人教版七年级数学下册同步知识点剖析精品讲义5.2平行线的判定(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册同步知识点剖析精品讲义5.2平行线的判定(原卷版+解析)，共26页。
5.2 平行线的判定平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示，如：直线a与直线互相平行，记作a∥，读作a平行于b。判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，则两直线平行；③两个或两个以上公共点，则两直线重合平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行a几何描述 ：∵∥a，∥a　　　　 ∴∥平行线的判定判定方法1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行　　　　 简称：同位角相等，两直线平行ABCDEF1234几何符号语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行　　　　 简称：内错角相等，两直线平行几何符号语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行　　　　 简称：同旁内角互补，两直线平行几何符号语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【题型一】平面内两直线的位置关系【典题1】（2023秋·河南三门峡·七年级期中）在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（        ）A．相交或平行 B．相交或垂直 C．平行或垂直 D．不能确定巩固练习1．（）（2023秋·河北秦皇岛·七年级期末）在同一平面内，不重合的两直线的位置关系必是（　　）A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．相交或平行2．（）（2023秋·山东烟台·七年级期末）若P，Q是直线AB外不重合的两点，则下列说法不正确的是(   )A．直线PQ可能与直线AB垂直B．直线PQ可能与直线AB平行C．过点P的直线一定能与直线AB相交D．过点Q只能画出一条直线与AB平行3．（）（2023秋·江西吉安·七年级期中）下列说法正确的是（    ）A．在同一平面内，两条直线不垂直就平行B．在同一平面内，没有公共点的两条射线是平行线C．在同一平面内，两条线段不相交就重合D．在同一平面内，没有公共点的两条线段也可能互相垂直【题型二】用尺规画平行线【典题1】（2023秋·江西赣州·七年级期中）如图所示，在∠AOB内有一点P，（1）过P画L1∥OA；（2）过P画L2∥OB；（3）用量角器量一量L1与L2相交的角与∠O的大小有怎样关系？ 巩固练习1．（）（2023秋·山东济宁·七年级期中）如图，点P是∠AOB的边OB上的一点．(1)过点P画OB的垂线，交OA于点E；(2)过点P画OA的垂线，垂足为H；(3)过点P画OA的平行线PC.2．（）（2023秋·山东聊城·七年级期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点M、N、P、Q均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），线段MN经过点P．(1)过点P画MN的垂线；(2)过点Q画MN的平行线；(3)若格点F使△PFM的面积等于4，则这样的点F共有______个．3（）．（2023春·江苏常州·七年级期末）如图，方格纸中小正方形的边长均为1cm，三角形ABC的顶点均为格点．（1）过点C画AB的平行线l1；（2）过点C画AB的垂线l2；（3）三角形ABC的面积＝　 　cm2．【题型三】平行公理的推论及应用【典题1】（2023秋·云南曲靖·七年级期末）下列说法正确的是（         ）A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a//b，b//c，则a//cB．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥cC．在同一平面内，a，b，c是直线，且a//b，b⊥c，则a∥cD．在同一平面内，a，b，c是直线，则a//b，b∥c，则a⊥c 巩固练习1．（）（2023秋·河北石家庄·七年级期末）如图，在平面内经过一点作已知直线的平行线，可作平行线的条数有（    ）A．0条 B．1条 C．0条或1条 D．无数条2．（）（2023秋·河北唐山·七年级期中）在同一平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线（　　）A．垂直 B．相交 C．平行 D．垂直或平行【题型四】利用同位角判定两直线平行【典题1】（2023秋·江苏扬州·七年级校联考期中）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是（    ）A．同旁内角互补，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行巩固练习1．