漏解．
13．计算：
（1）（﹣1）2023|﹣5|；
（2）（）31．
【考点】实数的运算；绝对值；有理数的乘方；算术平方根；立方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）0；
（2）0.875．
【分析】（1）利用有理数的乘方，算术平方根，绝对值的性质，立方根的定义进行计算即可；
（2）利用算术平方根的定义，算术平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+3﹣5﹣（﹣3）
＝﹣1+3﹣5+3
＝0；
（2）原式0.1251
＝﹣0.5﹣0.125+2.5﹣1
＝0.875．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
14．阅读下面的文字，解答问题：
我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用1来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？
事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分．
例如：∵，即23，
∴的整数部分为2，小数部分为 ．
请解答：（1）的整数部分是 2 ，小数部分是 ；
（2）已知x是8的整数部分，y是8的小数部分，求x﹣y的值
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）2，；
（2）．
【分析】（1）仿照题中给出的方法即可求出的整数部分和小数部分；
（2）先求出的取值范围即可求出的取值范围，从而得出其整数部分和小数部分，即可计算x﹣y的值．
【解答】解：（1）∵，
即，
∴的整数部分为2，小数部分为，
故答案为：2，；
（2）∵，
即，
∴，
∴的整数部分为11，小数部分为，
即x＝11，y，
∴．
【点评】本题考查了无理数的估算，理解题意，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．
15．（图1）是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线AB，BC将它剪开后，重新拼成一个大正方形ABCD．
（1）在图（1）中，拼成的大正方形ABCD的面积为 10 ，边AD的长为 ；
知识运用：
（2）现将图（1）水平放置在如图（2）所示的数轴上，使得大正方形的顶点B与数轴上表示﹣1的点重合，若以点B为圆心，BC边的长为半径画圆，与数轴交于点E，求点E表示的数．
【考点】实数与数轴．
【专题】实数；矩形 菱形 正方形；几何直观．
【答案】（1）大正方形ABCD的面积为10；AD；
（2）点E表示的数为﹣1或﹣1．
【分析】（1）根据10个边长均为1的小正方形剪开后，重新拼成一个大正方形ABCD可得正方形ABCD的面积，由正方形面积公式可得AD的长度；
（2）根据数轴上的点表示的数的特点可得E表示的数．
【解答】解：（1）∵由10个边长均为1的小正方形剪开后，重新拼成一个大正方形ABCD，
∴大正方形ABCD的面积为10×12＝10；
∴AD2＝10，
∴AD；
故答案为：10，；
（2）∵BC＝AD，
∴以点B为圆心，BC边的长为半径画圆，与数轴交于点E，点E表示的数为﹣1或﹣1．
【点评】本题考查实数与数轴，解题的关键是掌握把无理数用数轴上的点表示．
考点卡片
1．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
2．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
3．有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．
4．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
5．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
6．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
7．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
8．实数的性质
（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．
实数的倒数
乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．
9．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
10．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
11．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
12．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/29 15:00:17；用户：组卷4；邮箱：zyb004@xyh.cm；学号：41418967
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1．a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A．﹣b＜﹣a＜a＜bB．﹣b＜a＜﹣a＜bC．﹣a＜﹣b＜a＜bD．﹣b＜b＜﹣a＜a
2．在实数：3.14159，1.010010001…，4，π，中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．如图，点A，C都是数轴上的点，AB＝AC，则数轴上点C所表示的数为（ ）
A．B．C．D．
4．的相反数是（ ）
A．B．±C．﹣5D．5
5．已知实数a，b在数轴上的位置如图，下列结论错误的是（ ）
A．a＜1＜bB．1＜﹣a＜bC．1＜a＜bD．﹣b＜a＜﹣1
二．填空题（共5小题）
6．比较两数的大小：2 3．（填“＜”或“＞”）
7．比较大小： ．
8．如图，在数轴上点A表示的实数是 ．
9．实数1的相反数是 ．
10．若ab，且a、b是两个连续的整数，则（﹣b）a的值为 ．
三．解答题（共5小题）
11．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
12．材料：∵4＜6＜9，∴，即23，∴的整数部分是2，小数部分为．
问题：已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求的小数部分；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
13．计算：
（1）（﹣1）2023|﹣5|；
（2）（）31．
14．阅读下面的文字，解答问题：
我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用1来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？
