江西省宜丰中学2023届九年级下学期5月月考数学试卷(含解析)

这是一份江西省宜丰中学2023届九年级下学期5月月考数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了5B等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；不符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；不符合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形；符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形；不符合题意；
故选：C．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记定义是解题关键，轴对称图形需要找到对称轴，中心对称图形需要找到对称中心．
2. 在某次数学测试中，10名学生的测试成绩（单位：分）统计如图所示，则这10名学生的测试成绩的众数是（ ）．
A. 87.5B. 90C. 95D. 92.5
答案：B
解析：由图可知，80分有1人，85分有2人，90分有5人，95分有2人，
根据众数的定义，90分是这10名学生成绩的众数．
故选：B．
本题综合考查众数的求解和折线统计图的分析，正确分析折线统计图并根据众数的定义进行求解是解题关键．
3. 如图，在长为32米，宽为20米的长方形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设小路的宽为x米，则下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：解：设道路的宽x米，
则
∴．
故选：B．
本题考查的是一元二次方程的实际运用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
4. 根据图像，可得关于x的不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解：根据图像，可得：不等式的解集是．
故选：A
本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两个函数的交点坐标及图像确定不等式的解集是解题的关键．
5. 把二次函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么应满足条件（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解：∵平移前二次函数解析式为，
∴平移前二次函数的顶点坐标为，
∴平移后二次函数的顶点坐标为，即
∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，且平移后的二次函数开口向上，
∴平移后的二次函数只能是与y轴有一个交点，与x轴没有交点，
∴平移后的二次函数顶点一定在x轴上方，
∴，
解得：，
故选A．
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
6. 二次函数的图像的一部分如图所示，已知图像经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④点是抛物线上的两点，若，则；⑤ 若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，；其中正确的有（ ）

A 2个B. 3个C. 4个D. 5个
答案：B
解析：解：∵抛物线的开口向下，
∴．
∵抛物线与y轴的正半轴相交，
∴．
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即，
∴，故①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点
∴，故②错误；
∵抛物线经过点，
∴，
∵，
∴，即．
∴，故③正确；
∵对称轴直线，
∴当时，，则；当当时，，则，故④错误；
∵抛物线经过点，其对称轴为直线，
∴根据对称性可知：抛物线必经过点，
∴当时，或．
∴关于的一元二次方程的两根分别为，，故⑤正确
综上，正确的结论有：①③⑤．
故选：B．
本题主要考查了抛物线与二次函数系数之间的关系、二次函数与方程等知识点，利用对称轴的范围求与的关系以是解答本题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7. 若点，，则点A关于点B的对称点的坐标是 ____________．
答案：
解析：解：∵点A关于点B的对称点为，
∴B为的中点，
设的坐标为，
∴，，
∴
∴的坐标是．
故答案为：．
此题主要考查了坐标与图形的变化，解题的关键是熟练掌握中点坐标公式．
8. 一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离（单位：）之间的关系是，则铅球推出的距离为________m．
答案：10
解析：解：当时，
解得：（不合题意，舍去），
则铅球推出的距离为是10m
故答案为：10
本题主要考查二次函数的应用，此题把函数问题转化为方程问题来解，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法．
9. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______．
答案：且
解析：解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：；
∵，
∴；
∴的取值范围是：且．
故答案为：且．
本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，解题的关键是掌握Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根．
10. 已知，则的值为__________．
答案：
解析：解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴
故答案为：．
本题考查完全平方公式，非负数的性质，正确求出，是解题的关键．
11. 如图，在中，，，，点P为边上任意一点，连接，以C为中心将按逆时针方向旋转得，连接，则的最小值为 _________．

答案：
解析：解：如图，以为边，作等边三角形，连接，

∵，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵以C为中心将按逆时针方向旋转得，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴当有最小值时，有最小值，
∴当时，有最小值，
∵，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
本题考查垂线段最短，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添设辅助线证明全等三角形是解题的关键．
12. 已知二次函数，当，y有最大值为，则a的值为_____．
答案：或
解析：由二次函数解析式可得出其对称轴为直线，
分类讨论：①当，即时，如图1，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴当时，，
代入中，得：，
解得：，（舍）；
②当，即时，如图2，
∴当时，，
代入中，得：，
解得：（舍）；
③当，即时，如图3，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴当时，，
代入中，得：，
解得：，（舍）．
综上可知a的值为或．
故答案为：或．
本题主要考查二次函数的图象和性质．利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键．
三．解答题（共10小题，满分84分）
13. 先化简再求值：，其中是方程的一个根．
答案：，
解析：解：原式，
解得：
，（使分式无意义，舍去）
当时，原式．
本题主要考查分式的化简求值和一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则和一元二次方程的解法．
14. 如图，的三个顶点的坐标分别为、、．
（1）将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；
（2）平移，若A对应点的坐标为，画出平移后对应的；
（3）若将绕某一点旋转得到，请直接写出旋转中心的坐标为 ．
答案：（1）见解析 （2）见解析
（3）
小问1解析：
解：即为所求作的三角形，如图所示：
小问2解析：
解：即为所求，如图所示：
小问3解析：
解：如图，旋转中心P为；
故答案为：．
本题主要考查平移作图和旋转作图，解题的关键是作出平移或旋转后对应点的位置．
15. 赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：）与到点O的水平距离x（单位：）近似满足函数关系，据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．
（1）水面的宽度_______；
（2）要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量．
答案：（1）
（2）4条．
小问1解析：
解：令，则，
∴，
解得或，
∴，
∴，
故答案为：；
小问2解析：
解：令，得，
∴
解得，．
可设计赛道的宽度为，
∵每条龙舟赛道宽度为，
最多可设计赛道4条．
本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
16. 实数k使关于x的方程有两个实数根,．
（1）求k的取值范围；
（2）若，求k的值；
答案：（1）k的取值范围为
（2）k值为0或
小问1解析：
解：方程化为一般式为，
根据题意得，解得，
即k的取值范围为；
小问2解析：
解：根据根与系数的关系得，，
∵，
∴，
∴，
∴，整理得，
解得，，
∵，
∴k的值为0或．
本题主要考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，解答关键是熟练掌握根的情况与根的判别式的关系以及熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．
17. 如图，在中，，，中，．