（）（2023秋·山东泰安·七年级校考期中）如图，直线被直线所截，下列条件能判定的是（ ）A． B．C． D．2（）（（2023秋·黑龙江大庆·七年级校考期末）如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（    ）A． B． C． D．3．（）（（2023秋·河南商丘·七年级期末）如图，已知直线AB，CD被直线EF所截，如果要添加条件，使得MQ∥NP，那么下列条件中能判定MQ∥NP的是(    )A．∠1＝∠2 B．∠BMF＝∠DNFC．∠AMQ＝∠CNP D．∠1＝∠2，∠BMF＝∠DNF【题型五】利用内错角判定两直线平行【典题1】（2023春·福建福州期末）如图，点E在的延长线上，能判定的是（    ）A． B．C． D． 巩固练习1．（）（2023秋·安徽滁州·七年级校考期末）如图，∠1＝∠2，由此推出的正确结论是（      ）A．∠3＝∠4 B．∠1＋∠3＝∠2＋∠4C．AB∥CD D．AD∥BC2．（）（2023秋·浙江绍兴·七年级校联考期中）如图，下列条件能判断a//b的有（　　）A．∠2＝∠4 B．∠1+∠2＝180° C．∠1＝∠3 D．∠2+∠3＝180°3．（）（2023秋·辽宁沈阳·七年级校联考期中）下列图形中，由能得到的是（    ）A．B．C． D．【题型六】利用同旁内角判定两直线平行【典题1】（2023秋·湖北武汉·七年级期中）如图，能判断直线AB∥CD的条件是（   ）A． B． C． D． 巩固练习1．（）（2023秋·重庆江津·七年级期末）如图，下列条件中能判定的是（    ）A． B．C． D．2．（）（2023秋·山东德州·七年级期末）如图，点E在CD的延长线上，BE与AD交于点F，下列条件能判断BC∥AD的是（    ）A．∠1＝∠3 B．∠A＋∠CDA＝180°C．∠4＝∠A D．∠2＋∠5＝180°【题型七】求满足判定平行线条件的个数【典题1】（2023秋·山东德州·七年级校考期中）如图，下列能判定ABCD的条件有（）个．（1）；（2）；（3）；（4）．A．1 B．2 C．3 D．4巩固练习1．（）（2023秋·江苏连云港·七年级校考期末）如图，下列条件：中能判断直线的有(  )A．5个 B．4个 C．3个 D．2个2．（）（2023秋·广西来宾·七年级期末）如图，①，②，③，④可以判定的条件有（    ）．A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④3．（）（2023秋·湖北省直辖县级单位·七年级校考期中）如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件：①；②；③；④，其中能判断的是（    ）A．①② B．②③ C．③④ D．①④4．（）（2023秋·河北沧州·七年级期末）如图，下列不正确的是__________（填序号）①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么；⑤如果，那么．【题型八】与平行线判定有关的证明问题【典题1】（2023秋·北京·七年级校考期中）完成下面的证明．已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°．求证：AB∥EF．证明：∵∠1+∠2＝180°，∴AB∥　 　（　 　）．∵∠3+∠4＝180°，∴　 　∥　 　．∴AB∥EF（　 　）． 【典题2】 （2023秋·福建莆田·七年级校考期中）如图，已知，求证：．巩固练习1．（）（2023秋·内蒙古通辽·七年级期末）看图填空：已知：如图，为上的点，为上的点，，求证：．证明：______，______________________________又__________________2（）（2023秋·山东济宁·七年级期中）如图，GM∥HN，EF分别交AB、CD于点G、H，∠BGH、∠DHF的平分线分别为GM、HN，求证：AB∥CD．3. （）（2023秋·陕西西安·七年级校考期中）如图，直线、交于点O，，分别平分和，已知，且．(1)求的度数；(2)试说明的理由．4（）．（2023秋·河北保定·七年级期中）如图，点在直线上，射线、分别平分、．(1)试判断、的位置关系，并说明理由；(2)若，且，求证：．5.2 平行线的判定平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示，如：直线a与直线互相平行，记作a∥，读作a平行于b。判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，则两直线平行；③两个或两个以上公共点，则两直线重合平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行a几何描述 ：∵∥a，∥a　　　　 ∴∥平行线的判定判定方法1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行　　　　 简称：同位角相等，两直线平行ABCDEF1234几何符号语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行　　　　 简称：内错角相等，两直线平行几何符号语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行　　　　 简称：同旁内角互补，两直线平行几何符号语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【题型一】平面内两直线的位置关系【典题1】（2023秋·河南三门峡·七年级期中）在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（        ）A．