2021-2022学年广东省四会市四会中学、广信中学高二下学期第二次联考数学试题（解析版）

2021-2022学年广东省四会市四会中学、广信中学高二下学期第二次联考数学试题

一、单选题

1．已知数列是等差数列，且满足，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用等差中项的性质求出的值，进而可求得结果.

【详解】由等差中项的性质可得，可得，因此，.

故选：B.

2．函数的定义域为R，其导数的部分图象如图所示，则下面结论不正确的是（       ）

A．在上函数为增函数

B．在上函数为减函数

C．在上函数有极小值

D．在上函数必有最大值

【答案】D

【分析】根据导函数的图象，可判断出导函数的正负，从而可求得函数的单调区间和极值、最值

【详解】由的部分图象可知，

当或时，，

当时，，

所以在和上为增函数，在上为减函数，

所以为极大值点，为极小值点，

所以ABC正确，

若是图象的最高点，则在上无最大值，所以D错误，

故选：D

3．习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动中华优秀传统文化创造性转化，“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中出现欧洲数学家帕斯卡在年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望，如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第行中从左至右第与第个数的比值为（       ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【分析】第行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数，由此可求得结果.

【详解】由题意可知，第行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数，

因此，第行中从左至右第与第个数的比值为.

故选：A.

4．将5名核酸检测工作志愿者分配到防疫测温､信息登记､维持秩序､现场指引4个岗位，每名志愿者只分配1个岗位，每个岗位至少分配1名志愿者，则不同分配方案共有（       ）

A．120种 B．240种 C．360种 D．480种

【答案】B

【分析】首先从5人中选出2人作为一组，再与其余3人一同分配到4个不同的岗位，按照分步乘法计数原理计算可得；

【详解】解：首先从5人中选出2人作为一组，再与其余3人一同分配到4个不同的岗位，

故有种不同的分配方案；

故选：B

5．函数在点处的切线与坐标轴围成的图形面积是（       ）

A．12 B．9 C． D．

【答案】D

【分析】先利用的导函数求出切线的斜率，即可求出解析式，即可求出截距，最后求出面积.

【详解】由题，，，所以切线为，整理得，易得切线的截距为和12，围成的图形为直角三角形，故所求面积为，

故选：D

6．的展开式中，常数项为（       ）

A．2 B．6 C．8 D．12

【答案】D

【分析】先将展开，再求，展开式的通项，即可求出答案.

【详解】，展开式的通项为：

，当即时， ，所以的展开式中，常数项为.

故选：D.

7．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则下列说法正确的个数有（       ）

①某学生从中选3门，共有30种选法

②课程“射”“御”排在不相邻两周，共有480种排法

③课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法

④课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周共有408种排法

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】①直接计算；②利用插空法；③选项利用捆绑法；④选项分课程“御”排在第一周和不排在第一周两种情况考虑.

【详解】6门中选3门共有种，故①错误；课程“射”“御”排在不相邻两周，共有种排法，故②正确；课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有种排法，故③正确；课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有种排法，故④错误.

故选：B.

8．已知在上单调递增，则实数a的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】转化为，即在上恒成立，利用最小值可得结果.

【详解】因为，

所以，即在上恒成立，

当时，，所以.

所以实数a的取值范围为.

故选：A

二、多选题

9．下列导数运算正确的有（       ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】利用导数公式，运算法则和复合函数的导数公式求解.

【详解】A.，故错误；

B．，故正确；

C.，故错误；

D.，故正确．

故选：BD．

10．下列关于相关系数的说法中，正确的是（       ）

A．相关系数越大，两个变量间线性相关性越强

B．相关系数的取值范围是

C．相关系数时两个变量正相关，时两个变量负相关

D．相关系数时，样本点在同一直线上

【答案】BCD

【分析】根据相关系数的相关结论逐项判断即可.

【详解】对于相关系数，有以下结论：

①、当时，两个变量正相关；当时两个变量负相关.