（1）如图1，若，在外作等边，求的长；
（2）如图2，若，，求的长．
答案：（1）BD＝3；
（2）BD＝6．
小问1解析：
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴；
小问2解析：
作，使，连接，
如图2所示：

则是等腰直角三角形，
∴，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，正确构造辅助线是解决此问的关键．
18. 某校准备从甲、乙两名同学中选派一名参加全市组织的“学宪法，讲宪法”比赛，分别对两名同学进行了八次模拟测试，每次测试满分为分．现将测试结果绘制成如下统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题：
（1）表中 ； ．
（2）求出乙得分的方差．
（3）根据已有的信息，你认为应选谁参赛较好，请说明理由．
答案：（1）；
（2）乙的方差为；
（3）应选甲参赛较好，理由见解析．
小问1解析：
解：甲的成绩从小到大排列为：
∴甲的中位数，
∵出现了次，出现的次数最多，
∴众数是，
故答案为：；
小问2解析：
解：∵乙的平均数为，
∴乙的方差为：，
小问3解析：
解：应选甲参赛较好（答案不唯一），理由如下：
①从平均数和方差相结合看，甲、乙的平均数相等，乙的方差小于甲的方差，所以乙的成绩比甲的成绩稳定；
②从众数和中位数相结合看，甲的成绩好些．
本题考查了中位数和众数的定义，方差的定义，根据平均数、方差、中位数、众数做决策，掌握中位数和众数的定义是解题的关键．
19. 为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台相关政策，本市企业提供产品给大学毕业生自主销售，政府还给予大学毕业生一定补贴．已知某种品牌服装的成本价为每件100元，每件政府补贴20元，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数：．
（1）若第一个月将销售单价定为160元，政府这个月补贴多少元?
（2）设获得的销售利润（不含政府补贴）为（元），当销售单价为多少元时，每月可获得最大销售利润?
（3）若每月获得的总收益（每月总收益=每月销售利润+每月政府补贴）不低于28800元，求该月销售单价的最小值．
答案：（1）8400元
（2）200元 （3）140元
小问1解析：
解：在中，令，则，
∴政府这个月补贴元；
小问2解析：
由题意可得：，
∵，
∴当时，w有最大值30000．
即当销售单价定为200元时，每月可获得最大利润30000元．
小问3解析：
设每月获得的总收益为，
由题意可得：，
令，则，
解得：或，
∵，则抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，，
∴该月销售单价的最小值为140元．
本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最值的求解，此题难度不大．
20. 配方法是数学中重要的思想方法之一，它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（、是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
解决问题
（1）已知29是“完美数”，请将它写成（、是正整数）的形式__________；
（2）若可配方成（、为正整数），则__________；
探究问题
（3）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．
答案：（1）
（2）6 （3）13，理由见解析
小问1解析：
解：，
故答案为：；
小问2解析：
，
∴，，
∴；
小问3解析：
∵是“完美数”，，也是整数，
∴k可以取13．
本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与轴交于点，与轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点
（1）求m的值和一次函数的表达式；
（2）求面积；
（3）在轴上是否存在点M，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：（1）,
（2）6 （3），，，
小问1解析：
解：∵正比例函数过，
，
解得：，
，
设一次函数解析式为，且过A、C，得：
解得
∴一次函数解析式为：．
小问2解析：
解：由（1）可知，，
的面积为：．
小问3解析：
解：由（1），，，，
，
情况一：当底是时，如图：

，
；
情况二：当底是时，如图：
M在A右侧，，
，
，
M 在A左侧，，
，
，
情况三、当底是时，如图：
，
，
，
，
解得：，
，
综上所述：，，，．
本题主要考查了一次函数的性质和图像，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质，熟练掌握一次函数的性质和图像，并利用数形结合和分论讨论思想思想解答是解题的关键．
22. 如图，抛物线经过点，，交y轴于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D，使？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）将直线绕点B顺时针旋转，与直线相交于点F，求直线的函数表达式．
答案：（1）
（2）点D的坐标为或或
（3）
小问1解析：
把点代入抛物线得：
，
，
；
小问2解析：
由题意可知，
，
，
，
设，
，
，
当时，由，
解得：或，
此时点D的坐标为或；
当时，由，
解得：或（舍去），
此时点D的坐标为；
综上所述，点D的坐标为：或或；
小问3解析：
，
，
，
为直角三角形，即，
如图，设直线与直线交于点F，过点F作轴于点M，

由题意得，
，
，
∵，
∴，
，，
，，
，，
，
设直线的函数表达式为，
将、代入得：
，解得：，
直线的函数表达式为：．
本题考查二次函数的图象上点的特征、待定系数法求二次函数解析式、勾股定理、相似三角形的判定与性质等，关键是利用面积关系求出点D的坐标．
平均（分）
中位数（分）
众数（分）
方差（分2）
甲
乙