相交或平行 B．相交或垂直 C．平行或垂直 D．不能确定【详解】解：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：相交或平行，故选：A．巩固练习1．（）（2023秋·河北秦皇岛·七年级期末）在同一平面内，不重合的两直线的位置关系必是（　　）A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．相交或平行【详解】解：在同一个平面内，两条直线只有两种位置关系，即平行或相交．故选：D．2．（）（2023秋·山东烟台·七年级期末）若P，Q是直线AB外不重合的两点，则下列说法不正确的是(   )A．直线PQ可能与直线AB垂直B．直线PQ可能与直线AB平行C．过点P的直线一定能与直线AB相交D．过点Q只能画出一条直线与AB平行【详解】PQ与直线AB可能平行，也可能垂直，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故A、B、D均正确，故C错误；故选C．3．（）（2023秋·江西吉安·七年级期中）下列说法正确的是（    ）A．在同一平面内，两条直线不垂直就平行B．在同一平面内，没有公共点的两条射线是平行线C．在同一平面内，两条线段不相交就重合D．在同一平面内，没有公共点的两条线段也可能互相垂直【详解】解：A、在同一平面内，两条直线不相交就平行，则此项错误，不符合题意；B、在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，则此项错误，不符合题意；C、在同一平面内，两条线段不相交，也有可能不重合，则此项错误，不符合题意；D、在同一平面内，没有公共点的两条线段也可能互相垂直，则此项正确，符合题意；故选：D．【题型二】用尺规画平行线【典题1】（2023秋·江西赣州·七年级期中）如图所示，在∠AOB内有一点P，（1）过P画L1∥OA；（2）过P画L2∥OB；（3）用量角器量一量L1与L2相交的角与∠O的大小有怎样关系？【详解】解：(1)(2)如图所示； (3)l1与l2的夹角有两个：∠1，∠2.因为∠1=∠O，∠2+∠O=180°，所以l1与l2的夹角与∠O相等或互补. 巩固练习1．（）（2023秋·山东济宁·七年级期中）如图，点P是∠AOB的边OB上的一点．(1)过点P画OB的垂线，交OA于点E；(2)过点P画OA的垂线，垂足为H；(3)过点P画OA的平行线PC.解析：（1）解：如图所示：（2）解：如图所示：（3）解：如图所示：2．（）（2023秋·山东聊城·七年级期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点M、N、P、Q均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），线段MN经过点P．(1)过点P画MN的垂线；(2)过点Q画MN的平行线；(3)若格点F使△PFM的面积等于4，则这样的点F共有______个．【详解】（1）解：如图（2）如图（3）满足条件的点F有6个．3（）．（2023春·江苏常州·七年级期末）如图，方格纸中小正方形的边长均为1cm，三角形ABC的顶点均为格点．（1）过点C画AB的平行线l1；（2）过点C画AB的垂线l2；（3）三角形ABC的面积＝　 　cm2．【详解】解：（1）如图，直线l1即为所求作．（2）如图，直线l2即为所求作．（3）△ABC的面积＝3×3﹣×2×3﹣×1×2﹣×1×3＝．故答案为：．【题型三】平行公理的推论及应用【典题1】5．（2023秋·云南曲靖·七年级期末）下列说法正确的是（         ）A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a//b，b//c，则a//cB．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥cC．在同一平面内，a，b，c是直线，且a//b，b⊥c，则a∥cD．在同一平面内，a，b，c是直线，则a//b，b∥c，则a⊥c【详解】解：先根据要求画出图形，图形如下图所示：根据所画图形可知：A正确． 巩固练习1．（）（2023秋·河北石家庄·七年级期末）如图，在平面内经过一点作已知直线的平行线，可作平行线的条数有（    ）A．0条 B．1条 C．0条或1条 D．无数条【详解】解：在同一平面内，当这个点在直线上时，此时可作0条与已知直线平行的线，，当这个点在直线外时，可以作一条直线于已知直线m的平行．故选C．2．（）（2023秋·河北唐山·七年级期中）在同一平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线（　　）A．垂直 B．相交 C．平行 D．垂直或平行【详解】解：在同一平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直或平行；故选：D．