②、相关系数的绝对值越接近于1，两个变量间线性相关性越强；相关系数的绝对值越接近于0，两个变量之间几乎不存在线性相关关系；

对于A选项：当时，越大，越接近于0，两个变量间的线性相关性越弱，故A选项错误；

对于B选项：由相关系数的意义可得，，故B选项正确；

对于C选项：由相关系数的意义可得C选项正确；

对于D选项：因为相关系数的绝对值越接近1，两个变量间线性相关性越强，所以相关系数时，样本点在同一直线上，故D选项正确；

故选：BCD

11．设离散型随机变量的分布列为

若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（       ）A． B．，

C．， D．，

【答案】CD

【分析】根据频率和为1，求出，再根据离散型随机变量的分布列的性质求出，从而可进行判断

【详解】解：由离散型随机变量的分布列的性质得，，

，

，

离散型随机变量满足，

，．

故选：CD．

12．有两个箱子，第1个箱子有3个白球，2个红球，第2个箱子有4个白球，4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中随机取1个球放到第1个箱子里，则下列判断正确的是（       ）

A．从第2个箱子里取出的球是白球的概率为

B．从第2个箱子里取出的球是红球的概率为

C．从第2个箱子里取出的球是白球前提下，则再从第1个箱子里取出的是白球的概率为

D．两次取出的球颜色不同的概率为

【答案】ABC

【分析】对于ABD，根据互斥事件和独立事件的概率公式求解，对于C，根据条件概率的公式求解即可

【详解】从第2个箱子里取出的球是白球的概率为，故选项A正确；

从第2个箱子里取出的球是红球的概率为，故选项B正确；

设从第2个箱子取出的球是白球为事件，再从第1个箱子取出的球是白球为事件，则，故选项C正确；

两次取出的球颜色不同的概率为，故选项D错误，

故选：ABC.

三、填空题

13．在的二项展开式中，项的系数是___________．

【答案】40.

【详解】分析：根据所给的二项式写出通项，要求自变量的二次方的系数，只要使得指数等于2，看出式子中的系数的表示式，得到结果．

详解：：∵的通项式式 ，

当时，即时，得到含有2的项，

∴它的系数是

故答案为40．

点睛：本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是写出二项式的通项，属基础题．

14．已知__________.

【答案】

【分析】分别令和，两式作差可得答案．

【详解】令，则（1）

令，则（2）

（1）（2）得：，即

故答案为：

15．复兴村村委会以“美丽乡村”为话题，对村民进行了一次问卷调查（一位村民只能参加一次），参加问卷调查村民的得分，则______.

附：参考数据与公式：，若，则；，

【答案】0.8185

【分析】根据正态分布的性质，进行计算概率即可得解.

【详解】由可得，

.

故答案为：

四、双空题

16．某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，第一次烧制，甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为0.5，0.6，0.4，第二次烧制，甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为0.6，0.5，0.75，则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为______；经过两次烧制后，合格工艺品的件数为，则随机变量的方差为______.

【答案】     0.38     0.63

【分析】根据题意可得分为只有甲合格，只有乙合格，只有丙合格，3种情况，根据相互独立事件的概率乘法公式分别

求出3种情况的概率，相加即可求得第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；根据已知可求得每件工艺品经过

两次烧制后合格的概率均为，因为概率相同，可以把它们看成次重复试验发生次的概率，然后根据

二项分布期望公式直接求解.

【详解】第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为

；

经过两次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为

，，，

所以随机变量服从参数为，的二项分布，即，

故.

故答案为：0.38，0.63.

五、解答题

17．已知数列的各项均为互不相等的正数，且，记为数列的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立．

①数列是等比数列；②数列是等比数列；③

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

【答案】答案见解析

【分析】若由①③②：根据等比数列的通项公式，结合等比数列前项和、等比数列的定义进行证明即可；

若①②③：根据等比数列的性质，结合等比数列的通项公式进行求解即可；

若②③①：根据等比数列前项和与通项公式的关系，结合等比数列的通项公式进行求解即可.

【详解】①③②．已知数列是等比数列，．

设数列的公比为，又，所以，因为，所以，

根据题意可知，所以解得，所以，所以，且，因为，

所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列．

①②③．已知数列是等比数列，数列是等比数列．

设数列的公比为，又，根据题意，所以，，

所以，，，，

因为数列是等比数列，所以，即，

化解得，即，根据题意且，所以得，

从而，，所以有．

②③①．已知数列是等比数列，．

因为为数列的前项和，且，所以，

设数列的公比为，根据题意有且，所以，

当时，，

又因为，所以，又，所以有，又，所以，

所以得，

因为

所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列．

18．身高体重指数(BMI)的大小直接关系到人的健康状况，某高中高三(1)班班主任为了解该班学生的身体健康状况，从该班学生中随机选取5名学生，测量其身高、体重的数据如下表.