事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分．
例如：∵，即23，
∴的整数部分为2，小数部分为 ．
请解答：（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）已知x是8的整数部分，y是8的小数部分，求x﹣y的值
15．（图1）是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线AB，BC将它剪开后，重新拼成一个大正方形ABCD．
（1）在图（1）中，拼成的大正方形ABCD的面积为 ，边AD的长为 ；
知识运用：
（2）现将图（1）水平放置在如图（2）所示的数轴上，使得大正方形的顶点B与数轴上表示﹣1的点重合，若以点B为圆心，BC边的长为半径画圆，与数轴交于点E，求点E表示的数．
2023—2024学年下学期初中数学人教新版七年级期中必刷常考题之实数
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A．﹣b＜﹣a＜a＜bB．﹣b＜a＜﹣a＜bC．﹣a＜﹣b＜a＜bD．﹣b＜b＜﹣a＜a
【考点】实数大小比较；数轴．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】根据图示，可得：a＜0＜b，且﹣a＜b，据此把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列即可．
【解答】解：∵a＜0＜b，且﹣a＜b，
∴﹣a＞0，﹣b＜0，
∵﹣a＜b，
∴﹣b＜a，
∴﹣b＜a＜﹣a＜b．
故选：B．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．
2．在实数：3.14159，1.010010001…，4，π，中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】无理数．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数或开方开不尽的数为无理数，即可解答．
【解答】解：在实数：3.14159，1.010010001…，4，π，中，无理数1.010010001…，π，共2个．、
∴排除A、C、D，
故选：B．
【点评】本题考查了无理数的定义，熟练掌握和运用无理数的定义是解决本题的关键．
3．如图，点A，C都是数轴上的点，AB＝AC，则数轴上点C所表示的数为（ ）
A．B．C．D．
【考点】实数与数轴．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】A
【分析】勾股定理得出AB，由AB＝AC，即可得数轴上点C所表示的数．
【解答】解：A、B、﹣2处的点构成了直角三角形，
∴AB，
∵AB＝AC，
∴AC，
∴C点所表示的数为1，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，注意观察A点的位置，得出数轴上点C所表示的数．
4．的相反数是（ ）
A．B．±C．﹣5D．5
【考点】实数的性质；平方根；算术平方根．
【专题】实数；数感．
【答案】A
【分析】根据相反数的意义求解即可．
【解答】解：的相反数是，
故选：A．
【点评】本题考查相反数，正确记忆在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数是解题关键．
5．已知实数a，b在数轴上的位置如图，下列结论错误的是（ ）
A．a＜1＜bB．1＜﹣a＜bC．1＜a＜bD．﹣b＜a＜﹣1
【考点】实数与数轴．
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】根据实数a，b在数轴上的位置结合绝对值表示该点到原点的距离即可得出答案．
【解答】解：根据实数a，b在数轴上的位置结合绝对值表示该点到原点的距离得出a＜﹣1＜0＜1＜b，且|a|＜|b|，
即a＜1＜b，A选项正确，不符合题意，C选项错误，符合题意；
1＜﹣a＜b，B选项正确，不符合题意；
﹣b＜a＜﹣1，D选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了实数与数轴上的点一一对应的关系，熟练掌握正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．比较两数的大小：2 ＞ 3．（填“＜”或“＞”）
【考点】实数大小比较；算术平方根．
【专题】实数；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先分别求出两个实数的平方的值，比较出它们的大小关系；然后根据：两个正实数，平方大的，这个正实数也大，判断出2、3的大小关系即可．
【解答】解：12，32＝9，
∵12＞9，
∴23．
故答案为：＞．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个正实数，平方大的，这个正实数也大．
7．比较大小： ＜ ．
【考点】实数大小比较．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出，根据5得出0，再得出答案即可．
【解答】解：
，
∵5，
∴0，
∴，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了估算无理数的范围和实数的大小比较，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
8．如图，在数轴上点A表示的实数是 ．
【考点】实数与数轴．
【专题】常规题型；数感．
【答案】
【分析】利用勾股定理求出三角形斜边长，再求出OA即可．
【解答】解：∵三角的直角边分别是1和2，
∴斜边长，
∴OA，
点A表示的实数是．
故答案为：．
【点评】本题考查李用数轴表示无理数的知识点，利用画弧的方法找点是解题关键．
9．实数1的相反数是 1 ．
【考点】实数的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【解答】解：1的相反数是1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
10．若ab，且a、b是两个连续的整数，则（﹣b）a的值为 ﹣64 ．
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；二次根式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】估算出的值，得到a，b的值，代入代数式计算即可．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴34，
∴a＝3，b＝4，
∴（﹣b）a＝（﹣4）3＝﹣64，
故答案为：﹣64．
【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
【考点】估算无理数的大小．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值；