【题型四】利用同位角判定两直线平行【典题1】（2023秋·江苏扬州·七年级校联考期中）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是（    ）A．同旁内角互补，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行【详解】如图：∵∠1＝∠2，∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．故选：C． 巩固练习1．（）（2023秋·山东泰安·七年级校考期中）如图，直线被直线所截，下列条件能判定的是（ ）A． B．C． D．【详解】A、当∠1=∠3时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；B、当∠2+∠4=180°时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；C、当∠4=∠5时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；D、当∠1=∠2时，a∥b，故此选项符合题意；故选：D2（）（（2023秋·黑龙江大庆·七年级校考期末）如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（    ）A． B． C． D．【详解】解：A.∠1与∠2是邻补角，无法判断两条铁轨平行，故此选项不符合题意；B. ∠1与∠3与两条铁轨平行没有关系，故此选项不符合题意；C. ∠1与∠4是同位角，且∠1=∠4=90°，故两条铁轨平行，所以该选项正确；D. ∠1与∠5与两条铁轨平行没有关系，故此选项不符合题意；故选：C．3．（）（（2023秋·河南商丘·七年级期末）如图，已知直线AB，CD被直线EF所截，如果要添加条件，使得MQ∥NP，那么下列条件中能判定MQ∥NP的是(    )A．∠1＝∠2 B．∠BMF＝∠DNFC．∠AMQ＝∠CNP D．∠1＝∠2，∠BMF＝∠DNF【详解】A.∠1与∠2不是同位角，不能判定MQ∥NP，故该选项不符合题意，B.∠BMF＝∠DNF，只能判定AB//CD，不能∠BMF＝∠DNF，故该选项不符合题意，C.∠AMQ与∠CNP不是同位角，不能判定MQ∥NP，故该选项不符合题意，D. ∵∠BMF＝∠DNF，∴AB//CD，∠EMB=∠MND，∵∠1=∠2，∴∠EMQ=∠MNP，∴MQ∥NP，故该选项符合题意，故选D.【题型五】利用内错角判定两直线平行【典题1】（2023春·福建福州期末）如图，点E在的延长线上，能判定的是（    ）A． B．C． D．【详解】A. ，，故该选项不符合题意；B. ，，故该选项符合题意；C. ，，故该选项不符合题意；    D. ，，故该选项不符合题意；故选B 巩固练习1．（）（2023秋·安徽滁州·七年级校考期末）如图，∠1＝∠2，由此推出的正确结论是（      ）A．∠3＝∠4 B．∠1＋∠3＝∠2＋∠4C．AB∥CD D．AD∥BC【详解】解：∵∠1＝∠2，∴故选C2．（）（2023秋·浙江绍兴·七年级校联考期中）如图，下列条件能判断a//b的有（　　）A．∠2＝∠4 B．∠1+∠2＝180° C．∠1＝∠3 D．∠2+∠3＝180°【详解】解：A．根据∠2=∠4能推出a∥b，故本选项符合题意；B．根据∠1+∠2=180°不能推出a∥b，故本选项不符合题意；C．根据∠1=∠3不能推出a∥b，故本选项不符合题意；D．根据∠2+∠3=180°不能推出a∥b，故本选项不符合题意；故选：A．3．（）（2023秋·辽宁沈阳·七年级校联考期中）下列图形中，由能得到的是（    ）A．B．C． D．【详解】A.∠1＝∠2，不能判断，故A不符合题意；B.∵∠1＝∠2，∴（内错角相等，两直线平行），故B符合题意；C.，，故C不符合题意；D.∠1＝∠2，不能判断，故D不符合题意．故选：B．【题型六】利用同旁内角判定两直线平行【典题1】（2023秋·湖北武汉·七年级期中）如图，能判断直线AB∥CD的条件是（   ）A． B． C． D．【详解】A选项中∠3和∠4的对顶角是一组同旁内角，所以当∠3+∠4=180°时AB∥CD；B选项中∠3和∠4的对顶角是一组同旁内角，所以当∠3=∠4时AB与CD不一定平行；C选项中∠1和∠3的对顶角是一组同旁内角，所以当∠1+∠3=180°时，AB与CD不一定平行；D选项中∠1和∠2的对顶角是一组同旁内角，所以当∠1=∠2时AB与CD不一定平行．故选：A． 巩固练习1．（）（2023秋·重庆江津·七年级期末）如图，下列条件中能判定的是（    ）A． B．C． D．【详解】解：A. ∵不是直线形成的内错角与同位角，∴故不能判断；B. ∵是直线形成的内错角，∴可判断，故不能判断；C. ∵直线形成的同旁内角，∴，∴，故可判定；D. ∵是直线形成的同位角，∴可判断，故不能判断；故选择C．2．（）（2023秋·山东德州·七年级期末）如图，点E在CD的延长线上，BE与AD交于点F，下列条件能判断BC∥AD的是（    ）A．∠1＝∠3 B．∠A＋∠CDA＝180°C．∠4＝∠A D．∠2＋∠5＝180°【详解】解：∵∠1＝∠3，∴AB∥CD，故A不符合题意；∵∠A+∠CDA＝180°，∴AB∥CD，故B不符合题意；∵∠4＝∠A，∴AB∥CD，故C不符合题意；∵∠2+∠5＝180°，∠DFE+∠5＝180°，∴∠DFE＝∠2，∴BC∥AD，故D符合题意；故选：D．