(1)求体重关于身高的线性回归方程，并预测身高为180cm的同学的体重；

(2)试分析学生的体重差异约有多少是由身高引起的？(注:结果保留两位小数)参考公式:线性回归方程中，，，其中，为样本平均值，.

【答案】(1)，身高为180cm的同学的体重大约为；

(2)

【分析】（1）由所给数据求出，，，，即可求出、，从而求出回归直线方程，再令代入回归直线方程，从而得到预测值；

（2）根据（1）中的回归方程，求出残差，即可求出相关指数，即可判断；

【详解】(1)解：依题意可，，

，

所以，

所以回归直线方程为，

当时，所以身高为180cm的同学的体重大约为；

(2)由（1）回归方程可得，各组数据的残差，如表所示：

所以，

，

则，

故学生的体重差异约有是由身高引起的．

19．某学校准备举办数学文化知识竞赛，进入决赛的条件为：先参加初赛，初赛时，电脑随机产生5道数学文化试题，能够正确解答3道及以上的参赛者进入决赛.若学生甲参赛，他正确解答每道试题的概率均为

（1）求甲在初赛中恰好正确解答4道试题的概率；

（2）进入决赛后，采用积分淘汰制，规则是：参赛者初始分为零分，电脑随机抽取4道不同的数学文化试题，每道试题解答正确加20分，错误减10分，由于难度增加，甲正确解答每道试题的概率变为，求甲在决赛中积分X的概率分布，并求数学期望.

【答案】（1）；（2）概率分布见详解，

【分析】（1）结合二项分布概率公式即可求解；

（2）先确定甲在正确作答0,1,2,3题时获得的积分，再求解其所对应的概率，列出分布列，求解数学期望即可

【详解】（1）甲在初赛中恰好正确解答4道试题的概率为；

（2）甲正确作答0,1,2,3题时获得的积分分别为，

，

；

，

，

故积分对应的分布列为：

故决赛对应积分的数学期望为

20．已知数列满足.

(1)求的通项公式；

(2)在和之间插入n个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知递推公式，分和利用作差法求出数列的通项公式；

（2）依题意可得，利用错位相减法求和即可；

【详解】(1)解：因为，①

当时，

当时，，②

①②得.

所以.

又因为当时，上式也成立，所以的通项公式为.

(2)解：由题可知，得，

则，③

，④

③④得

，

解得.

21．某统计平台对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了100人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成的人数如下表：（注：年龄单位：岁）

(1)若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并通过计算判断是否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”？

(2)若按年龄段用分层随机抽样的方法从样本中年龄在被调查的人中选取8人，现从选中的这8人中随机选取3人，求这3人中年龄在的人数X的概率分布列及X的数学期望．

参考公式及数据：

【答案】(1)列联表见解析，能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”；

(2)分布列见解析，期望为

【分析】（1）直接填出列联表，计算，和6.635比较即可；

（2）先按照分层抽样计算人数，再分别计算X为0，1，2的概率，列出分布列，计算期望即可.

【详解】(1)列联表如下：

计算观测值，

故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”.

(2)、、三个年龄段的人数比为，故抽取人数依次为4，2，2人，故X的取值为0，1，2，

则，，，分布列如下：

故X的数学期望.

22．已知函数.

(1)若在处取得极值，求在区间上的值域；

(2)若函数有1个零点，求a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求导，利用导数判断在区间上的单调性，然后由单调性可得值域；

（2）当时，将问题转化为两个函数的交点问题可得；当时，直接判断可知；当时，利用导数求极值，通过极值结合问题分析可解.

【详解】(1)

因为在处取得极值

所以，得

则时，，在区间上单调递增，

所以

所以在区间上的值域为

(2)的定义域为

函数有一个零点有一个实数根与有一个交点.

当时，由图可知满足题意；

当时，在上无零点；

当时，令，得

令，得

所以，当时，有最大值

因为函数有一个零点，

所以，解得

综上，a的取值范围为.