2022-2023学年江西省上饶市信州区九年级（下）第二次月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年江西省上饶市信州区九年级（下）第二次月考数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，与的和等于的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年我县突破亿元，达到亿元，同比增长，这里的亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知，则代数式的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  将两本相同的书进行叠放，得到如图所示的几何体，则它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，平分，于点，，点在上，，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，抛物线与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴为直线，下列结论：；；当时，的取值范围是；点，都在抛物线上，则有其中结论正确的个数是(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7.  若代数式有意义，则实数的取值范围是______ ．

8.  分解因式： ______ ．

9.  如图，与是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为：，点的坐标为，则点的坐标为        ．

10.  实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为______ ．

11.  如图，在菱形中，对角线，分别为和，于点，则        ．

12.  如图，等腰中，，，以点为圆心，为半径画圆分别交，于点，，点在边上运动，当与相似时，线段的长是______ ．

三、解答题（本大题共11小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.  本小题分
计算：．
化简：．

14.  本小题分
解不等式组：，并把不等式组解集在数轴表示出来．

15.  本小题分
年月日时分，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭，成功将银河航天批卫星颗及其搭载的颗商业遥感卫星发射升空为了普及航天科学的相关知识，某中学在全校范围内开展了“空天逐梦，青春飞扬”知识竞赛活动本次活动中甲乙两名同学成绩均为分，为了激励更多的同学们了解航天知识，组委会打算邀请这两名同学分别从空间站、航天员、卫星、运载火箭分别用，，，表示四个方面中选一个在活动闭幕式上向全校师生普及，两人用抽签的形式来决定讲解内容，甲先抽，乙在剩下的三个方面中抽取要讲解的内容．
甲同学普及运载火箭知识的概率为______ ；
用列表或画树状图的方法，求甲或乙普及“卫星”知识的概率．

16.  本小题分
作图题：在 中，点是劣弧的中点，仅用无刻度的直尺画线的方法，按要求完下列作图：
在图中作出的平分线；在图中画一条弦，平分的面积．

 

17.  本小题分
如图，点，分别在，上，交于点，，，，．
求证：∽；
求的长．

18.  本小题分
如图，为的直径，在的延长线上，为圆上一点，且．
求证：与相切；
若，，求的半径．

19.  本小题分
如图是钢琴缓降器，图和图是钢琴缓降器两个位置的示意图是缓降器的底板，压柄可以绕着点旋转，液压伸缩连接杆的端点、分别固定在压柄与底板上已知．
如图，当压柄与底座垂直时，约为，求的长；
现将压柄从图的位置旋转到与底座成角即，如图所示，求此时液压伸缩连接杆的长结果保留根号参考数据：，，；，，

20.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．
求反比例函数和一次函数的解析式；
请直接写出不等式的解集．
若直线与轴交于点，轴上是否存在一点，使？若存在，请求出点坐标；若不存在，说明理由．

21.  本小题分
某区为了检测各个学校劳育实施情况，当地教委发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”为了解某校学生一周劳动次数的情况，在该校七、八年级中各随机抽取名学生进行调查，并将结果整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级名学生的一周劳动次数为：

八年级名学生的一周劳动次数条形统计图如图：
七、八年级抽取的学生一周劳动次数的平均数、众数、中位数、次及以上人数所占百分比如表所示：

根据以上信息，回答下列问题：
补全条形统计图，上述表中的 ______ ， ______ ， ______ ；
若劳动次数越多则视为劳动情况越好，请根据以上信息，判断哪个年级一周的劳动情况更好，并说明理由；
若一周劳动次数次及以上为良好，该校七年级有名学生，八年级有名学生，估计该校七年级和八年级一周劳动次数良好的学生总人数是多少．

22.  本小题分
阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
如图，在等边中，是边上一点不含端点，，是的外角的平分线上一点，且求证：．
点拨：如图，作，与的延长线相交于点，得等边，连接易证：≌，请完成剩余证明过程：
拓展：如图，在正方形中，是边上一点不含端点，，是正方形的外角的平分线上一点，且求证：．

