2024年中考数学【高分·突破】考点01实数及其运算(原卷版+解析)

这是一份2024年中考数学【高分·突破】考点01实数及其运算(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若，则式子的值在（ ）
A．和0.4之间B．0.4和1之间C．1和1.6之间D．1.6和2.2之间
2．已知二次函数和，令，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
3．“引江济淮工程”是一项以城乡供水和发展江淮航运为主，结合灌溉补水和改善巢湖及淮河水生态环境为主要任务的大型跨流域调水工程．涵盖安徽省12市和河南省2市，涉及面积约7.06万平方千米，工程估算总投资912.71亿元．其中912.71亿用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．若x、y是两个实数，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．对于整式：、、、，在每个式子前添加“＋”或“－”号，先求和再求和的绝对值，称这种操作为“全绝对”操作，并将绝对值化简的结果记为．例如：，当时，；当时，，所以或．
下列相关说法正确的个数是：（ ）
①至少存在一种“全绝对”操作使得操作后化简的结果为常数；
②若一种“全绝对”操作的化简结果为为常数），则；
③所有可能的“全绝对”操作后的式子化简后有16种不同的结果，
A．0B．1C．2D．3
6．如图，，是数轴上的两点，点与点关于原点对称，以为边作正方形若点表示的数为，正方形面积为，则，两点之间的距离是（ ）

A．B．C．D．
7．如图，,试求的小数部分（ ）．

A．0.118B．C．D．0.618
8．生活中，我们常用到长方形样、不同型号的打印纸．基于满足影印（放大或缩小后，需保持形状不变）及制作各型号纸张时，既方便又省料等方面的需要，对于纸张规格，存有一些通用的国际标准．其中，把纸定义为面积为1平方米，长与宽的比为的纸张；沿纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张纸；再沿纸两条长边中点的连线裁切得纸…依此类推，得等等的纸张（如图所示）．若设纸张的宽为米，则应为（ ）

A．B．的算术平方根C．D．的算术平方根
9．若三条长度分别为，，的线段能构成三角形，我们就把称为三角数组，已知是三角数组，则下列说法正确的是（ ）
①一定是三角数组；②不一定是三角数组；
③一定是三角数组；④不一定是三角数组；
A．①③B．①④C．②③D．②④
10．若，，则有，即．已知函数与函数，由上述结论判断的值正确的是（ ）
A．有最小值4B．有最小值C．有最小值D．有最小值1
二、填空题
11．某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：黑板上写了1到10这10个数，每次任意擦去两个数，再写上一个新数（这两个数的和减去一），若干次后，黑板上只剩下一个数，这个数是 ．
12．今年国内旅游市场复苏按下“加速键”，据文化和旅游部数据中心测算，预计2023年，我国国内旅游人数将达45.5亿人次，同比增长约．数据45.5亿用科学记数法表示为 ．
13．若一个四位自然数M的千位数字的平方恰好等于百位数字、十位数字与个位数字的和，则称这个四位数M为“君和数”．若“君和数”且，将“君和数”M的千位与百位数字对调，十位与个位数字对调得到新数N，规定，，若，均为整数，则的值为 ，M的值为 ．
14．一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“倍和数”，对于“倍和数”m，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为．（1） ；（2）若“倍和数”m千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被7整除，则所有满足条件的“倍和数”用的最大值与最小值的差为 ．
15．阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题．
证明：假设是有理数，
那么存在两个互质的正整数，，使得，则___________．
是2的倍数，
____________________，
可设（为正整数），则，
_____________，即，
__________________，
，都是2的倍数，不互质，与假设矛盾．
