数学：山东省德州市衢新区2023-2024学年八年级下学期期中试题（解析版）

这是一份数学：山东省德州市衢新区2023-2024学年八年级下学期期中试题（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列选项中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.的被开方数是分数，不是最简二次根式，故该选项是错误的；
B.不是最简二次根式，故该选项是错误的；
C.不是最简二次根式，故该选项是错误的；
D.是最简二次根式，故该选项是正确的；故选：D.
2. 如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）
A. 10B. 13C. 15D. 26
【答案】B
【解析】设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：
，
即最大正方形E的面积为：．故选：B．
3. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】四边形是平行四边形，
，
，
，
故选：B
4. 下列等式不成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A.，本选项不符合题意；
B.，本选项不符合题意；
C.，本选项不符合题意；
D.，本选项符合题意；
故选：D．
5. 如图，矩形中，交于点，分别为的中点．若，则的长为（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】B
【解析】四边形矩形，交于点，，
，
，即，
，
分别为的中点，
是的中位线，
，
故选：B．
6. 在中，，，，点P在内且到各边的距离相等，则这个距离是（ ）
A. 2B. 3C. 3.5D. 以上答案均不对
【答案】B
【解析】∵点P在内且到各边的距离相等，
∴点P在三条角平分线上的交点处，
即，
如图：连接，，．
∵，，，
∴，
设，
，
，
则，
．
故选：B．
7. 某工厂要制作一些等腰三角形的模具，工人师傅对四个模具的尺寸按照腰长、底长和底边上高的顺序进行了记录，其中记录有错误的是（ ）
A. 26，10，24B. 10，16，6
C. 17，30，8D. 13，24，5
【答案】A
【解析】如图，记等腰三角形腰长为，底长为，底边上的高为，
由勾股定理得，，即记录的数据应该满足，
A中，记录错误，故符合要求；
B中，记录正确，故不符合要求；
C中，记录正确，故不符合要求；
D中，记录正确，故不符合要求；
故选：A．
8. 下列命题的逆命题成立的是（ ）
A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 正方形的对角线相等
C. 对顶角相等D. 若，则
【答案】A
【解析】A.对角线互相平分的四边形是平行四边形，
逆命题是，平行四边形的对角线互相平分，成立；
B.正方形的对角线相等，
逆命题是，对角线相等的四边形是正方形，不成立；
C.对顶角相等，
逆命题是，相等的两个角是对顶角，不成立；
D.若，则，
逆命题是，若，则，不成立．
故选：A．
9. 如图，数轴上点B表示的数为1，均垂直于，且，以O为圆心，为半径画弧，交于点C，再以B为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D所表示的数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】垂直于，且，
，
以点为圆心，长为半径的弧交于点，，
，，
以点为圆心，长为半径的弧交数轴于点，，
点表示的数为．故选：C
10. 已知直角三角形的三边满足，分别以为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为，均重叠部分的面积为，则（ ）
A. B.
C. D. 大小无法确定
【答案】C
【解析】如下图，
∵为直角三角形的三边，且。
∴，
∴，
∵，
，
∴．
故选：C．
11. 如图，在中，，F是的中点，作于E，连接、，下列结论不成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵F是的中点，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故选项A不符合题意；
延长，交延长线于M，
∵四边形平行四边形，
∴，
∴，
∵F为中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故选项B不符合题意；
∵，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
∵，
∴，故选项C不符合题意，
∵，∴，
∵，∴，故选项D符合题意；故选：D．
12. 观察下列二次根式的化简：
，
，
，
则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题可得：，，，
所以，
所以
，
所以，
故选：C．
二、填空题
13. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____________．
【答案】x≥
【解析】∵2x﹣3≥0，
∴x≥．
故答案为：x≥．
14. 如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件______使平行四边形ABCD是矩形．
【答案】（答案不唯一）
【解析】若使▱ABCD是矩形，可添加的条件是：
AC=BD；（对角线相等的平行四边形是矩形），∠ABC=90°等（有一个角是直角的平行四边形是矩形），
故答案为：任意写出一个正确答案即可，如：AC=BD或∠ABC=90°．
故答案为：AC=BD（答案不唯一）
15. 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高,则．当，时，____．

