广东省四会中学、广信中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题（学生版+教师版）

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1. 已知，则的实部是（ ）
A. B. iC. 0D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数除法运算化简，由实部定义可得.
【详解】因为，所以z的实部是0.
故选：C．
2. 如图，在中，为边中点，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助平面向量的线性运算及平面向量基本定理计算即可得.
【详解】为的中点，，
．
故选：D.
3. 在中，若，且，那么一定是（ ）
A. 等腰直角三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形D. 等边三角形
【答案】D
【解析】
分析】利用正弦定理将边化角，即可求出，再由余弦定理求出，从而得解.
【详解】因为，由正弦定理可得，
又，所以，所以，则，
又，所以，
又，由余弦定理，
又，所以，
所以，则为等边三角形.
故选：D
4. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦定理以及诱导公式即可求解.
【详解】由及正弦定理，得，因为，
所以．
反之亦成立，所以“”是“”的充要条件．
故选：A.
5. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位D. 向右平移个单位
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦函数平移的原则即可得到答案.
【详解】，
则把函数图象上所有的点向左平移个单位即可，
故选：A.
6. 如图，摩天轮的半径为m，其中心点距离地面的高度为m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中下列说法正确的是（ ）

A. 转动后点距离地面
B. 若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的
C. 第和第点距离地面的高度相同
D. 摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间长为
【答案】D
【解析】
【分析】设转动过程中，点离地面距离的函数为，由题意求得解析式，然后逐项求解判断.
【详解】设转动过程中，点离地面距离的函数为：
，
由题意得：，
，则 ，
所以 ，
选项A，转到后，点距离地面的高度为：
，故A不正确；
选项B，若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍，
故B不正确；
选项C，因为
，
，
所以 ，
即第和第点距离地面的高度不相同，故C不正确；
选项D，令，
则 ，由，
解得 ，
所以，
即摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间为，
故D正确；
故选：D.
7. 已知，，若向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知：且向量方向不反向，结合向量的坐标运算求解.
【详解】由题意可知：且向量方向不反向，
则，解得且，
所以实数的取值范围为.
故选：C.
8. 已知都是复数，其共轭复数分别为，则下列说法错误的是（ ）
A. B.
C. 若，则D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，利用复数的运算及共轭复数的概念判断AD，根据复数乘积运算及模的运算判断B，举反例判断C.
【详解】对于A，设，
则，而，
故，故A正确；
对于B，，
则
，
又，
所以，故B正确；
对于C，令，则，所以，
但是，故C错误；
对于D，，又，
所以，故D正确.
故选：C
二、多选题（分，部分对得部分的分数)
9. 已知一组样本数据的方差，则（ ）
A. 这组样本数据的总和等于100
B. 这组样本数据的中位数一定为2
C. 数据，，…，的标准差为3s
D. 现有一组新的样本数据，该组样本数据的极差比原样本数据的极差大
【答案】AC
【解析】
【分析】根据方差的形式可求样本均值，从而可判断A，根据方差的性质可判断C的正误，根据极差和中位数的计算方法可判断BD的正误.
【详解】对于A，因为方差，故，所以这组样本数据的总和等于，故A正确.
对于C，数据，，…，的方差为，故其标准差为，故C正确.
对于B，根据方差、均值无法求出中位数，故B错误.
对于D，新样本数据的极差为，
故新的样本数据的极差比原样本数据的极差小，故D错误.
故选：AC.
10. 某学校为了解学生身高（单位：cm）情况，采用分层随机抽样的方法从4000名学生（该校男女生人数之比为）中抽取了一个容量为100的样本.其中，男生平均身高为175，方差为184，女生平均身高为160，方差为179.则下列说法正确的是参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，，，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则（ ）
参考公式：
A. 抽取的样本里男生有60人
B. 每一位学生被抽中的可能性为
C. 估计该学校学生身高平均值为170
D. 估计该学校学生身高的方差为236
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据分层抽样的公式，以及利用每层样本的平均数和方差公式，代入总体的均值和方差公式，即可判断选项.
【详解】对于项，抽取的样本里男生有人，所以A项正确；
对于B项，由题可知，每一位学生被抽中的可能性为，所以B项正确；
对于C项，估计该学校学生身高的平均值为，所以C项错误；
对于D，估计该学校学生身高的方差为，所以D项正确.
故选：ABD
11. 下列各式中值为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用二倍角正弦公式即可判断选项A；利用二倍角余弦公式即可判断选项B；利用辅助角公式可判断选项C；利用两角差的正切公式可判断选项D.
