新高考数学一轮复习提升训练6.4 求和方法（精讲）（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习提升训练6.4 求和方法（精讲）（含解析），共26页。试卷主要包含了公式法求和，裂项相消求和，错位相减求和，分组转化求和，周期数列，倒序相加法等内容，欢迎下载使用。


考点呈现
例题剖析
考点一 公式法求和
【例1】（2022·江苏江苏·高三期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前20项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)由 SKIPIF 1 < 0 可知， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以12为首项，4为公比的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 符合上式,所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的前20项和 SKIPIF 1 < 0 .
【一隅三反】
1．（2022·全国·模拟预测）设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)见解析
【解析】(1)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
(2)由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取等，得证.
2．（2022·湖南·一模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列；
(2)记数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】
(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为2；
(2)由(1)可知 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
3．（2022·广东深圳·一模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， 又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， 所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列．
(2)由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
考点二 裂项相消求和
【例2-1】（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 是等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 ，且___________.从① SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 等比中项，②等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 这两个条件中，选择一个补充在上面问题的横线上，使得符合条件的数列 SKIPIF 1 < 0 存在并作答.
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)选择条件见解析， SKIPIF 1 < 0 (2)证明见解析
【解析】(1)若选①， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等比中项，
则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入上式，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
若选②， SKIPIF 1 < 0 为等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比，且 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；∴ SKIPIF 1 < 0 ，得证
【例2-2】（2022·广东肇庆·模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ，并证明： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 ，证明见解析.
【解析】(1)设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比是q，首项是 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)证明：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
【例2-3】（2022·广东梅州·二模）已知 SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ，___________.
① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；②数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)条件选择见解析， SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)解：选条件①： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
即数列 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 均为公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
选条件②：因为数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
得到 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以，对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(2)解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
【例2-4】（2022·广东茂名·二模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列.
(2)由（1）得： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，
各式作和得： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述： SKIPIF 1 < 0 .
【一隅三反】
1．（2022·广东梅州·二模）已知 SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ，___________.
① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；②数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)条件选择见解析， SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)解：选条件①： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
即数列 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 均为公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
选条件②：因为数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
得到 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以，对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(2)解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
2．（2022·全国·模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)解：由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
将上述式子进行累加得 SKIPIF 1 < 0 ，-
将 SKIPIF 1 < 0 代入可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时也满足上式，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 .
(2)解：由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
3．（2022·全国·模拟预测）已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，给出以下三个条件：① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .从这三个条件中任选一个解答下面的问题.
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)若选①：由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
令， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，
累加得 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 也适合上式，所以 SKIPIF 1 < 0 .
若选②：由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 是正项数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 也适合上式，所以 SKIPIF 1 < 0 .
若选③：由 SKIPIF 1 < 0 得，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，两式作差得
SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 .
由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公差为2的等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
4．（2022·江苏南通·模拟预测）已知正项数列{ SKIPIF 1 < 0 }中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是其前n项和，且满足 SKIPIF 1 < 0
(1)求数列{ SKIPIF 1 < 0 }的通项公式：
(2)已知数列{ SKIPIF 1 < 0 }满足 SKIPIF 1 < 0 ，设数列{ SKIPIF 1 < 0 }的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)正项数列{ SKIPIF 1 < 0 }， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列{ SKIPIF 1 < 0 }是以1为首项1为公差的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时也成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
(2)因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，
由{ SKIPIF 1 < 0 }递增，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
考点三 错位相减求和
【例3】（2022·广东茂名·二模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为1，首项为1的等差数列.
(2)由（1） SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【一隅三反】
1．（2022·广东广东·一模）设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为2，公比为2的等比数列，故 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （1）
SKIPIF 1 < 0 （2）
（1）－（2）得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
2．（2021·浙江·高考真题）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项；
（2）设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ①，
得 SKIPIF 1 < 0 ②，① SKIPIF 1 < 0 ②得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
SKIPIF 1 < 0 时不等式恒成立；
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 .
3．（2021·全国·高考真题（理））记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和， SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项积，已知 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列;
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）[方法一]：
由已知 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
取 SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,
由于 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项积，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
由于 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 SKIPIF 1 < 0 ①
于是 SKIPIF 1 < 0 ． ②
由①②得 SKIPIF 1 < 0 ． ③
又 SKIPIF 1 < 0 ， ④
由③④得 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列．
[方法三]：
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
故数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列．
[方法四]：数学归纳法
由已知 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，猜想数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ．
下面用数学归纳法证明．
当 SKIPIF 1 < 0 时显然成立．
假设当 SKIPIF 1 < 0 时成立，即 SKIPIF 1 < 0 ．
那么当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
综上，猜想对任意的 SKIPIF 1 < 0 都成立．
即数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列．
（2）
由（1）可得，数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
当n=1时， SKIPIF 1 < 0 ,
当n≥2时, SKIPIF 1 < 0 ,显然对于n=1不成立,
∴ SKIPIF 1 < 0 .
考点四 分组转化求和
【例4-1】（2022·全国·模拟预测（理））已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1) SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)由（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【例4-2】（2022·山东日照·模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列．
(1)求k的值和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)由（1）知， SKIPIF 1 < 0
当n为偶数时，设n＝2k，
可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ；
当n为奇数时，设n＝2k－1，
可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述， SKIPIF 1 < 0 .
【一隅三反】
1．（2022·安徽·高三期末（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)解：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，上式也成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)解： SKIPIF 1 < 0 ，
设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
2．（2022·全国·模拟预测（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前2n项的和 SKIPIF 1 < 0
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，
将上述式子左右分别相乘得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 满足上式，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
(2)∵ SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2022·湖南·高三阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前14项和.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ①
得 SKIPIF 1 < 0 ②，①②两式相除可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以2为首项，2为公比的等比数列，
故 SKIPIF 1 < 0 .
(2)当n为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ；
当n为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的前14项和为
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
考点五 周期数列
【例5】（2022·江西赣州·一模）设正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，求 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)解：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，从而 SKIPIF 1 < 0 .
(2)解： SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【一隅三反】
1．（2022·江苏·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】1010
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，周期 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 故答案为： SKIPIF 1 < 0
2．（2022·全国·高三专题练习（理））数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ＝________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的周期为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
考点六 倒序相加法
【例6】（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2018B．2019C．4036D．4038
【答案】A
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相加得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．故选：A
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．1B．2C．2020D．2021
【答案】C
【解析】函数 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由题已知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，故 SKIPIF 1 < 0 ，
代入得： SKIPIF 1 < 0 ， ∴函数 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
倒序相加可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故选：C．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2018B．2019
C．4036D．4038
【答案】A
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，两式相加得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .故选： SKIPIF 1 < 0 .