【答案】
【解析】∵，，
∴
∴,
故答案为：．
16. 若，，则______．
【答案】
【解析】
∵，
∴原式
故答案为：
17. 如图，矩形中，，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，的周长为______．
【答案】12或
【解析】当为直角三角形时，有两种情况：
①当点落在矩形内部时，如图1，连接，
在中，，，
∵沿折叠，使点B落在点处，
∴，
当为直角三角形时，得到，
∴点A、、C共线，即沿折叠，使点B落在对角线上的点处，
∴，，
∴，
设，则，
在中，
∵，
∴，
解得，
∴，
的周长为；
②当点落在边上时，如图2，
此时为正方形，
∴，
折叠，
∴
在中，
的周长为；
综上所述，的周长为12或．
故答案为：12或．
18. 如图，线段的长为10，点D在线段上运动，以为边长作等边．再以为边长，在线段上方作正方形，记正方形的对角线交点为O．连接，则线段的最小值为______．
【答案】5
【解析】连接、，则、交于点O，连接并延长，过点B作于点M，如图所示：
∵为等边三角形，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点O一定在射线上，
∵垂线段最短，
∴点O在点M处时，线段取最小值，
∵，，
∴，
∴线段取最小值为5．
故答案为：5．
三、解答题
19. 计算：
（1）；
（2）．
（1）解：
；
（1）解：
．
20. 先化简，再求值：，其中，．
解：原式
当，时，原式．
21. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，求小巷的宽．
解：在中，由勾股定理得：
，，
在中，由勾股定理得：，
，
答：小巷的宽为米．
22. 将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结、．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）已知，当四边形是菱形时．的长为__________．
（1）证明：由题意可知，
，，，
四边形地平行四边形；
（2）解：如图，在中，，，，
，，
四边形是菱形，平分，
，
，
，
，
，，
故答案为：．

23. 下面是小明同学数学日记，请完成相应的任务．
任务：
（1）以上证明过程中的“依据”是______．
（2）请根据小明的思路，完成证明过程．
（3）此时老师又提示让我们大胆运用所学知识加以证明，请你用不同于小明的方法再次证明．
如图2，在中，是边上的中线，且，求证：是直角三角形．
（1）解：等边对等角．
（2）解：在中，是边上的中线，
∴．
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴是直角三角形．
（3）证明：过D作，垂足为E，
∴．
∵在中，是边上的中线，
∴．
又∵，
∴．
又∵，垂足为E，
∴E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，即，
∴是直角三角形．
24. 探究过程：（1）；（2）；（3）；（4）
观察计算过程：
（1）按照上面的思路解法，计算；
（2）请你用含的式子表示上面过程中的规律；
（3）应用根据上面解题方法解决下面的数学问题：
如图，已知图1是边长为和的两个正方形，图2是由图1通过切割后拼成的一个大正方形，请求出大正方形的边长．

【答案】（1）50 （2）
（3）757
【解析】
【分析】（1）根据探究规律直接求解即可得到答案；
（2）根据探究规律及完全平方公式直接写出即可得到答案；
（3）根据图1，图2的面积相等列等式求解即可得到答案；
（1）解：由题意可得，；
（2）解：由探究规律可得，
；
（3）解：设大正方形的边长为a，
由图1和图2的面积相等可得：，即，
∴，
即大正方形的边长为．
25. 已知，．
（1）如图1，若以为边作等边，且点E恰好在边上，则的面积为______；
（2）如图2，若以为斜边作等腰直角三角形，且点F恰好在边上，过C作交于G，连接．用等式表示此时线段之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，以为边作，且，．若，直接用等式表示此时与的数量关系．
（1）解：作于点I，
∵是边长为2的等边三角形，
∴，
∴，
∴此时的面积为；
（2）解：；理由如下，
延长交的延长线于点H，延长交的延长线于点J，
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：．
连接，作并交MN的延长线于点K，
由题意得，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵
∴，即是直角三角形，
∵四边形是平行四边形，且，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即．2023年4月11日 星期二 晴
今天数学活动课上，老师提出了一个问题，如图1，在中，是边上的中线，且，求证：是直角三角形．
我展示的方法：
证明：：在中，是边上的中线，
∴．
又∵，∴，
∴，（依据）．
……