23.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点点在点的左侧，其中，．
求抛物线的解析式；
线段上有一动点，连接，当的值最小时，请直接写出此时点的坐标和的最小值．
如图，点为直线上方抛物线上一点，连接、交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
选项B符合题意，
故选：．
利用有理数的加减法法则计算再判断．
本题考查了有理数的加法运算，做题关键是掌握有理数的加法法则．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，
所以


．
故选：．
利用整体代入，再求代数式的值．
本题考查了代数式求值，做题关键是掌握整体代入求值．
 

4.【答案】 

【解析】解：从正面看，是一列两个全等的矩形．
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
 

5.【答案】 

【解析】解：过点作于，如图，

，，平分，
，
，
故选：．
过点作于，利用角平分线的性质求得，再根据三角形面积公式求解．
本题考查角平分线的性质，三角形面积，作辅助线于是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据函数的对称性，抛物线与轴的另外一个交点的坐标为；
函数对称轴在轴右侧，则，而，故，
故正确，符合题意；

，即，
而时，，即，
，
．
正确，符合题意；

由图象知，当时，的取值范围是，
错误，不符合题意；

从图象看，当时，，
当时，，
有，
故正确，符合题意；
故选：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
 

7.【答案】 

【解析】解：代数式有意义，
，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可求解．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
先提公因式，再逆用平方差差公式进行因式分解．
本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法是解决本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意得：与是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为：，
又，且原图形与位似图形是异侧，
点的坐标是，即点的坐标是．
故答案为：．
把点的横纵坐标分别乘以即可得到点的坐标．
本题考查位似变换：先确定点的坐标，及相似比，再分别把横纵坐标与相似比相乘即可，注意原图形与位似图形是同侧还是异侧，来确定所乘以的相似比的正负．理解和掌握位似变换是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由数轴得：，
，



．
故答案为：．
由数轴可得：，则有，再进行化简即可．
本题主要考查二次根式的化简，数轴，解答的关键是由数轴得出．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，设与的交点为，

四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
故答案为：．
由菱形的性质可得，，，由勾股定理可求的长，由菱形的面积公式可求解．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
 

12.【答案】或或 

【解析】解：过点作，交与点，
，，
，
，
，
，
设，则，
当与相似时，
与是对应边，
：：，
：：，
，
即与点重合；
与是对应边，
：：，
：：，
或，
故答案为：或或．
作等腰三角形的高，用余弦值求出等腰三角形的底，用相似，列出比例式，求出答案．
本题考查的是相似三角形的判定，解直角三角形，解题的关键是作出辅助线，利用余弦值求出等腰三角形的底．
 

13.【答案】解：；
． 

【解析】先算零指数幂，三角函数值，绝对值，再算加减即可；
先算括号里的减法，把能分解的因式进行分解，除法转为乘法，最后约分即可．
本题主要考查实数的运算，分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

14.【答案】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：甲同学普及运载火箭知识的概率为，
故答案为：；
列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中甲或乙普及“卫星”知识的有种结果，
所以甲或乙普及“卫星”知识的概率为．
直接根据概率公式求解即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解题的关键．
 

16.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作．
 

【解析】如图，连结，根据圆周角定义可判断平分；如图，连结，根据垂径定理可得点为的中点，则过、点的弦平分的面积．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．运用圆周角定理和垂径定理是解决本题的关键．
 

17.【答案】证明：，
，
，
∽；
解：∽；
：：，
即：：，
． 

【解析】根据等角的补角相等，由得到，加上对顶角相等得到，然后根据相似三角形的判定方法得到结论；
由于∽，则利用相似三角形的性质得到：：，从而根据比例的性质可求出的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．
 