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：，故B不正确；
对于C：；故C正确；
对于D：，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题分)
12. 若，则__________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据给定条件，利用和角正切公式计算即得.
【详解】由，得，
显然，否则，矛盾，
所以.
故答案为：3
13. 如图，在平行四边形中，点在边上，点在边上，且与相交于点，若，则实数______.
【答案】##
【解析】
【分析】将用表示，然后利用三点共线列方程求解即可.
【详解】由得，
因为，
则，
因为三点共线，
所以，解得.
故答案为：.
14. 已知复数满足，则的最大值是__________.
【答案】6
【解析】
【分析】根据复数的几何意义和目标式的几何意义，即可求得结果.
【详解】由题意，复数对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
而表示复数对应的点到点的距离，
最大的距离为，
即的最大值是.
故答案为：.
四、解答题
15. 人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用．某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表．”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示．
（1）求图中a的值；
（2）估计该用户红灯等待时间的中位数（结果精确到0.1）；
（3）根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数．
【答案】（1）
（2）79.3 （3）7次
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为1以及直方图数据即可求解.
（2）先确认频率分布直方图中频率为0.5的位置，再结合中位数定义求解即可.
（3）根据频率分布直方图求出红灯等待时间低于85秒的频率即可求解.
【小问1详解】
因为各组频率之和为1，组距为10，
所以，
解得.
【小问2详解】
因为，
所以中位数位于第三组中，
设中位数为x，则，
解得，所以该用户红灯等待时间的中位数的估计值为79.3.
【小问3详解】
由题红灯等待时间低于85秒的频率为，
故估计该用户在接下来的10次中红灯等待时间低于85秒的次数为次.
16. 已知向量是同一平面内的三个向量，其中．
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若是单位向量，且，求与的夹角.
（3）若，求向量在向量上的投影向量（用坐标表示）.
【答案】（1）或；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）借助共线向量定理表示出，再利用模的坐标表示求解即得.
（2）利用垂直关系的向量表示，结合数量的运算律求出夹角的余弦即得.
（3）利用投影向量的意义求出向量在向量上的投影向量.
【小问1详解】
由，，令，
由，得，
解得，所以或.
【小问2详解】
由，得，由，得，则，
而，则，又，
所以与的夹角.
【小问3详解】
向量，则，，
所以向量在向量上的投影向量.
17. 在中，角、、的对边分别为、、，且，，．
（1）求的面积；
（2）求边的值和的值；
（3）求的值．
【答案】（1）；
（2），；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由同角公式求出，再利用三角形面积公式求解即得.
（2）利用余弦定理、正弦定理直接求解.
（3）由（2）的结论并求出，再利用二倍角公式、差角的余弦公式计算得解.
【小问1详解】
在中，，，则，
所以的面积.
【小问2详解】
由余弦定理有，，则，
由（1）知，，由正弦定理，得.
【小问3详解】
由（2）知，，而，则是锐角，，
又，，
所以．
18. 已知．
（1）求函数图象的对称轴方程；
（2）设的内角所对的边分别为，若且，求周长的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算结合三角恒等变换，可得的表达式，结合正弦函数的性质，即可求得答案；
（2）由求出B，由正弦定理求出的表达式，结合三角恒等变换化简可得的表达式，利用三角函数性质求出其范围，即可得三角形周长的取值范围.
【小问1详解】
由于，
故
，
由，得
故函数图象的对称轴方程为；
【小问2详解】
由，得，而,
故，
由于，则，
则，
则
，
而，
则，即，
故周长的取值范围为.
19. 在中，内角的对边分别为，已知
（1）求角；
（2）已知，点是边上的两个动点（不重合），记.
①当时，设的面积为，求的最小值:
②三角和差化积公式是一组应用广泛的三角恒等变换式，其形式如图:
它在工程学、绘图测量学等方面，有着广泛的应用．现记，请利用该公式，探究是否存在实常数和，对于所有满足题意的，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）①；②存在，，
【解析】
【分析】（1）先由正弦定理边角互化，由三角恒等变换、三角函数化简得解；
（2）①根据判断出，设，，在和中，由正弦定理得的表达式，从而由得解.
②假设存在实常数，由和差化积，积化和差化简整理得到：，故而,进而得解.
【小问1详解】
因为，所以由正弦定理可得，
所以，
所以，所以，
因为是直角三角形内角，故，，
则，所以，
即，又，
所以；
【小问2详解】
①因为，所以（否则时会推出），
又，，所以，.
如图，设，，

则在中，由正弦定理，得，
所以
在中，由正弦定理，得，所以，
，
因为，所以，
故当，即时，；
②假设存在实常数，对于所有满足题意的，都有
成立，
则存在实常数，对于所有满足题意的，
都有，
由题意，是定值，所以，是定值，
对于所有满足题意的成立，
故有,
因为，从而，即，
因为为的内角，所以，
从而，.
【点睛】关键点点睛：选取题干中合适的和差化积积化和差公式，将条件转化成，类似关于的一元一次方程有无数解的条件是来处理.