山东省德州市衢新区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

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一、选择题：（每小题4分，共48分）
1. 下列选项中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）
A. 10B. 13C. 15D. 26
3. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
4. 下列等式不成立的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，矩形中，交于点，分别为的中点．若，则的长为（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
6. 在中，，，，点P在内且到各边距离相等，则这个距离是（ ）
A. 2B. 3C. 3.5D. 以上答案均不对
7. 某工厂要制作一些等腰三角形模具，工人师傅对四个模具的尺寸按照腰长、底长和底边上高的顺序进行了记录，其中记录有错误的是（ ）
A. 26，10，24B. 10，16，6C. 17，30，8D. 13，24，5
8. 下列命题的逆命题成立的是（ ）
A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 正方形的对角线相等
C. 对顶角相等D. 若，则
9. 如图，数轴上点B表示的数为1，均垂直于，且，以O为圆心，为半径画弧，交于点C，再以B为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D所表示的数为（ ）
A B. C. D.
10. 已知直角三角形的三边满足，分别以为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为，均重叠部分的面积为，则（ ）
A B. C. D. 大小无法确定
11. 如图，在中，，F是的中点，作于E，连接、，下列结论不成立的是（ ）
A. B.
C. D.
12. 观察下列二次根式的化简：
，
，
，
则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：（每小题4分，共24分）
13. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____________．
14. 如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件______使平行四边形ABCD是矩形．
15. 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时，____．

16. 若，，则______．
17. 如图，矩形中，，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，的周长为______．
18. 如图，线段的长为10，点D在线段上运动，以为边长作等边．再以为边长，在线段上方作正方形，记正方形的对角线交点为O．连接，则线段的最小值为______．
三、解答题：（本题共7小题，共78分）
19. 计算：
（1）；
（2）．
20. 先化简，再求值：，其中，．
21. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，求小巷的宽．
22. 将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结、．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）已知，当四边形是菱形时．的长为__________．
23. 下面是小明同学的数学日记，请完成相应的任务．
任务：
（1）以上证明过程中的“依据”是______．
（2）请根据小明的思路，完成证明过程．
（3）此时老师又提示让我们大胆运用所学知识加以证明，请你用不同于小明的方法再次证明．
如图2，在中，是边上的中线，且，求证：是直角三角形．
24 探究过程：（1）；（2）；（3）；（4）
观察计算过程：
（1）按照上面的思路解法，计算；
（2）请你用含的式子表示上面过程中的规律；
（3）应用根据上面解题方法解决下面的数学问题：
如图，已知图1是边长为和的两个正方形，图2是由图1通过切割后拼成的一个大正方形，请求出大正方形的边长．

25. 已知，．
（1）如图1，若以为边作等边，且点E恰好在边上，则的面积为______；
（2）如图2，若以为斜边作等腰直角三角形，且点F恰好在边上，过C作交于G，连接．用等式表示此时线段之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，以为边作，且，．若，直接用等式表示此时与的数量关系．2023年4月11日 星期二 晴
今天数学活动课上，老师提出了一个问题，如图1，在中，是边上的中线，且，求证：是直角三角形．
我展示的方法：
证明：：在中，是边上的中线，
∴．
又∵，∴，
∴，（依据）．
……