（2）将a、b、c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
【解答】解：（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，
∴a＝5，b＝2，
∵c是的整数部分，
∴c＝3．
（2）将a＝5，b＝2，c＝3代入得：3a﹣b+c＝16，
∴3a﹣b+c的平方根是±4．
【点评】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．
12．材料：∵4＜6＜9，∴，即23，∴的整数部分是2，小数部分为．
问题：已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求的小数部分；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
【考点】估算无理数的大小；平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）3；（2）±4．
【分析】（1）估算出的范围，即可得到的小数部分；
（2）根据5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分求出a，b，c的值，然后求出3a﹣b+c的值，再求它的平方根．
【解答】解：（1）∵9＜15＜16，
∴34，
∴的整数部分是3，小数部分是3；
（2）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分，
∴5a+2＝33＝27，3a+b﹣1＝42＝16，c＝3，
∴a＝5，b＝2，c＝3，
∴3a﹣b+c＝15﹣2+3＝16，
∴3a﹣b+c的平方根是±4．
【点评】本题考查了无理数的估算，立方根，平方根的定义，注意一个正数的平方根有两个，不要漏解．
13．计算：
（1）（﹣1）2023|﹣5|；
（2）（）31．
【考点】实数的运算；绝对值；有理数的乘方；算术平方根；立方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）0；
（2）0.875．
【分析】（1）利用有理数的乘方，算术平方根，绝对值的性质，立方根的定义进行计算即可；
（2）利用算术平方根的定义，算术平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+3﹣5﹣（﹣3）
＝﹣1+3﹣5+3
＝0；
（2）原式0.1251
＝﹣0.5﹣0.125+2.5﹣1
＝0.875．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
14．阅读下面的文字，解答问题：
我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用1来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？
事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分．
例如：∵，即23，
∴的整数部分为2，小数部分为 ．
请解答：（1）的整数部分是 2 ，小数部分是 ；
（2）已知x是8的整数部分，y是8的小数部分，求x﹣y的值
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）2，；
（2）．
【分析】（1）仿照题中给出的方法即可求出的整数部分和小数部分；
（2）先求出的取值范围即可求出的取值范围，从而得出其整数部分和小数部分，即可计算x﹣y的值．
【解答】解：（1）∵，
即，
∴的整数部分为2，小数部分为，
故答案为：2，；
（2）∵，
即，
∴，
∴的整数部分为11，小数部分为，
即x＝11，y，
∴．
【点评】本题考查了无理数的估算，理解题意，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．
15．（图1）是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线AB，BC将它剪开后，重新拼成一个大正方形ABCD．
（1）在图（1）中，拼成的大正方形ABCD的面积为 10 ，边AD的长为 ；
知识运用：
（2）现将图（1）水平放置在如图（2）所示的数轴上，使得大正方形的顶点B与数轴上表示﹣1的点重合，若以点B为圆心，BC边的长为半径画圆，与数轴交于点E，求点E表示的数．
【考点】实数与数轴．
【专题】实数；矩形 菱形 正方形；几何直观．
【答案】（1）大正方形ABCD的面积为10；AD；
（2）点E表示的数为﹣1或﹣1．
【分析】（1）根据10个边长均为1的小正方形剪开后，重新拼成一个大正方形ABCD可得正方形ABCD的面积，由正方形面积公式可得AD的长度；
（2）根据数轴上的点表示的数的特点可得E表示的数．
【解答】解：（1）∵由10个边长均为1的小正方形剪开后，重新拼成一个大正方形ABCD，
∴大正方形ABCD的面积为10×12＝10；
∴AD2＝10，
∴AD；
故答案为：10，；
（2）∵BC＝AD，
∴以点B为圆心，BC边的长为半径画圆，与数轴交于点E，点E表示的数为﹣1或﹣1．
【点评】本题考查实数与数轴，解题的关键是掌握把无理数用数轴上的点表示．
考点卡片
1．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
2．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
3．有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．
4．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
5．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
6．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
7．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
8．实数的性质
（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．
实数的倒数
乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．
9．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
10．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
11．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
12．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
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