2023-2024学年广东省广州二中教育集团八年级（下）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年广东省广州二中教育集团八年级（下）期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）代数式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1B．a＞1C．a≥﹣1D．a＞﹣1
2．（3分）下列四个二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）在▱ABCD中，∠A＝3∠B，则∠C的度数是（ ）
A．45°B．60°C．120°D．135°
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3B．a2＝（b+c）（b﹣c）
C．∠A＝2∠B＝3∠CD．a：b：c＝3：4：5
6．（3分）下列命题中，为真命题的是（ ）
（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形
（2）对角线互相垂直的四边形是菱形
（3）对角线相等的平行四边形是菱形
（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形
A．（1）（2）B．（1）（4）C．（2）（4）D．（3）（4）
7．（3分）已知△ABC的周长为16，点D，E，F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为（ ）
A．8B．2C．16D．4
8．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE=3，AF=5，则AC的长为（ ）
A．4B．4C．10D．8
9．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF=45°．若∠BAE=α，则∠FEC一定等于（ ）
A．2αB．90°﹣2αC．45°﹣αD．90°﹣α
10．（3分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，进行如下操作：第一次，顺次连接菱形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1；第二次，顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形AnBn∁nDn的面积是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。）
11．（3分）计算：＝ .
12．（3分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣1）到原点的距离为 ．
13．（3分）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，BC=10，CD=6，EF=4，∠AFE=52°，则∠ADC= °．
14．（3分）若，则代数式x2﹣4x+5的值为 ．
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上的一点，点F在边DC的延长线上，且AE=CF，连接EF交对角线AC于点G，若AB=8，AE=2，则线段DG的长为 ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E是边AB的中点，点P是边AD上的一个动点，△PEA关于PE的对称图形为△PEF，连接CF．当点F恰好落在矩形ABCD的对称轴上时，AP的长为 ；当线段CF的长度最小时，AP的长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或润算步骤.）
17．（4分）计算：．
18．（4分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，求证：四边形AECF为矩形．​
19．（6分）已知x＝+1，y＝，求下列各式的值：
（1）x2+2xy+y2；
（2）x2﹣y2．
20．（6分）如图，在笔直的公路AB旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为AC=15km,与公路上另一停靠站B的距离为BC=20km,停靠站A，B之间的距离为AB=25km,为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且CD⊥AB．
（1）求证：∠ACB＝90°
（2）求修建的公路CD的长．
21．（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．
（1）尺规作图：作∠BAC的平分线AE，交BD于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若AC=2AB，求证：DE=3BE．
22．（10分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AOBE是菱形；
（2）若AB=2，BC=4，求菱形AOBE的面积．​
23．（10分）如图，在▱ABCD中，AB=5cm,BC=9cm,动点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿▱ABCD的边逆时针匀速运动；动点Q同时从点A出发，以每秒3cm的速度沿▱ABCD的边顺时针匀速运动；设点P的运动时间为t秒．
（1）当点P在BC上运动时，BP＝ cm（用含t的代数式表示）；
（2）当t＝ 秒时，P，Q两点相遇；
（3）是否存在t的值，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
25．（12分）如图，在正方形ABCD中，点E为边BC上一个动点（不与点B，C重合），过点B作AE的垂线交边CD于点F．
（1）求证：AE=BF；
（2）延长CB到点G，使BG=BE，过点G作BF的平行线，分别交对角线AC于点P，交边CD于点Q．
①探究PC，PQ，QF三条线段之间的数量关系，并说明理由；
②若AB=6，连接PE，△APE能否为等腰三角形？如果能，请直接写出此时BE的长；如果不能，请说明理由．
2023-2024学年广东省广州二中教育集团八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．【答案】A