因此假设不成立，即不是有理数．
将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是 ．（填上序号）
①； ②； ③是2的倍数； ④是2的倍数．
16．对于实数，，如果满足，那么称，互为和等积数，点为和等积点．如：由，可知4的和等积数为，点为和等积点．已知直线与双曲线有一个交点是和等积点，则的值为 ．
三、解答题
17．
(1)已知，是实数，证明：．
(2)在中，，，为直角边，斜边，则的最大值是___________．
18．（1）计算：；
（2）下面是王亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务．
任务一：
①以上求解过程中，第一步的依据是______；
②王亮同学的求解过程从第______步开始出现错误，整个解答过程．
从前一步到后一步的变形共出现______处错误：
③分式方程检验的目的是______．
任务二：请你直接写出这个方程的正确解______．
19．已知：
(1)若，， ，求M的值．
(2)若，，，若M的值不小于，求x的取值范围．
20．（1）．
（2）小婷同学解分式方程的过程如下，请你认真阅读，并完成任务．
解：方程两边同乘得
． 第一步 ． 第二步
第三步 ．第四步 检验：当时，．第五步
所以是原方程的解． 第六步
任务：①小婷的解答过程是从第______步开始出错的，错误的原因是______．
②请直接写出该分式方程的正确解．
解：方程两边同乘以，得
第一步
． 第二步
第三步
第四步
经检验：是原方程的解． 第五步
∴原方程的解是 第六步
压轴热点考点01 实数及其运算
一、单选题
1．若，则式子的值在（ ）
A．和0.4之间B．0.4和1之间C．1和1.6之间D．1.6和2.2之间
【答案】A
【分析】先通分、因式分解，然后进行除法运算可得化简结果，然后对无理数进行估算，然后代入求解即可．
【详解】解：
，
∵，即，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查分式的化简求值，无理数的估算．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
2．已知二次函数和，令，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】根据题意画出两个函数图象，然后结合函数图象及绝对值的意义依次判断即可．
【详解】解：∵，
∴对称轴为，
∵
∴相当于将向右平移1个单位长度，对称轴为，如图所示：
当时，，即当点横坐标到的距离大于时，由图得即或时，
当时，；当时，；故A、B选项错误，不符合题意；
当时，即当点横坐标到的距离小于等于时，由图得即时，
由图得：当时，为负数，且二者之间距离最大，
∴，，
∴，
当时，为正数，且二者之间距离最大，
∴，，
∴，
∴时，，
故选：D．

【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质，绝对值的意义，理解题意，采用数形结合思想求解是解题关键．
3．“引江济淮工程”是一项以城乡供水和发展江淮航运为主，结合灌溉补水和改善巢湖及淮河水生态环境为主要任务的大型跨流域调水工程．涵盖安徽省12市和河南省2市，涉及面积约7.06万平方千米，工程估算总投资912.71亿元．其中912.71亿用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．把912.71亿还原原数，再根据科学记数法表示即可．
【详解】解：912.71亿；
故选：B．
4．若x、y是两个实数，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据x、y的取值范围，去绝对值符号并分别讨论求得方程组的解，再代入代数式计算求解即可．
【详解】解：当，时，原方程组为：，方程组无解；
当，时，原方程组为：，解得，；
当，时，原方程组为：，方程组无解；
当，时，原方程组为：，方程组无解；
综上得，原方程组的解为：，
∴，
故答案选C．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，涉及到绝对值计算，根据未知数的范围判断去绝对值后的符号是解此题的关键．
5．对于整式：、、、，在每个式子前添加“＋”或“－”号，先求和再求和的绝对值，称这种操作为“全绝对”操作，并将绝对值化简的结果记为．例如：，当时，；当时，，所以或．
下列相关说法正确的个数是：（ ）