18.【答案】证明：连接，则，

，
为的直径，
，
，
，
，
经过的半径的外端，且，
与相切．
解：，
，
，
，
，
，
，，
，
． 

【解析】连接，因为为的直径，所以，则，即可证明与相切；
由，得，则，所以，再根据等角的余角相等证明，则，所以，即可根据勾股定理求得．
此题重点考查圆的切线的判定、等腰三角形的判定与性质、等角的余角相等、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

19.【答案】解：在中，，，，
，
．
答：的长为；
在图中，过点作于点．
在中，，，，
，，
，．
在中，，，，
．
答：此时液压伸缩连接杆的长为． 

【解析】在中，由，结合的长及的度数，即可求出的长；
在图中，过点作于点，在中，通过解直角三角形，可求出，的长，再在中，利用勾股定理，即可求出的长．
本题考查了解直角三角形的应用以及勾股定理，解题的关键是：在中，通过解直角三角形求出的长；在中，利用勾股定理求出的长．
 

20.【答案】解：把点代入得，，
，
反比例函数的解析式为；
把代入得，，
，
把点，代入得，
解得：，
一次函数的解析式为；

当时，，
解得：，
，
设，
，
或，
或． 

【解析】把点代入得到反比例函数的解析式为；把点，代入得到一次函数的解析式为：；
当时，得到，设，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．
 

21.【答案】     

【解析】解：由七年级表格可知：，，
由八年级表格可知：次及以上人数所占百分比为
人，
次的人数：人，
，
补全图形如右图所示：
故答案为：，，．
七年级学生一周的劳动情况更好，
理由：七年级的中位数高于八年级，故七年级学生一周的劳动情况更好．
由题意可得，
人．
即估计该校七年级和八年级一周劳动次数良好的学生总人数为人．
根据表格中的数据和条形统计图中的数据以及众数、中位数的意义，可以得到，，的值；
根据表格中的数据，由于七年级与八年级抽取的学生的一周劳动次数的平均数，众数均相同，因此可以从中位数比较得出答案；
分别求出七年级人中一周劳动次数良好的人数，再求出八年级人中一周劳动次数良好的人数，即可计算出该校七年级和八年级一周劳动次数良好的学生总人数是多少．
本题考查条形统计图、中位数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】证明：点拨：如图，作，与的延长线相交于点，得等边，连接，
易证≌，
，；
，
，
；
，
．
，
，
；
拓展：延长至，使，连接、，如图所示：

则，中，
是等腰直角三角形，
，
是正方形的外角的平分线上一点，
，
，
、、，三点共线，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
． 

【解析】作，与的延长线相交于点，得等边，连接，易证≌，可得，；又，则，可得；由，进一步可得又因为，所以，所以；
延长至，使，连接、，则，中，得出是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出，证出，得出、、，三点共线，由证明≌得出，，得出，由等腰三角形的性质得出，证出，得出，即可得出结论．
此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键．
 

23.【答案】解：，
，
，
，
，
将，的坐标代入得，，
，
抛物线的解析式为：；
令，则，
解得或，
，
，，
，
，；
如图，作点关于轴的对称点，过点作于点，与轴的交点即为所求点，

，
，
，
，
；
连接，
，，
，
综上，当时，的最小值为；
如图，过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，

∽，
，
，，
直线的解析式为：；
设点的横坐标为，
，
，，
，；
，
当时，的最大值为． 

【解析】根据点的坐标和的值可得出点的坐标，将点，的坐标代入抛物线，组成方程组，解之即可得出结论；
令，可得点的坐标，由此可得，过点作，则，则，作点关于轴的对称点，过点作于点，与轴的交点即为所求点，再根据直角三角形的三边关系可得出结论；
过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，由此可得∽，则，设点的坐标，表达的长，再根据二次函数的性质可得结论．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形面积的计算方法，相似三角形的性质与判定问题，解本题的关键是设出点的横坐标，并正确表达面积的比值，属于中考压轴题．