【解答】解：代数式在实数范围内有意义，
则a﹣1≥5，
解得：a≥1．
故选：A．
2．【答案】C
【解答】解：A.＝2；
B.＝4；
C.是最简二次根式；
D.＝3；
故选：C．
3．【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠A＝∠C，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝3∠B，
∴3∠B+∠B＝180°，
∴∠B＝45°，
∴∠A＝135°，
∴∠C＝135°．
故选：D．
4．【答案】D
【解答】解：与不能合并，不符合题意；
3与不能合并，不符合题意；
7×3，故C错误；
•＝a，符合题意；
故选：D．
5．【答案】C
【解答】解：当∠A：∠B：∠C＝1：2：8时，
因为∠A+∠B+∠C＝180°，
所以∠C＝．
所以△ABC是直角三角形．
故A选项不符合题意；
因为a2＝（b+c）（b﹣c），
所以a7＝b2﹣c2，
即a4+c2＝b2．
所以△ABC是直角三角形．
故B选项不符合题意；
因为∠A＝3∠B＝3∠C，
所以∠B＝，∠C＝．
又因为∠A+∠B+∠C＝180°，
所以∠A+＝180°，
则∠A＝，
所以△ABC是钝角三角形．
故C选项符合题意；
因为a：b：c＝3：4：4，
则令a＝3k，b＝4k，
所以（2k）2+（4k）6＝（5k）2，
即a6+b2＝c2，
所以△ABC是直角三角形．
故D选项不符合题意；
故选：C．
6．【答案】B
【解答】解：（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，符合题意；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；
（3）对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，符合题意，
真命题为（1）（4），
故选：B．
7．【答案】A
【解答】解：∵D、E、F分别为△ABC三边的中点，
∴DE、DF，
∴DF＝ACBCAC，
故△DEF的周长＝DE+DF+EF＝（BC+AB+AC）＝．
故选：A．
8．【答案】A
【解答】解：连接AE，如图：
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，AE＝CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE＝5，
∴AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝3+5＝8，
∴AB＝＝＝4，
∴AC＝＝＝4；
故选：A．
9．【答案】A
【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝AB，
将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，G、B，如图所示：
则AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠GAE＝∠FAE＝45°，
在△GAE和△FAE中，
，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴∠AEF＝∠AEG，
∵∠BAE＝α，
∴∠AEB＝90°﹣α，
∴∠AEF＝∠AEB＝90°﹣α，
∴∠FEC＝180°﹣∠AEF﹣∠AEB＝180°﹣2×（90°﹣α）＝2α，
故选：A．
10．【答案】B
【解答】解：连接AC，BD，
∵点A1，B1分别是AB和BC的中点，点C8，D1分别是CD和AD的中点，
∴A1B4是△ABC的中位线，C1D1是△ACD的中位线，
∴，，
∴A8B1∥C1D8，A1B1＝C2D1，
∴四边形A1B4C1D1是平行四边形，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴A6D1⊥C1D8，
∴∠A1D1C4＝90°，
∴四边形A1B1C5D1是矩形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
∵，
∴AD1＝AA6．
∵∠DAB＝60°，
∴△D1AA1是等边三角形，
又∵，
∴A1D1＝AA4＝1．
同理可得，C1D3＝，
∴四边形A1B3C1D1的面积为；
依次类推，四边形A2B2C2D2的面积为；
四边形A3B3C4D3的面积为；
…，
所以四边形AnBn∁nDn的面积为．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。）
11．【答案】5．
【解答】解：＝6．
故答案为：5．
12．【答案】．
【解答】解：如图所示，过点A（3，垂足为M，
∵A（3，﹣2），
∴OM＝3，AM＝1．
在Rt△OAM中，
OA＝．
即点（3，﹣1）到原点的距离为．
故答案为：．
13．【答案】142．
【解答】解：连接BD，
∵点E、F分别是边AB，
∴BD＝2EF＝8，EF∥BD，
∴∠ADB＝∠AFE＝52°，
BD2+CD2＝100，BC2＝100，
∴BD4+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝142°，
故答案为：142．
14．【答案】2024．
【解答】解：原式＝x2﹣4x+8+1
＝（x﹣2）8+1，
∵，
∴原式＝+8
＝2023+1
＝2024．
故答案为：2024．
15．【答案】．
【解答】解：过点E作EH⊥AD于E，如下图所示：
∵四边形ABCD为正方形，AB＝8，
∴AD＝CD＝AB＝8，∠ADC＝90°，
∴△AEH为等腰直角三角形，
∴FH＝AE＝7，
又∵AE＝CF，
∴EH＝CF＝2，
∴DE＝AD﹣AE＝6，DF＝CD+CF＝10，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF＝＝，
∵EH⊥AD，∠ADC＝90°，
∴EH∥CD，
∴∠GEH＝∠F，∠GHE＝GCF，
在△GEH和△GHE中，
，
∴△GEH≌△GHE（ASA），
∴GE＝GF，
即点G为EF的中点，
在Rt△△DEF中，点G为斜边EF的中点，
∴DG＝EF＝．
故答案为：．
16．【答案】1；．
【解答】解：设CD的中点为T，连接ET，BC的中点分别为M，N，过点F作FH⊥AB于H
∴ET，MN所在的直线为矩形ABCD的对称轴，