①至少存在一种“全绝对”操作使得操作后化简的结果为常数；
②若一种“全绝对”操作的化简结果为为常数），则；
③所有可能的“全绝对”操作后的式子化简后有16种不同的结果，
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据题意，找出一种“全绝对”操作使操作后化简结果为常数，即为正确，可判定①． ，凑“全绝对”操作后得到或，去掉绝对值变成的形式求得的取值范围，可判定②．利用排列组合的方法，每一个整式添“”或“”所以每一个整式有两种变化情况，共4个整式，就有，但是有重复结果，可判定③．
【详解】解：使操作后化简的结果为常数，即使的系数为0，
有，
①正确．
，
；
．
：当，时．
：当，时．符合题意．
②正确．
（种，
而当时，，
，结果相同，
③错误．
故选：C．
【点睛】本题以新定义阅读题为背景考查了绝对值化简和相反数定义，考核了学生对绝对值和相反数定义的理解及灵活运用，弄清定义，读懂题目按照规律列举出所有可能结果解题事半功倍．
6．如图，，是数轴上的两点，点与点关于原点对称，以为边作正方形若点表示的数为，正方形面积为，则，两点之间的距离是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意求出点表示的数，求出边的长，即可求解．
【详解】解：根据题意得，
，
与点关于原点对称，点表示的数为，
点表示的数为，
，
之间的距离为．
故选：A．
【点睛】本题考查了实数与数轴的简单应用，解题的关键是求出点和线段的长，题目比较简单．
7．如图，,试求的小数部分（ ）．

A．0.118B．C．D．0.618
【答案】D
【分析】设，然后利用已知条件分别用x表示出，最后代入计算即可解答．
【详解】解：设，则，
∵
∴，
根据作图痕迹可得：，，
∴．
故选D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、无理数等知识点，分别用x表示出是解答本题的关键．
8．生活中，我们常用到长方形样、不同型号的打印纸．基于满足影印（放大或缩小后，需保持形状不变）及制作各型号纸张时，既方便又省料等方面的需要，对于纸张规格，存有一些通用的国际标准．其中，把纸定义为面积为1平方米，长与宽的比为的纸张；沿纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张纸；再沿纸两条长边中点的连线裁切得纸…依此类推，得等等的纸张（如图所示）．若设纸张的宽为米，则应为（ ）

A．B．的算术平方根C．D．的算术平方根
【答案】D
【分析】由纸张的宽为x米，表示出纸的宽和长，根据纸面积为1平方米求出x的值即可．
【详解】解：由图得，当纸张的宽为x米时，纸的宽为米，
∵纸张长与宽的比为，
∴纸的长为米，
∵纸面积为1平方米，
∴，
∴，
∴x的值为的算术平方根．
故选：D．
【点睛】本题考查了平方根的计算，根据图形表示出A0的长宽是解题关键．
9．若三条长度分别为，，的线段能构成三角形，我们就把称为三角数组，已知是三角数组，则下列说法正确的是（ ）
①一定是三角数组；②不一定是三角数组；
③一定是三角数组；④不一定是三角数组；
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】B
【分析】，且，先证明，即可证明，由此即可判断①②；根据是一个三角数组，不是一个三角数组即可判断③④．
【详解】解：∵是三角数组，
∴可设，且，
∴，
∵，
∴，
∴一定是三角数组，故①正确，②不正确；
∵是一个三角数组，，
∴不是一个三角数组，
∴当是三角数组时，不一定是三角数组，故③错误，④正确；
故选B．
【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件，实数比较大小，正确理解题意是解题的关键．
10．若，，则有，即．已知函数与函数，由上述结论判断的值正确的是（ ）
A．有最小值4B．有最小值C．有最小值D．有最小值1
【答案】A
【分析】化简，结合，，则有，即求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故选：A；
【点睛】本题考查分式化简求值，解题的关键是读懂题意中的新定义，化简．
二、填空题
11．某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：黑板上写了1到10这10个数，每次任意擦去两个数，再写上一个新数（这两个数的和减去一），若干次后，黑板上只剩下一个数，这个数是 ．