【题型七】求满足判定平行线条件的个数【典题1】（2023秋·山东德州·七年级校考期中）如图，下列能判定ABCD的条件有（）个．（1）；（2）；（3）；（4）．A．1 B．2 C．3 D．4【详解】解：当∠B+∠BCD=180°，ABCD，符合题意；当∠1=∠2时，ADBC，不符合题意；当∠3=∠4时，ABCD，符合题意；当∠B=∠5时，ABCD，符合题意．综上，符合题意的有3个，故选：C． 巩固练习1．（）（2023秋·江苏连云港·七年级校考期末）如图，下列条件：中能判断直线的有(  )A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【详解】解：①∵∠1=∠3，∴l1∥l2，故本小题正确；②∵∠2+∠4=180°，∴l1∥l2，故本小题正确；③∵∠4=∠5，∴l1∥l2，故本小题正确；④∠2=∠3不能判定l1∥l2，故本小题错误；⑤∵∠6=∠2+∠3，∴l1∥l2，故本小题正确．故选B．2．（）（2023秋·广西来宾·七年级期末）如图，①，②，③，④可以判定的条件有（    ）．A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④【详解】解：①由于∠1和∠3是同位角，则①可判定；②由于∠2和∠3是内错角，则②可判定；③①由于∠1和∠4既不是同位角、也不是内错角，则③不能判定；④①由于∠2和∠5是同旁内角，则④可判定；即①②④可判定．故选A．3．（）（2023秋·湖北省直辖县级单位·七年级校考期中）如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件：①；②；③；④，其中能判断的是（    ）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【详解】解：①∵∠1=∠3，∴AD∥BC；②∵∠2+∠5=180°，∠5=∠AGC，∴∠2+∠AGC=180°，∴AB∥CD；③∵∠4=∠B，∴AB∥CD；④∵∠D+∠BCD=180°，∴AD∥BC．故选：B．4．（）（2023秋·河北沧州·七年级期末）如图，下列不正确的是__________（填序号）①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么；⑤如果，那么．【详解】解：①∵，∴（同位角相等，两直线平行），故正确；②∵，∴（同位角相等，两直线平行），故正确；③和不属于三线八角中的其中一类，故无法判断，故错误；④∵，∴（同位角相等，两直线平行），故正确；⑤和不属于三线八角中的其中一类，故无法判断，故错误．故答案为：③⑤【题型八】与平行线判定有关的证明问题【典题1】（2023秋·北京·七年级校考期中）完成下面的证明．已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°．求证：AB∥EF．证明：∵∠1+∠2＝180°，∴AB∥　 　（　 　）．∵∠3+∠4＝180°，∴　 　∥　 　．∴AB∥EF（　 　）．【详解】证明：如图所示：∵∠1+∠2＝180°（已知），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），∵∠3+∠4＝180°（已知），∴CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行），∴AB∥EF（若两直线同时平行于第三直线，则这两直线也相互平行），故答案为：CD；同旁内角互补，两直线平行；CD；EF；若两直线同时平行于第三条直线，则这两条直线也相互平行． 【典题2】 （2023秋·福建莆田·七年级校考期中）如图，已知，求证：．【详解】证明：，，，，又∵，．巩固练习1．（）（2023秋·内蒙古通辽·七年级期末）看图填空：已知：如图，为上的点，为上的点，，求证：．证明：______，______________________________又__________________【详解】解：已知，，对顶角相等，等量代换，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等，已知，等量代换，内错角相等，两直线平行．2（）（2023秋·山东济宁·七年级期中）如图，GM∥HN，EF分别交AB、CD于点G、H，∠BGH、∠DHF的平分线分别为GM、HN，求证：AB∥CD．【详解】证明：∵GM∥HN，∴∠MGH＝∠NHF，∵∠BGH、∠DHF的平分线分别为GM、HN，∴∠BGH＝2∠MGH，∠DHF＝2∠NHF，∴∠BGH＝∠DHF，∴AB∥CD．3. （）（2023秋·陕西西安·七年级校考期中）如图，直线、交于点O，，分别平分和，已知，且．(1)求的度数；(2)试说明的理由．【详解】（1）解：∵，分别平分和，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：，，∴，∴．4（）．（2023秋·河北保定·七年级期中）如图，点在直线上，射线、分别平分、．(1)试判断、的位置关系，并说明理由；(2)若，且，求证：．解析：(1)解：，理由如下：∵平分，平分，∴，，，∴，∴；(2)证明：∵（已证），（已知），又∵，∴，∵，∴，∴．