∵四边形ABCD为矩形，AB＝2，点E是边AB的中点，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝5，AM＝2
∵△PEA关于PE的对称图形为△PEF，
∴EF＝AE＝1，PA＝PF，∠APE＝∠FPE，
根据“垂线段最短”得：FH≤EF，即FH≤4，
则点F到MN的距离大于等于1，
∴当点F恰好落在矩形ABCD的对称轴上时，点F只能落在ET所在的直线上
此时∠AEF＝90°，
又∵∠PFE＝∠BAD＝90°，EF＝AE＝1，
∴四边形AEFP为正方形，
∴AP＝AE＝5；
连接CE，
根据“两点之间线段最短”得：EF+CF≥CE，
即当点F落在CE上时，CF为最短
在Rt△BCE中，BE＝1，
由勾股定理得：CE＝√BE2+BC6＝，
∴CF＝CE﹣EF＝﹣1，
设AP＝x，则PF＝AP＝x，
在Rt△PCF中，由勾股定理得：PC＝PF2+CF6＝x2+（﹣1）7，
在Rt△PCD中，由勾股定理得：PC2＝PD2+CD8＝（4﹣x）2+3，
∴x2+（﹣1）7＝（4﹣x）2+2，
解得：x＝，
即AP＝x＝，
故答案为：1；．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或润算步骤.）
17．【答案】2+2．
【解答】解：原式＝4+5﹣2
＝8+2．
18．【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴AE⊥AD，∠AEC＝∠AFC＝90°，
∴∠EAF＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
19．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）x2+2xy+y7
＝（x+y）2
＝（）2
＝（2）8
＝12；
（2）x2﹣y2
＝（x+y）（x﹣y）
＝（）×[]
＝2×2
＝4．
20．【答案】（1）证明见解答过程；
（2）修建的公路CD的长是12km．
【解答】（1）证明：△ABC是直角三角形．
∵AC＝15km，BC＝20km，
152+202＝256，
∴AC2+BC2＝AB5，
∴∠ACB＝90°；
（2）解：∵CD⊥AB，
∴S△ABC＝AB•CD＝，
∴CD＝＝＝12（km）．
答：修建的公路CD的长是12km．
21．【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，AC＝2AO＝2CO，
∵AC＝2AB，
∴AB＝AO，
由作图知，AE平分∠BAO，
∴BE＝OE＝＝OC，
∴DE＝3BE．
22．【答案】（1）证明见解析；
（2）4．
【解答】（1）证明：∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AOBE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝，OB＝OD＝，
∴OA＝OB，
∴四边形AOBE是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，
∴AC＝BD＝3，OA＝OC＝，OB＝OD＝，
∴OA＝OB＝，
∴OE＝，
∴菱形AOBE的面积是：．
23．【答案】（1）（2t﹣5）；（2）；（3）存在t的值，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，t的值为秒或秒．
【解答】解：（1）∵动点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿▱ABCD的边逆时针匀速运动，
∴点Pt秒运动的距离为2t cm，
∵AB＝3cm，
∴当点P在BC上运动时，BP＝（2t﹣5）cm，
故答案为：（3t﹣5）；
（2）∵在▱ABCD中，AB＝5cm，
∴▱ABCD的周长为28cm．
由题意得：点Pt秒运动的距离为4t cm，点Qt秒运动的距离为3t cm，
∴P，Q两点相遇时，
∴5t＝28，
∴t＝．
∴当t＝秒时，P．
故答案为：；
（3）存在t的值，使得以点A，C，P，t的值为秒．理由：
①当APCQ为平行四边形时，如图，
由题意得：PC＝（14﹣2t）cm，AQ＝7t cm，
∵四边形APCQ为平行四边形，
∴14﹣2t＝3t，
∴6t＝14，
∴t＝．
②当AQCP为平行四边形时，如图，
由题意得：AQ＝（28﹣3t）cm，PC＝（5t﹣14）cm，
∵四边形APCQ为平行四边形，
∴28﹣3t＝2t﹣14，
∴8t＝42，
∴t＝．
综上，存在t的值，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形秒或秒．
25．【答案】（1）证明见解答；
（2）①，理由见解答；
②2或12﹣6．
【解答】（1）证明：∵AE⊥BF，
∴∠BOE＝90°，
∴∠OBE+∠OEB＝90°，
∴∠OEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠ABE＝∠BCF＝90°，AB＝BC，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝BF．
（2）解：①，理由如下：
设BC＝a，BE＝b，
∴BE＝CF＝BG＝b，
∵BF∥GQ，
∴∠FBC＝∠QGC，
∵∠FCB＝∠QCG＝90°，
∴△FBC∽△QGC，
∴，
∴，
∴CQ＝，
∵∠HGB＝∠QGC，∠HBG＝∠QCG＝90°，
∴，
∴，
∴BH＝，
∴AH＝AB﹣BH＝a﹣，
∵∠HAP＝∠QCP＝45°，∠APH＝∠CPQ，
∴△APH∽△CPQ，
∴，
∴，
∵AP+CP＝，
∴，
∴，
∴CP＝，
如图，过P作PK⊥CD交CD于点K，
∴PK＝CK＝，
∴F与K重合，
在Rt△PFQ中，PF2+QF2＝PQ3，PF＝PC，
∴．
②当△APE为等腰三角形时，有三种情况，AE＝PE，
则AE＝，AP＝6﹣，
1°当AP＝AE时，，
整理得72﹣24b+2b2＝b5+（6﹣2b）3，
化简得3b2＝36，
解得b＝7；
2°当AE＝PE时，＝，
整理得36+b2＝b6+36﹣24b+4b2，
化简得7b2＝24b，
解得b＝6，
该情况E点和C点重合，不符合题意；
6°当AP＝AE，＝6﹣，
整理得36+b2＝72﹣24b+8b2，
化简得b2﹣24b+36＝6，
则Δ＝242﹣4×36＝432，
∴b＝，
当b＝12+7时，b＞a，
∴b＝12﹣6，
综上，BE＝2．