【答案】46
【分析】本题考查了有理数的加法，操作一次，黑板上的数减少1个，数字总和减少1．经过次操作，剩下的一个数是，据此解答即可．
【详解】解：（次）
答：这个数是46，
故答案为：46．
12．今年国内旅游市场复苏按下“加速键”，据文化和旅游部数据中心测算，预计2023年，我国国内旅游人数将达45.5亿人次，同比增长约．数据45.5亿用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
【详解】解：45.5亿
故答案为：
【点睛】本题考查科学记数法—表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
13．若一个四位自然数M的千位数字的平方恰好等于百位数字、十位数字与个位数字的和，则称这个四位数M为“君和数”．若“君和数”且，将“君和数”M的千位与百位数字对调，十位与个位数字对调得到新数N，规定，，若，均为整数，则的值为 ，M的值为 ．
【答案】 7 3162
【分析】根据给出的新定义来化简，即可求出；表示出M、N，从而表示出，根据为整数即可求解．
【详解】解：由题意可得：，
∴，
∵，为整数，
∴；
设，，
∴，
∵，
∴，为整数，
∴
∴；
故答案为：7；3162．
【点睛】本题主要考查整式的计算，通过新定义来推导对应的关系，用a、b、c、d来表示，通过讨论求出最终的解．
14．一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“倍和数”，对于“倍和数”m，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为．（1） ；（2）若“倍和数”m千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被7整除，则所有满足条件的“倍和数”用的最大值与最小值的差为 ．
【答案】 2187 4176
【分析】（1）根据定义，计算即可．
（2）根据定义，结合分类思想计算即可．
【详解】（1）∵6312中，
∴，
∴6312是“倍和数”，
∴任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数分别为，
∴；
故答案为：2187．
（2）设四位数m为，
∵m是“倍和数”，
∴，
∴，
∴，
∴任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数分别为，
∴，
∵，
∴，
∵各个数位上的数字均不为0的四位正整数，
当时，，能被7整除，此时；
当时，，不能被7整除，舍去；
当时，，不能被7整除，舍去；
当时，，不能被7整除，舍去；
当时，，不能被7整除，舍去；
当时，，不能被7整除，舍去；
当时，，不能被7整除，舍去；
当时，，能被7整除，此时；
当时，，不能被7整除，舍去；
当时，，不能被7整除，舍去；
当时，，不能被7整除，舍去；
当时，，不能被7整除，舍去；
当时，，不能被7整除，舍去；
当时，，不能被7整除，舍去；
当时，，能被7整除，；
当时，，不能被7整除，舍去；
当时，，不能被7整除，舍去；
当时，，不能被7整除，舍去；
当时，，不能被7整除，舍去；
当时，，不能被7整除，舍去；
当时，，不能被7整除，舍去；
故所有满足条件的“倍和数”用的最大值与最小值的差为，
故答案为：4176．
【点睛】本题考查了实数的新定义问题，正确理解新定义是解题的关键．
15．阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题．
证明：假设是有理数，
那么存在两个互质的正整数，，使得，则___________．
是2的倍数，
____________________，
可设（为正整数），则，
_____________，即，
__________________，
，都是2的倍数，不互质，与假设矛盾．
因此假设不成立，即不是有理数．
将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是 ．（填上序号）
①； ②； ③是2的倍数； ④是2的倍数．
【答案】②④①③
【分析】根据反证法的证明步骤以及立方根的定义补全证明过程即可求解．
【详解】证明：假设是有理数，
那么存在两个互质的正整数，，使得，则．
是2的倍数，
是2的倍数，
可设（为正整数），则，
，即，
是2的倍数，
，都是2的倍数，不互质，与假设矛盾．
因此假设不成立，即不是有理数．
故答案为：．②④①③
【点睛】本题考查了立方根的定义，反证法，熟练掌握反证法证明方法是解题的关键．
16．对于实数，，如果满足，那么称，互为和等积数，点为和等积点．如：由，可知4的和等积数为，点为和等积点．已知直线与双曲线有一个交点是和等积点，则的值为 ．
【答案】或
【分析】设与双曲线的交点是和等积点，利用定义得到，代入一次函数得到，进而得到，求出或，由两个函数图象的相交得到，代入即可求出k的值．
【详解】解：设与双曲线的交点是和等积点，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得或，
∵，则，
∴或，
故答案为：或．
【点睛】此题考查了求反比例函数的解析式，解一元二次方程，一元二次方程的根的判别式，正确理解题意得到是解题的关键．
三、解答题
17．
(1)已知，是实数，证明：．
(2)在中，，，为直角边，斜边，则的最大值是___________．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）可证，即可得证；
（2）可求，由（1）即可求解．
【详解】（1）证明：
，
，
，
，
，
．
（2）解：由题意得
，
，
，
，
的最大值为，
故答案：．
【点睛】本题考查了用作差法证明不等式，勾股定理，掌握方法是解题的关键．
18．（1）计算：；
（2）下面是王亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务．
任务一：
①以上求解过程中，第一步的依据是______；
②王亮同学的求解过程从第______步开始出现错误，整个解答过程．
从前一步到后一步的变形共出现______处错误：
③分式方程检验的目的是______．
任务二：请你直接写出这个方程的正确解______．
【答案】（1）
（2）任务一：①等式的性质；②二，3；③判定解是否是增根
任务二：
【分析】（1）先计算乘方与开方，并去绝对符号，再计算加减即可；
（2）先去分母，将分式方程转化成整式方程求解，然后检验即可．
【详解】解：（1）
；
（2）任务一：①方程两边同乘以，得，依据是等式的性质；
②第二步，，漏乘了项，应为
∴王亮同学的求解过程从第二步开始出现错误，
第三步，左边应为不是，
第四步，计算错误，应为不是，
∴整个解答过程，从前一步到后一步的变形第二步、第三步、第四步共出现3处错误；
③分式方程检验的目的是判定解是否是增根．
任务二：解：方程两边同乘以，得
，
．，
，
，
经检验：是原方程的解．
∴原方程的解是．
【点睛】本题考查实数的运算，解分式方程，熟练掌握负整指数幂与零指数幂运算法则，正确解分式方程的解法是解题的关键．
19．已知：
(1)若，， ，求M的值．
(2)若，，，若M的值不小于，求x的取值范围．
【答案】(1)7
(2)
【分析】（1）先根据负整指数与零指数幂、算术平方根求出A、B、C值，再代入，计算即可；
（2）把，，代入，计算得，再根据M的值不小于，列不等式为，解之即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∵M的值不小于，
∴，
∴．
【点睛】本题考查负整指数与零指数幂、算术平方根，解不等式，熟练掌握负整指数与零指数幂运算法则，会求算术平方根，解不等式是解题的关键．
20．（1）．
（2）小婷同学解分式方程的过程如下，请你认真阅读，并完成任务．
解：方程两边同乘得
． 第一步 ． 第二步
第三步 ．第四步 检验：当时，．第五步
所以是原方程的解． 第六步
任务：①小婷的解答过程是从第______步开始出错的，错误的原因是______．
②请直接写出该分式方程的正确解．
【答案】（1）11；（2）①二；去括号时括号前是负号，括号中的第二项没有变号；②
【分析】（1）分别依次计算立方根、零指数幂及负整数指数幂，然后进行加减运算即可；
（2）根据解分式方程的步骤，读懂每一步的解答，然后正确解出分式方程即可完成．
【详解】解：（1）原式．
（2）①方程两边同乘得：，
去括号得：，
整理得：，
解得：．
检验：当时，．
所以是原方程的解．
由上面解答知，第二步开始出错，错误原因是：去括号时括号前是负号，括号中的第二项没有变号；
故答案为：二；去括号时括号前是负号，括号中的第二项没有变号
②由①的解答知，分式方程的解为：．
【点睛】本题考查了实数的运算，解分式方程，涉及的知识有求立方根、整数指数幂等知识，掌握相减知识，正确计算是解题的关键．解：方程两边同乘以，得
第一步
． 第二步
第三步
第四步
经检验：是原方程的解． 第五步
∴原方程的解是 第六步